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Probabilité

   
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premièreProbabilité

#msg3739129 Posté le 27-09-11 à 20:03
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, je n'arrive pas.


Dans un casino, un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans une urne contenant des boules blanches et des boules rouges indiscernables au toucher. Le joueur mise une certaine somme. Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa mise.

Partie A : Dans cette partie, l'urne contient deux boules blanches et 8 boules rouges. On note m la mise en euros du joueur (m étant un nombre réel positif). On appelle G la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.

1) a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire G.

J'ai mis :

Gi      |  -m  |  m²  |  total
P(G=Gi) |  4/5 |  1/5 |  1

b) Exprimer en fonction de m l'espérance de G.
E(G) = 4/5 * (-m) + 1/5 * m²

2) Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ?
J'ai mis :
On prend m = 5
E(G)= 4/5 * (-5) + 1/5 * 5² = 1
L'esperance de G n'est pas négative, donc la mise de 5 euros est favorable au joueur.

On ressaye avec m=4
E(G) = 0
On doit donc prendre la valeur juste en dessous de 4 pour atteindre la mise maximale.
Donc m=3
E(G) = -0.6

Pour une mise de 3 euros, le jeu est défavorable au joueur.

C'est bon tout ça ?

Partie B:

Dans cette partie, l'urne contient deux boules blanches et n boules rouges, n étant un nombre entier supérieur ou égal à 8. On fixe cette fois la mise du joueur à 5 euros. On appelle G' la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du propriétaire du casino.
Ce dernier affirme que, en augmentant le nombre de boules rouges dans l'urne, il augmentera son gain moyen et pourra le rendre aussi grand qu'il le désire.
1)a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire G'.

J'ai refait un tableau :

G'i       |  +5 euros  | -5² soit -25 euros  | Total
P(G'=G'i) |  n/(n+2)   |        2/(n+2)      | 1

Je suis pas sûre du tout là..

b) Exprimer en fonction de n l'espérance de G'.
J'ai mis : E(G)= n/(n+2) * 5 + 2/(2+n) * (-25)

Voilà à partir de là, je ne comprends pas.

2) On considère la fonction f définie sur [8 ; + l'infini[ par f(x)= (5x-40)/(x+2)
a) Démontrer que (un signe que je ne connais pas, un A à l'envers) donc que (le signe) x appartient [8+l'infini[, f(x)=5-(50/(x+2))

b) Soient deux réels a et b tels que 8 < ou égal a < b. Comparer f(a) et f(b).
c) En déduire le sens de variation de la fonction f.
d) Pensez-vous que le propriétaire du casino a raison ? Argumentez.
indication : on pourra démontrer que (le signe A à l'envers) x appartient [8;+l'infini[, f(x)<5

Voilà. Donc à partir du 2 de la partie B, je ne comprends pas trop.
Et les autres réponses sont-elles justes ?

Merci d'avance!
re : Probabilité#msg3739414 Posté le 27-09-11 à 21:19
Posté par ProfilLabo Labo

Bonsoir Lucie,
Citation :
1) a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire G.

J'ai mis :

Gi      |  -m  |  m²  |  total
P(G=Gi) |  4/5 |  1/5 |  1

c'est juste

Citation :
b) Exprimer en fonction de m l'espérance de G.
E(G) = 4/5 * (-m) + 1/5 * m²

  OK  4/5 * (-m)
  erreur  1/5 * m²

quand il gagne il reçoit m^2 mais comme il a misé m
son gain est de m^2-m
donc E(G)=-\frac{4}{5}m +\frac{1}{5}(m^2-m)=\frac{1}{5}m^2-\frac{3}{5}m

Citation :
2) Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ?

défavorable au joueur si E(G)<0
détermine  la valeur maximale de m telle que E(G)<0
re : Probabilité#msg3740777 Posté le 28-09-11 à 16:51
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Donc le gain algebrique, il faut le compter avec la mise. Donc le tableau de probabilité est faut aussi non ?
C'est pas m² mais m ?
re : Probabilité#msg3740813 Posté le 28-09-11 à 16:57
Posté par ProfilLabo Labo

