Différentiabilité d'une application matricielle

Posté par Jau Jau

Bonjour !

Nous commençons le cours sur la différentiabilité et je suis tombé sur l'exercice suivant :

Il s'agit de montrer que l'application T de dans définie par T((A,B)) = AB est différentiable.

J'aurais tendance à dire que les dérivées partielles existent et sont continues : celle par rapport à A associerait B à (A,B) et celle par rapport à B associerait A à (A,B). Mais ça me paraît suffisamment simple et direct pour penser que c'est une jolie connerie. Verdict ?

Et puis il est également demandé de déterminer la différentielle de T en (A,B).
Ici, ce serait l'application qui à (H,K) couple de matrice associe HB+KA ?

Posté par Narhm Narhm

Bonjour,

Oui effectivement tu peux procéder ainsi mais tu utilises des arguments assez fort de calcul différentiel. En plus tu apportes une conclusion plus forte : T est de classe C¹.
Mais il n'y a pas de problèmes, tant que tu sais calculer ces dérivées partielles et montrer qu'elles sont continues.

Sinon, il est tout aussi simple de regarder l'application pour montrer que T est différentiable.
D'ailleurs, la différentielle que tu annonces n'est pas tout à fait correcte.

Posté par Jau Jau

Si T est différentiable on a :
T((A+H,B+K)) = T((A,B)) + D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
Donc T((A+H,B+K)) - T((A,B)) = D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
AK + BH + HK = D(A,B)(T).(H,K) + o((H,K))
Mais HK est le o((H,K)) non ? Faut-il le montrer en regardant la limite du quotient de HK sur la norme de (H,K) ? Sachant qu'on travaille avec des matrices...
Du coup la différentielle en (A,B) serait bien l'application qui à (H,K) associe AK+BH ?

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

Garde l'ordre dans les produits:

la différentielle en (A,B) serait bien l'application qui à (H,K) associe AK+HB

Posté par Jau Jau

Ah oui ! Pas commutatif, donc c'est bien AK + HB.
Et il faut effectivement montrer que HK est un "petit o" de (H,K).
On munit M_n(R) de la norme infinie (toutes les normes sont équivalentes puisqu'on est en dimension finie).
La norme de (H,K) correspond au maximum de ||H|| et ||K||.
La norme de HK est majorée par n.||H||.||K||
Donc c'est gagné.

Merci pour votre aide !