Le seau troué.

Posté par J-P J-P

Mon seau est en forme de tronc de cône (comme la plupart des seaux)
Son rayon de base (fond du seau) est de 10 cm.
Le rayon de la partie supérieure est de 15 cm.
La hauteur du seau est 25 cm.

Je voudrais le remplir à ras bord mais malheureusement, le fond est troué.

Le seau étant vide, je le remplis grâce à un robinet qui a un débit de 6 litres par minute (soit 100 cm³/s)
Le seau, par le trou du fond, laisse écouler un débit proportionnel à la hauteur d'eau dans le seau.
Ce débit (en cm³ par seconde) est égal à 2.x avec x la hauteur d'eau dans le seau en cm.

Combien de temps (temps minimum mesuré à partir du début du remplissage) faudra t-il pour que le seau soit plein à ras bord ?

On donnera le temps en secondes, arrondi à la seconde la plus proche.
-----
Bonne chance à tous.

Posté par la_brintouille la_brintouille

il faut 180 secondes pour que le seau soit plein a ras bord.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On trouve facilement que le sommet du cone est à 50 cm de la base du seau (à 75 cm du haut du seau).
On exprime les temps en secondes et les longueurs en cm.
Pendant un temps dt, on a :
dV = 100*dt -2*h*dt  avec h la hauteur d'eau dans le seau.

Le rayon de la surface est tel que R/(10) = (h+50)/50 (d'après Thalès)
R = (h+50)/5

De plus V = 1/3 *pi (h+50) * ((h+50)/5)² - 1/3*pi *50 * 10²
dV = 1/3 pi*3/25*(h+50)² *dh = pi/25* (h+50)²*dh

Donc
100*dt -2*h*dt  = pi/25* (h+50)²*dh
dt = pi/25* (h+50)²*dh/(100 -2*h)
En faisant un changement de variable H = 50+h
dt = pi/25 *H²*dH/(100-2(H-50))=  pi/25 *H²*dH/(200-2H)
dt ==pi/50 *H²*dH/(100-H)

dt = pi/50*H (H-100)*dH/(100-H) +pi/50*100H*dH/(100-H)
dt = - pi/50*H*dH - 2*pi*(100-H)*dH/(100-H) +2*pi*100*dH/(100-H)
dt = - pi/50*H*dH - 2*pi*(100-H)*dH/(100-H) - 2*pi*100*(- dH)/(100-H)
En intégrant entre le début et la fin du remplissage du seau :

T = - pi/100*(75²-50²) - 2*pi*(75-50) - 200*pi*ln((100-75)/(100-50))
T = - pi/100*(75²-50²) - 2*pi*(75-50)- 200*pi*ln((100-75)/(100-50))
T = -pi/100*3125-2*pi*25-200*pi*ln(1/2)
T = pi*(-31,25-50+200*0,693)

T = pi*(-81,25+138,63) = 3,14*57,38= 180,26s
Soit T =180 secondes arrondi à la seconde la plus proche.

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour

Je pense que le seau va mettre environ 180 secondes pour se remplir complètemement

Merci pour l'énigme

Posté par alfred15 alfred15

Mon PC a planté quand j'ai posté. Dans le doute, je redonne ma réponse : 180 secondes

@+

Posté par piepalm piepalm

A la hauteur x, le rayon de la section horizontale du seau  est 10+x/5, donc l'aire de la section en cm^2 est s= pi*(10+x/5)^2. Le débit résiduel (robinet-fuite) en cm^3/s est q=100-2x. On a s*dx/dt=q soit dt/dx=pi*(10+x/5)^2/(100-2x)=(pi/50)(50+x)^2/(50-x) ou encore dt/dx=(pi/50)(-x-150+10000/(50-x)). En intégrant pour x entre 0 et 25 il vient t=(pi/50)(-(25^2)-150*25+10000*ln2 soit 160,63 arrondi à 161 s.
En l'absence de fuite, il faudrait environ 124 s pour remplir le seau