OUI corrige aussi  dans le tableau m^2-m à la place de m^2
re : Probabilité#msg3740823 Posté le 28-09-11 à 16:59
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

On peut juste mettre m ? Vu que m²-m ca fait m
re : Probabilité#msg3740841 Posté le 28-09-11 à 17:04
Posté par ProfilLabo Labo

m^2-m=m(m-1)\neq m
exemple numérique
4^2-4=16-4=12\neq 4
re : Probabilité#msg3740845 Posté le 28-09-11 à 17:05
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Ah d'accord merci. Je vais rectifier tout ça
re : Probabilité#msg3740873 Posté le 28-09-11 à 17:11
Posté par ProfilLabo Labo

OK
re : Probabilité#msg3741008 Posté le 28-09-11 à 17:38
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour E(G), comment vous avez fait pour passer de -4/5 + 1/5(m²-m) à 1/5 m² -3/5 m ?
re : Probabilité#msg3741074 Posté le 28-09-11 à 17:52
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

C'est bon j'ai trouvé
re : Probabilité#msg3741110 Posté le 28-09-11 à 17:57
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour la 2) de la partie A, j'ai trouvé qu'il faut miser 2 euros.
re : Probabilité#msg3741111 Posté le 28-09-11 à 17:57
Posté par ProfilLabo Labo

OK  
re : Probabilité#msg3741134 Posté le 28-09-11 à 18:01
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour la partie B, la 1)a), faut changer quelque chose dans mon tableau ?
re : Probabilité#msg3741173 Posté le 28-09-11 à 18:07
Posté par ProfilLabo Labo

pour  la partie A  
détermine  la valeur maximale de m telle que E(G)<0
  quelle valeur as-tu trouvée?


Citation :
Pour la partie B, la 1)a), faut changer quelque chose dans mon tableau ?

oui puisqu'il perçoit la mise de 5€  même quand le joueur gagne
re : Probabilité#msg3741199 Posté le 28-09-11 à 18:13
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour la partie A j'ai trouvé 2.

Pour la partie B. Dans une colonne je mets m soit +5euros et l'autre je sais pas
re : Probabilité#msg3741237 Posté le 28-09-11 à 18:20
Posté par ProfilLabo Labo

Citation :
détermine  la valeur maximale de m telle que E(G)<0  

E(G)=\frac{1}{5}(m^2-3m)=\frac{m}{5}(m-3)
E(G)<0 si m-3<0 si m<3
m maximale =2,99€

tableau pour la 2a)

G'i       |  +5       | -5²+5=-20         |  Total
P(G'=G'i) |  n/(n+2)  |        2/(n+2)    | 1
re : Probabilité#msg3741240 Posté le 28-09-11 à 18:21
Posté par ProfilLabo Labo

E(G)=\frac{1}{5}(m^2-3m)=\frac{m}{5}(m-3)
re : Probabilité#msg3741258 Posté le 28-09-11 à 18:25
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour la valeur maximale, m doit être un nombre réel positif..
re : Probabilité#msg3741265 Posté le 28-09-11 à 18:27
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Pour la question 1) b) de la partie B :

E(G')= 5* (n/2+n) + (-20) * 2/2+n
re : Probabilité#msg3741392 Posté le 28-09-11 à 19:02
Posté par ProfilLabo Labo

OUI
E(G')= 5* (n/2+n) + (-20) * 2/2+n \\ E(G')=\frac{5n}{2+n}+\frac{-20\times 2}{2+n} \\ E{G'}=\frac{5n-40}{2+n}
et on trouve l'expression de la fonction à étudier au 3...
re : Probabilité#msg3741416 Posté le 28-09-11 à 19:07
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Ok merci !

