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Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie

   
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maths supExercice : résolution de systeme avec trigonométrie

#msg3745942 Posté le 01-10-11 à 16:29
Posté par ProfilAlber Alber

Bonjours à tous !

Voilà ce qui m'amène :*)

C'est un exercice à 2 questions, mais je ne sais pas si elles sont en rapport, et je bloque à la deuxième.

  1/ Soit a et b deux reels, exprimer a²+b² a l'aide de la somme S= a+b et P= ab.

Je trouves : a²+b² = S² - 2P , ce qui est pour ma part bon.

  2/ Chercher tous les réels (x,y) vérifiant le systeme : V = racine

     (  cos (x) + cos (y) = (V2+V3)/2
     {
     (  cos(2x) + cos (2y) = 1/2

A partir de la je bloque...

Je pense qu'il faut faire :
          
       cos(x) + cos(y) = cos(pi/4) + cos (pi/3)
        cos (2x) + cos(2y) = cos(pi/6)

Après je pense utiliser arccos mais aucune idée de comment faire, pourriez vous m'aider pour decouvrir le mystère de cet exercice ?

Merci d'avanc.
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3746797 Posté le 01-10-11 à 19:29
Posté par ProfilAlber Alber

Quelqu'un aurait la gentillese de me donner une piste s'il vous plait =) ??
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3746847 Posté le 01-10-11 à 19:44
Posté par Profilmdr_non mdr_non

bonjour

linéarise cos(2x) et cos(y)

et utilise la substitution pour résoudre le second degré que tu trouveras..
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3746850 Posté le 01-10-11 à 19:44
Posté par Profilmdr_non mdr_non

Citation :
et utilise la substitution pour résoudre le second degré que tu trouveras..

et utilise la substitution   TU TROUVERAS un second degré  à résoudre ..
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3746857 Posté le 01-10-11 à 19:49
Posté par ProfilPaulHenri PaulHenri

Tout d'abord cos pi/6 ne vaut pas 1/2 ^^
Ecris cos2x+cos2y=2 (cos²x 2 cos²y) -2 et applique le 1. ça doit rouler
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3748870 Posté le 02-10-11 à 15:00
Posté par ProfilAlber Alber

Bonjours et merci de m'avoir répondu,

1 ) En effet j'ai tapper trop vite : cos (2x) + cos(2y) = cos(pi/3) = 1/2  

2 ) mdr_non : je ne comprend pas quand tu dis linéarise cos(2x) et cos(y) , tu veux dire mettre :
               cos(y) = ((V2+V3)/2) - cos(y) et ensuite remplacer dans l'autre équation ?, mais je ne vois pas ou sa nous mène..
              
J'ai pensé faire aussi   cos (2x) + cos(2y) = cos (x+x) + cos (y+y) = cos(pi/6) et ensuite remplacer mais je pars je ne sais pas où dans des calcules énormes ^^

3 ) PaulHenri : Je ne comprend pas non plus ta réponse : cos2x+cos2y= 2 (cos²x 2 cos²y) -2
                 Cela signifie : 2*(cos²(x)*2cos²(y)) -2 ? mais comment tu y es parvenu ?
                Et ensuite, tu dis " et applique le 1 " ???

Bon en faite je m'aperçoit que je galère ^^, mais je suis tétu et je veux trouver, donc je cherche encore, merci de votre aide.
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749325 Posté le 02-10-11 à 16:31
Posté par ProfilPaulHenri PaulHenri

Heu non en fait j'ai confondu 2 et +.
Je voulais dire cos 2x+cos2y= 2(cos²x + cos²y) -2 (les formules que tu connais en somme!)
Après tu appliques le 1 avec a= cos x et b= cos y
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749572 Posté le 02-10-11 à 17:28
Posté par Profilmdr_non mdr_non

Citation :
2 ) mdr_non : je ne comprend pas quand tu dis linéarise cos(2x) et cos(y) , tu veux dire mettre :
               cos(y) = ((V2+V3)/2) - cos(y) et ensuite remplacer dans l'autre équation ?, mais je ne vois pas ou sa nous mène..


je linéarise  cos(2x) = 2cos²(x) - 1   /   cos(2y) = 2cos²(y) - 1

donc   cos(2x) + cos(2y) = 1/2     équivalent à     2cos²(x) + 2cos²(y) - 2 = 1/2

or   cos(x) = A - cos(y)   (1ère équation)

on remplace et on obtient un second degré ..
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749679 Posté le 02-10-11 à 17:50
Posté par ProfilAlber Alber

Citation :
on obtient un second degré


D'accord j'ai compris =), en faite vos deux idées se rejoignent.

( cos(x) = A - cos(y)                           ( cos(x) = A - cos(y)
{                                  équivaut à   {
( 2cos²(x) + 2cos²(y) - 2 = 1/2                 ( 4cos²(y) - 2cos(y) + A² - 3/2

Et je résous.
Bon bah je m'y met alors et je vous dit ce qu'il en est.
Encore merci.
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749762 Posté le 02-10-11 à 18:04
Posté par Profilmdr_non mdr_non

tu te trompes de second degré!