Posté par jugo jugo

Sans filet :

J'ai posé :
Q = 100 cm3/s
q = 2x
r(x) = x/5 +10
Surface : S(x) = pi r²(x)

J'ai ensuite intégré :
S(x).dx / (Q-q(x)) entre x=0 et x=25.
Avec un changement de variable u = Q-q(x), je suis tombé sur l'expression :

t = pi . (200.ln(2)-325/4) = env. 180,26

A partir de là, je suppose que je n'ai pas fais d'erreur de signe, d'intégration ou aucune autre des étourderies qui me guettaient à tous les coins de ce calcul.

Bref, en arrondissant à la seconde la plus proche :

Le seau sera plein à ras bord au bout de 180s, soit 3min

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

N'ayant pas eu d'idée pour resoudre cette enigme analytiquement j'ai decidé de la  resoudre numeriquement ( j'ai pris un seau , j'ai fait un trou au fond ... :p )

Et j'ai finalement trouvé qu'il fallait 180,262 secondes pour remplir le seau.

Finalement, il faut 180 secondes soit 3 minutes exactement pour remplir le seau.

Posté par papanoel (invité)

Salut,
je pense que je me suis plante mais je tente quand meme mon resultat:
249 secondes
@+

Posté par PMP1 (invité)

après avoir déchiré 3 feuilles et cassé 2 crayons de bois... je ne sais toujours la réponse qu'avec une grosse approximation!! mais je vais répondre 178 seconde, je pense que ça peut être ça mais c'était très dur!!

Posté par paulo paulo

bonsoir,

il faut que je me décide à répondre :

le robinet a un débit de 100cm³/s et la fuite un débit de 2*xcm³/s
l'èquation du débit en fonction de la hauteur dans le seau est : d(x)=100-2*x . la hauteur du seau etant de 25cm , on a un débit moyen résultant de 75 cm³/s=.

on a le volume du seau

le temps de remplissage sera de 170 secondes


est-ce-que cela suffit?  j'ai essayé differentes methodes mais rien  ne donne un résultat probant.

on verra bien

merci pour cette enigme
bonsoir a vous
Paulo

Posté par caylus caylus

Bonjour,

Mon calcul intégral et différentiel est très vieux ! (1970).

Sans compter les jours où cela s'évapore (célèbre sketch de Jacques Boudouin et de son cancre Philibert), je pense que la réponse doit être de 190 s.

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Réponse proposée : 180 s

Méthode :

Je calcule, pendant un intervalle de temps dt, les variations de volumes :

Volume entrant = Volume de l'eau augmenté dans le seau + volume sortant

Volume entrant = 100dt avec dt en seconde et volume en cm3.
Volume sortant = 2xdt avec x en cm et dt en seconde et volume en cm3

100dt = V.eau + 2x.dt

Reste à calculer le volume augmenté dans le seau.

Pour cela, je l'ai fait "à la barbare" (manque de théorie) en essayant de le sentir physiquement.

Le dessin joint aide à comprendre :

le volume d'eau ajouté en dt (en bleu foncé) peut s'évaluer comme étant un cylindre de hauteur dx et de rayon "rayon_moyen" :

sachant que r(x)=r+(R-r)x/h

rayon_moyen = ( r(x)+r(x+dx) )/2 = (r+(R-r)x/h + r+(R-r)(x+dx)/h)/2 = (r+(R-r)x/h)+(R-r)dx/2h