Ensuite.
2) On considère la fonction f définie sur [8 ; + l'infini[ par f(x)= (5x-40)/(x+2)
a) Démontrer que (V barré) x appartient [8+l'infini[, f(x)=5-(50/(x+2))

Je sais pas comment faire..
re : Probabilité#msg3741613 Posté le 28-09-11 à 19:47
Posté par ProfilLabo Labo

  signifie quelque soit x ou pour tout x
ce n'est que du calcul...
5-\frac{50}{x+2}=\frac{5(x+2)-50}{x+2}=\frac{5x+10-50}{x+2}=\frac{5x-40}{x+2}
re : Probabilité#msg3741634 Posté le 28-09-11 à 19:53
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Ah merci. Enfaite je savais pas qu'il fallait faire 5(x+2)

b) Soient deux réels a et b tels que 8 < ou égal a < b. Comparer f(a) et f(b).

C'est f(a) < f(b) ?
re : Probabilité#msg3741852 Posté le 28-09-11 à 21:03
Posté par ProfilLabo Labo

  j'ai appliqué
a+\frac{b}{c} =\frac{ac}{c}+\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c} avec c≠0
re : Probabilité#msg3741854 Posté le 28-09-11 à 21:03
Posté par ProfilLabo Labo

je continue...
re : Probabilité#msg3741860 Posté le 28-09-11 à 21:07
Posté par ProfilLabo Labo

C'est f(a) < f(b) ?
OUI
re : Probabilité#msg3742938 Posté le 29-09-11 à 19:24
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Oui, car a < b .

Ensuite la c)
La fonction est croissante car a > 0 ?
re : Probabilité#msg3743158 Posté le 29-09-11 à 21:00
Posté par ProfilLabo Labo

je reprends:
Citation :
) Soient deux réels a et b tels que 8 < ou égal a < b. Comparer f(a) et f(b).

8≤a<b
f(a)=5-\frac{50}{a+2} \\ f (b)=5-\frac{50}{b+2} \\ f(b)-f(a)=5-\frac{50}{b+2}-5+\frac{50}{a+2} \\ =\frac{50(b+2)-50(a+2)}{(a+2)(b+2)}=\frac{50(b-a)}{(a+2)(b+2)}
f(b)-f(a) est du signe de b-a >0
c) la fonction est croissante puisque f(b)-f(a) est du signe de b-a
Citation :
d) Ce dernier affirme que, en augmentant le nombre de boules rouges dans l'urne, il augmentera son gain moyen et pourra le rendre aussi grand qu'il le désire.

il ne pourra pas le rendre aussi grand qu'il le désir car:
\lim_{n\to+\infty}5-\frac{50}{n+2}=5
re : Probabilité#msg3744050 Posté le 30-09-11 à 18:58
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

J'ai pas trop compris.

Comparer f(a) et f(b) c'est dire si c'est supérieur ou inférieur. donc f(a) < f(b)?
Et dans le cours, on a une partie où il y a écrit que quand a>0 la fonction est croissante. Et dans ce cas, a est plus grand ou égal à 8 donc plus grand que 0, donc elle est croissante ?


La d) j'ai pas compris non plus.. on a pas appris ce que vous avez mis avec lim
re : Probabilité#msg3744062 Posté le 30-09-11 à 19:03
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

et aussi de la partie A la question 2) c'est bien 2 euros ? Vu que m doit etre un nombre réel positif
re : Probabilité#msg3744108 Posté le 30-09-11 à 19:33
Posté par ProfilLabo Labo

2,99€ = la mise maximale
re : Probabilité#msg3744112 Posté le 30-09-11 à 19:36
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

nombre réel c'est pas un nombre décimale, si ?
re : Probabilité#msg3744200 Posté le 30-09-11 à 20:44
Posté par ProfilLabo Labo

clique sur ce lien
re : Probabilité#msg3744244 Posté le 30-09-11 à 21:05
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

D'accord merci. Donc finalement je ne comprends pas votre expliquation pour la valeur de m maximale.
Aussi mon post de 18:58
re : Probabilité#msg3744301 Posté le 30-09-11 à 21:35
Posté par ProfilLabo Labo

je reprends étape par étape
et tu dis si tu comprends ou pas à chaque étape:
E(G)=-\frac{4}{5}m +\frac{1}{5}(m^2-m)=\frac{1}{5}m^2-\frac{3}{5}m \\
Citation :
Citation :
2) Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ?