\large  A = \frac{\sqrt2 + \sqrt3}{2}    \Rightarrow    A^2 = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{4} \\ \\ \left\{\begin{matrix}cos(x) + cos(y) &=& A \\ cos(2x) + cos(2y) &=& \frac{1}{2}\end{matrix}\right.}   \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}cos(x) &=& A - cos(y) \\ \left[2cos^2(x) - 1\right] + \left[2cos^2(y) - 1\right] - \frac{1}{2} &=& 0\end{matrix}\right.} \\ \\ \\ \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}2\left[A - cos(y)\right]^2 + 2cos^2(y) - 2 - \frac{1}{2} &=& 0 \\ cos(x) &=& A - cos(y)\end{matrix}\right.}

\large \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}2\left[A^2 - 2Acos(y) + cos^2(y)\right] + 2cos^2(y) - \frac{5}{2} &=& 0 \\ cos(x) &=& A - cos(y)\end{matrix}\right.} \\ \\ \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}A^2 - 2Acos(y) + cos^2(y) + cos^2(y) - \frac{5}{4} &=& 0 \\ cos(x) &=& A - cos(y)\end{matrix}\right.}   \\ \\ \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}2cos^2(y) - 2Acos(y) + A^2 - \frac{5}{4} &=& 0 \\ cos(x) &=& A - cos(y)\end{matrix}\right.}
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749766 Posté le 02-10-11 à 18:05
Posté par ProfilAlber Alber

Excuser moi encore une faute d'inatention

Ca donne : 4cos²(y) - 2Acos(y) + 1+ 2V6
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749782 Posté le 02-10-11 à 18:07
Posté par ProfilAlber Alber

Oui vous avez raison au tant pour moi ..
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749803 Posté le 02-10-11 à 18:10
Posté par Profilmdr_non mdr_non

note qu'on peut encore simplifier le second degré..

\large 2cos^2(y) - 2Acos(y) + A^2 - \frac{5}{4} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow   2cos^2(y) - 2Acos(y) + \frac{5 + 2\sqrt{6}}{4} - \frac{5}{4} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow   2cos^2(y) - 2Acos(y) + \frac{5 + 2\sqrt{6} - 5}{4} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow   2cos^2(y) - 2Acos(y) + \frac{\sqrt{6}}{2} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow   cos^2(y) - Acos(y) + \frac{\sqrt{6}}{4} = 0
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749819 Posté le 02-10-11 à 18:13
Posté par ProfilAlber Alber

Tout a fais d'accord, je retrouve pareil, merci.
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3749910 Posté le 02-10-11 à 18:35
Posté par ProfilAlber Alber

cos²(y)- Acos(y) + V6/4 =0
Notons X= cos(y)
---> on a X²- AX + V6/4 = 0

---> Discriminant = (-A²)- 4*1*V6/4 = (5-2V6)/4 > 0
Donc deux racines :
x1 = (A-V((5-2V6)/4))/2 = ( V2+V3 - (V(5-2V6)) ) / 4
x2 = ...

Et a partir de là je pense qu'il faut reprendre avec cos(y)

Soit cos(y) = ( V2+V3 - (V(5-2V6)) ) / 4
     ou cos(y) = x2

donc cos (x) = .... si cos(y) = ( V2+V3 - (V(5-2V6)) ) / 4
    ou cos (x) = .... si cos(y) = x2
Mais les calcules n'ont pas l'air de correspondrent à quelque chose de connu.
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3750006 Posté le 02-10-11 à 18:54
Posté par Profilmdr_non mdr_non

et pourtant si .. mais faut se concentrer !

\large \blue \boxed{\Delta = \frac{5 - 2\sqrt6}{4}}   ET   \boxed{A^2 = \frac{5 + 2\sqrt6}{4}}


il n'est pas difficile de faire le lien !
Un grand merci #msg3751468 Posté le 03-10-11 à 19:24
Posté par ProfilAlber Alber

D'accord, merci a vous deux. Bonne journée =)
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3753106 Posté le 04-10-11 à 19:27
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bonsoir Alber,


Tu avais la bonne idée au départ:

\sqrt{2}/2 = cos(\pi/4) \\ \sqrt{3}/2 = cos(\pi/6) \\    1/2 = cos(\pi/3) \\      0 = cos(\pi/2) \\ \\ x=\pi/4 ,   y =\pi/6

Vérifient ton sytème:

(  cos (x) + cos (y) = (V2+V3)/2
     {
    cos(2x) + cos (2y) = 1/2


Alain
re : Exercice : résolution de systeme avec trigonométrie #msg3754188 Posté le 05-10-11 à 10:20
Posté par Profilalainpaul alainpaul

Bonjour,


En fait,comme les variables x et y ont même rôle
et que de plus cos(-u)=cos(u) les solutions sont
plus nombreuses,


Alain

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