En multipliant par dx (la hauteur) je ferai apparaître des termes en (dx)² négligeables => Je peux considérer que le rayon moyen vaut r(x)

r(x)=r+(R-r)x/h = 10+5x/25=10+x/5 = (50+x)/5

d'où V.eau = pi.r²(x).dx = (pi/25)(50+x)².dx

(100-2x)dt=(pi/25)(50+x)².dx

dt = (pi/50)( (50+x)²/(50-x) ).dx

or (50+x)²=2500+100x+x²=(50-x)(-150-x)+50.150+2500

donc (50+x)²/(50-x) = (-x-150)+10000/(50-x)

dt = (pi/50)( -x-150+10000/(50-x) ).dx

on intègre :

t+K = (pi/50)( -x²/2-150x-10000ln|50-x| )

déterminons K par les conditions initiales : t=0 => x=0

K = (pi/50)( -10000ln(50) )

d'où t(x)

t(x) = (pi/50)( -x²/2-150x-10000ln|1-x/50| )

cherchons alors t correspondant à x = 25

t(25)=(pi/50)(-25²/2 -150.25 + 10000ln2) = 180,26 s arrondi à 180 s

Un p'tit dessin pour visualiser celà

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par FredoLaSoluce (invité)

Bonjour,

Voilà mon raisonnement:
A une hauteur x le rayon du disque à la surface de l'eau vaut d'après Thales:

On peut donc déterminer le volume de l'eau dans le seau sous une hauteur x :

d'où:


Par ailleurs d'après les hypothèses sur les débits entrant et sortant on a:

En égalisant (1) et (2) et en intégrant la différentielle dt en fonction de x et dx on cherche T tel que:

Après un calcul un peu fastidieux et en ésperant ne pas m'être trompé je trouve:


Application numérique (arrondi à la seconde la plus proche):
(i.e. 3mn )

Merci pour cette belle énigme

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Je ne sais pas si définir le débit de la fuite comme proportionnel à la hauteur d'eau correspond à une réalité physique ou si J-P a pris cette correspondance pour simplifier les calculs.

Pour ma part, j'aurais bien vu un débit de fuite proportionnel au poids de l'eau présent dans le seau ( donc proportionnel au volume d'eau présent dans le seau ); peut-être dis-je une inepsie, mais supposons, pour la suite, cette hypothèse vraie.

En reprenant les valeurs numériques de J-P : r=10, R=15 et h=25 (en cm) puis Débit_entrée Ve= 100 cm3/s, je pose le débit de Sortie, Vs, comme égal à k fois le volume d'eau présent dans le seau (l'unité de k sera donc en 1/s).

Selon la méthode que j'ai suivie (_{en espérant qu'elle ne soit pas fausse, d'ailleurs}), j'ai la relation :

Ve.dt = (pi).(r+(R-r)x/h)².dx + k.Vs.dt

avec Vs = (pi).(r+(R-r)x/2h)².x

en considérant les valeurs numériques :

100.dt = (pi).(10+x/5)².dx + k.(pi).(10+x/10)².x.dt

(10000/pi - kx(100+x)²).dt = 4(50+x)².dx

dt = 4(50+x)².dx/(10000/pi - kx(100+x)²)

dt = (-4/k)(x²+100x+2500).dx/(x^3+200x²+10000x-10000/k.pi)

Je ne parviens pas à aller plus loin.

Pouvez-vous confirmer (ou infirmer) et terminer, si c'est possible, cette intégration :

t + K = (-4/k) Primitive de (x²+100x+2500)/(x^3+200x²+10000x-10000/k.pi)

en déterminant K avec t=x=0.

Merci,

Philoux

Posté par J-P J-P

Salut philoux,

Le débit de fuite dépend de la pression de l'eau au niveau du trou et donc de la hauteur d'eau.
Mais en pratique, la loi qui lie le débit de fuite à la hauteur d'eau n'est certainement pas pile une loi de proportionnalité.

Posté par nol789 (invité)

Bonjour,

Je trouve 361s.

Merci pour l'enigme.

Posté par J-P J-P

Le seau est plein, je clôture l'énigme.

Posté par Razibuszouzou (invité)

Et pour moi la coupe est pleine !  

Je n'ai pas participé à cet exercice, car j'ai bien vu qu'il fallait se servir de calcul intégral, et je ne sais plus le faire...  
Tout cela est beaucoup trop technique pour moi. Je préfère vraiment quand les énigmes mettent en jeu moins de notions mathématiques, et plus d'astuce.