défavorable au joueur si E(G)<0
on cherche la valeur la plus grande possible pour laquelle  E(G) soit négative
re : Probabilité#msg3744319 Posté le 30-09-11 à 21:45
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Jusque là, j'ai compris.
re : Probabilité#msg3744326 Posté le 30-09-11 à 21:49
Posté par ProfilLabo Labo

on cherche la plus grande valeur de m telle que
\frac{1}{5}m^2-\frac{3}{5}m<0
on peut multiplier par 5  (nombre positif sans changer le sens de l'inégalité)
on obtient:
m^2-3m<0
re : Probabilité#msg3744340 Posté le 30-09-11 à 21:55
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

oui
re : Probabilité#msg3744349 Posté le 30-09-11 à 21:59
Posté par ProfilLabo Labo

on factorise m avec m>0 c 'est la mise en € donc m est positif c'est un entier ou un décimal avec deux chiffres après la virgule

m(m-3)<0
un produit est négatif si l'un des facteurs est négatif et l'autre positif ( règles des signes de la multiplication des nombres relatifs)
donc m-3 doit être négatif
re : Probabilité#msg3744356 Posté le 30-09-11 à 22:02
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

d'accord
re : Probabilité#msg3744373 Posté le 30-09-11 à 22:09
Posté par ProfilLabo Labo

m-3 négatif ( en français)
m-3<0 ( en langage mathématique)
on résout ça donne:
m<3
conclusion
le décimal plus petit que 3  et le plus proche est 2,99
re : Probabilité#msg3744382 Posté le 30-09-11 à 22:12
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Ah ok merci j'ai compris
re : Probabilité#msg3744384 Posté le 30-09-11 à 22:13
Posté par ProfilLabo Labo

passons à la 2b) si tu veux?
re : Probabilité#msg3744392 Posté le 30-09-11 à 22:16
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Oui
re : Probabilité#msg3744405 Posté le 30-09-11 à 22:22
Posté par ProfilLabo Labo

je reprends:
Citation :
Citation :
Soient deux réels a et b tels que 8 < ou égal a < b. Comparer f(a) et f(b)
.
on sait que f(x) peut s'écrire sous cette forme ,qui rend les calculs plus faciles
f(x)=5-\frac{50}{x+2}
et que
8≤a<b
donc j'exprime f(a) et f(b) en remplaçant x par a et ensuite par b
f(a)=5-\frac{50}{a+2} \\ f (b)=5-\frac{50}{b+2}
re : Probabilité#msg3744415 Posté le 30-09-11 à 22:25
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Oui
re : Probabilité#msg3744445 Posté le 30-09-11 à 22:36
Posté par ProfilLabo Labo

rappel cours:
Fonction strictement croissante :
La fonction f est dite strictement croissante sur l'intervalle I
si pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 on a : f(x1)< f( x2)
ici 8<a<b  donc les valeurs a et b appartiennent à I
si a<b  alors b-a>0
on calcule f(b)-f(a)
  f (b)-f(a)=5-\frac{50}{b+2} -(5-\frac{50}{a+2}) =-\frac{50}{b+2}+\frac{50}{a+2}\\
les 5 s'en vont
attention aux signes ...
re : Probabilité#msg3744453 Posté le 30-09-11 à 22:39
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

ok je comprends. Mais on a jamais fait avec f(b)- f(a)
re : Probabilité#msg3744466 Posté le 30-09-11 à 22:46
Posté par ProfilLabo Labo

pourtant on te demande de comparer f(a) et f(b)
et comparer deux nombres c'est déterminer  le signe de leur différence.
re : Probabilité#msg3744480 Posté le 30-09-11 à 22:51
Posté par ProfilLucie57 Lucie57

Le signe de différence c'est < et > ?

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