Posté par J-P J-P

Oui Razibuszouzou, mais il en faut pour tous les goûts.

La manière classique de résoudre ce problème passait effectivement par la résolution d'une intégrale mais il était possible, si on n'en connait plus les techniques de résolution, de rejeter le problème sur un logiciel tel que excel ou équivalent ou de s'en tirer avec quelques lignes de programmation. (même si je préfère quand on s'en passe).

Par exemple par Excel, le principe est:

Il faut diviser le temps en tout petits intervalles, par exemple 1/100 de seconde.
On calcule le débit de fuite avec la hauteur d'eau du moment. (0 au début)
On calcule l'augmentation du volume d'eau résultat du débit du robinet - débit de le fuite pendant 1/100 seconde.
On calcule ce que cela représente comme hauteur d'eau dans le seau.
On fait la ligne suivante dans Excel de la même manière mais en reprenant comme hauteur d'eau, la hauteur trouvée la ligne précédente.
On tire avec la poignée toutes les lignes vers le bas.
et on regarde en bas de tableau pour quel temps la hauteur atteint 25 cm.
Il y a bien entendu une légère erreur du résultat final, mais en prenant les intervalles de temps suffisamment petits, on arrive avec une précision très décente.

Posté par borneo borneo

Ben moi non plus, je ne maîtrise plus ces outils-là, j'ai donc essayé avec excel, mais de seconde en seconde, et ça me semblait risqué...
Par contre, ça me donne envie de m'y remettre... il y a un cours là dessus quelquepart ?
L'autre solution était de demander au boyfriend de ma fille qui vient d'intégrer les mines, ou à son papy qui a fait l'X dans les années 50, mais on a sa fierté tout de même.

Posté par borneo borneo

Un comble : je n'ai pas fait cette énigme car trop difficile, et je passe de la 18e à la 16e place !!! Y a pas de justice !
Chapeau à ceux qui s'y sont risqués

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Comme le dit J-P, il en faut pour tous les gouts
Razibuszouzou, tu as vu que tu as déjà deux petits à côté de ton pseudo pour symboliser tes deux victoires ?
J'ai ajouté cette petite distinction pour tous les gagnants et heureusement que parfois ceux-ci rencontrent des énigmes posant problème autrement ça ferait des trop longues lignes de petits smileys à côté des pseudos

Et borneo, comme quoi, des fois il faut aussi jouer stratégique

Posté par Razibuszouzou (invité)

Oui oui J-P et Tom-Pascal, je ne jette la pierre à personne. Je voulais juste dire que c'était moins dans mon goût que les autres énigmes. Je suis intégralement ravi que les jeunes s'éclatent à faire du calcul intégral, et que ce soit l'un d'entre eux qui gagne le challenge ce mois-ci. Chacun son tour ! Je participe pour m'amuser, et celle-ci ne m'a pas amusée, c'est tout.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Et bien moi, je l'ai trouvée difficile, mais sympa cette énigme.(comme toutes celles de J-P d'ailleurs).
J'aime bien ces problèmes bien plus concrets que la résolution de multiplication à trous ou de chasse-lettres.
Je trouve que ce problème nécessitait  une certaine réflexion, voire une certaine astuce pour arriver à la mise en équation. Ca a été la partie la plus difficile pour moi.
Pour la résolution de l'équation différentielle, il y a plus « technique », il suffisait de connaître l'intégrale de xdx, de dx et de u'/u .dx.
Ma seule crainte a été de me planter dans mes calculs .. comme d'hab.. !!!
Encore bravo J-P….

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Voici un moyen de resoudre avec plus de precision ce probleme grace a la methode d'euler car avec excel si on depasse le centieme de secondes le nombre de lignes est vraiment consequent. Mais la methode etait plus propre et a ma portee mais l'idee ne m'est pas venue a l'esprit ... dommage =(

Si ca interesse quelqu'un te qu'il ne comprend pas quekque chose demandez moi =)

#include <stdio.h>

const double PI = 3.1415926535897932384626433832795;
const double dt = 0.00001;

double abs(double n)
{
if (n > 0)
return n;
else
return -n;
}

double trouveh(double volume,double erreur)
{
double min,max,i,val;
min = 0; max = 30;
do
{
i = (min + max) / 2;
val = PI * i * (100 + 2 * i + i * i / 75);
if (val < volume )
min = i;
else
max = i;
} while (abs(val - volume) > erreur);
return (min + max)/2;
}

void main()
{
double volact,hact,t,debittrou,debitrob;
volact = 0;
hact = 0;
t = 0;
debitrob = 100;
do
{
debittrou = 2 * hact ;
t += dt;
volact += debitrob*dt - dt*debittrou;
hact = trouveh(volact,0.0000000001);
printf("%lf : Volume = %lf / Hauteur = %lf\n",t,volact,hact);
} while (hact<25);
}

Resultat retourné : 180.262820 : Volume = 12435.471346 / Hauteur = 25.000001

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Pour faire suite à l'énigme de J-P, cette petite question :

Deux récipients ont, à la symétrie près, exactement le même dimensions (r=10 cm, R=15 cm et h=25 cm) : ils contiennent donc, pleins, le même volume.
Ils sont tous les deux remplis avec un débit de 100 cm^3/s et possèdent, tous deux à la base, la même fuite de débit 2x cm^3/s, x étant la hauteur de liquide dans le récipient.

Y en a-t-il un qui sera rempli avant l'autre ? lequel et de combien de secondes ?

Bonne réflexion,

Philoux

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve 166,84s pour le deuxième cas soit 14s de moins que pour le cas précédent.
C'est normal que le seau se remplisse plus vite quand la base est plus grande car la "pression" de fuite, donc le débit de fuite, à volume rempli égal, est plus faible puisque que la hauteur est plus faible...
Merci Philoux .. Jolis dessins !!!

Posté par jugo jugo

Bonsoir,

Pour philoux et ceux que ça intéresse, j'ai trouvé ça sur [http://perso.wanadoo.fr/hydroland/Hydro_Deprim.htm]

> Si on veut faire les choses correctement, il faudrait demander à J-P le type d'orifice et la section du trou. Ou alors, on prend le problème inverse : avec k=1, quelle section le trou doit-il avoir pour que le seau se remplisse en 180s ?


Calcul des débits
Orifices et ajutages.

Les débits transitants à travers les orifices et "ajutages" divers sont données par :

Q = k S√[2gh]

avec,
• k = coefficient de débit (voir tableau)
• S = section de l'orifice (m), mesurée à sa section extrême extérieure (m²),
• h = charge hydraulique sur l'orifice (m), mesurée du niveau amont du liquide jusqu'au centre de gravité de l'orifice,
• g = accélération de la pesanteur (9.81 m/s²).

Type d'orifice > k
Petit orifice ou orifice rectangulaire (en mince paroi), orifice noyé > 0,62
Orifice ayant exactement la forme de la veine liquide > 1,00
Ajutage conique divergent > 1,00
Ajutage conique convergent > 0,94
Ajutage cylindrique rentrant > 0,50
Ajutage cylindrique extérieur > 0,82

Posté par philoux (invité)

Merci à NF2 pour la résolution ...

Pour la résolution, j'avais raisonné à l'infini en prenant un récipient infiniment large : on a, à la limite, le remplissage du contenu d'un seau qui génère une hauteur nulle => fuite nulle.

Ainsi, plus la base est large, moins il y a de fuite et plus le récipient se remplit vite.


... ainsi qu'à jugo pour pouvoir aller plus loin...

Si je te comprends bien, ce débit est fonction de racine de h ?

Pas facile à intégrer pour la résolution de l'énigme de J-P

Philoux