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Volume d un cône

Posté par Cralon (invité) 10-09-05 à 16:07

Bonjour,

J'ai un exercice de maths à faire sur lequel je bloque complètement....

Voici la consigne :
On découpe un secteur angulaire d'angle au centre x dans un disque de carton (voir schéma ci-dessous).
On enlève la partie colorée et on colle bord à bord les rayons [OA] et [OB]. On fabrique ainsi un cône de révolution. Trouver x pour que le volume de ce cône soit maximal.

Voilà... Si vous pouviez me donner un petit coup de pouce svp

Merci d'avance !

Posté par Cralon (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 16:07

Toutes mes excuses, j'ai oublié le schéma dont je parlais ! Le voici.

Volume d un cône

Posté par papanoel (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 16:21

Salut,
si tu le sens de lire en anglais j ai la solution a cette adresse sinon demande pour la traduction

Posté par Cralon (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 16:44

Ok, et donc je résout l'équation f(x)=R(1-(2-x)/2) pour trouver le rayon idéal pour que le cône soit maximal, c'est ça ?

Posté par Cralon (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 16:49

Non c'est pas ça... donc j'ai pas compris ! Ca m'agace !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 10-09-05 à 17:00

Périmètre de la base du cône (en regardant la figure initiale) :
P(x)=(2\pi-x)R

Rayon de la base du cône :
r(x)=\frac{P(x)}{2\pi}=(1-\frac{x}{2\pi})R

Hauteur du cône (théorème de Pythagore) :
h(x)=\sqrt{R^2-r^2(x)}=R\sqrt{(\frac{x}{2\pi})^2+\frac{x}{\pi}}

Volume du cône :
V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2(x)h(x)=\frac{1}{3}\pi R^3(1-\frac{x}{2\pi})^2\sqrt{(\frac{x}{2\pi})^2+\frac{x}{\pi}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par Cralon (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 17:03

R étant le rayon du disque de carton initial ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 10-09-05 à 17:08

Bravo.

Posté par Cralon (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 17:31

Je dois vraiment être idiot Je ne vois vraiment pas comment calculer le x pour que V(x) soit maximal avec une équation pareille !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 10-09-05 à 17:35

Pour y voir clair, tu peux dire :
V(x)=\frac{1}{3}\pi R^3f(\frac{x}{2\pi})
où f(x)=(1-x)^2\sqrt{x^2+2x}
Ensuite, il faut dériver. Au boulot !

Posté par
rene38re : Volume d un cône 10-09-05 à 17:47

Bonjour Nicolas_75
Je crois qu'il y a une petite confusion à la base :
l'énoncé dit "On enlève la partie colorée" alors que tu as utilisé cette partie pour construire le cône.
On doit donc avoir
Périmètre de la base du cône (en regardant la figure initiale) : P(x)=Rx

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 10-09-05 à 17:55

rene38, je comprends ton message.
L'énoncé est ambigu, non ?
"On enlève la partie colorée et on colle bord à bord les rayons [OA] et [OB]" de la partie colorée ?
"On enlève la partie colorée et on colle bord à bord les rayons [OA] et [OB]" de ce qui reste ?

Posté par Termolactil (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 18:09

Il y a un problème général, j'ai le même exercice, mais serait-il possible de le faire en degré, car a priori tout est en radian.

Posté par Termolactil (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 18:13

D'ailleurs, la question demande en fait la partie blanche de l'image au dessus

Posté par papanoel (invité)re : Volume d un cône 10-09-05 à 19:49

cralon> dans le site que je t ai donne, pour avoir la solution il suffisait d appuyer sur help et la page de la solution apparaissait...

Posté par iLoVeScHoOl (invité)re : Volume d un cône 11-09-05 à 00:04

J'ai le même exercice à faire, et j'aimerai aussi connaître le raisonnement mais en degré !
Merci d'avance !!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 11-09-05 à 05:48

Re-bonjour,

Termolactil, iLoVeScHoOl, vous demandez : "serait-il possible de le faire en degré", "j'aimerai aussi connaître le raisonnement mais en degré"
Certains répondront peut-être à votre demande, mais, en ce qui me concerne, la réponse est non.
En effet, on fournit déjà des solutions toutes cuites, et vous demandez encore qu'on les adapte à vos besoins particuliers ! Vous pourriez au moins faire ce dernier effort.

Cralon, il y a vraiment deux façons de comprendre le problème :

a) "On enlève la partie colorée et on colle bord à bord les rayons [OA] et [OB]" de la partie noire
C'est par exemple l'optique retenue ici :

b) "On enlève la partie colorée et on colle bord à bord les rayons [OA] et [OB]" de ce qui reste (en blanc)
C'est la vision retenue dans le lien de papanoel ci-dessus.

Pour ma part, je retiens l'interprétation b), sachant que le raisonnement est facilement adaptable pour résoudre a).

Je reprends à zéro, et en profite pour corriger une erreur de signe présente dans mon premier message.

Périmètre de la base du cône (en regardant la figure initiale) :
P(x)=(2\pi-x)R

Rayon de la base du cône :
r(x)=\frac{P(x)}{2\pi}=(1-\frac{x}{2\pi})R

Hauteur du cône (théorème de Pythagore) :
h(x)=\sqrt{R^2-r^2(x)}=R\sqrt{1-(1-\frac{x}{2\pi})^2}

Volume du cône :
V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2(x)h(x)

\fbox{V(x)=\frac{1}{3}\pi R^3(1-\frac{x}{2\pi})^2\sqrt{1-(1-\frac{x}{2\pi})^2}}

On note V(x)=\frac{1}{3}\pi R^3 f(\frac{x}{2\pi})
avec f(x)=(1-x)^2\sqrt{1-(1-x)^2}

f est dérivable sur ]0;1[ et :
f'(x) = ...\textrm{ courage ! }... = \frac{1-x}{\sqrt{1-(1-x)^2}}(3x^2-6x+1)

Donc f est croissante sur [0;1-\frac{\sqrt{6}}{3}] puis décroissante sur [1-\frac{\sqrt{6}}{3};1]

Donc le volume est maximal est atteint en :
\fbox{x_{max}=2\pi(1-\frac{\sqrt{6}}{3})}

Sauf erreur.

Nicolas






Posté par iLoVeScHoOl (invité)re : Volume d un cône 11-09-05 à 10:23

Mais justement, comment mettre ce raisonnement en degré ??

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 11-09-05 à 10:29


2\pi=360° ?

Posté par joulie57 (invité)re : Volume d un cône 11-09-05 à 19:11

g des question qui suive a ce probleme moi:
calculer au degra pres l'angle au somet du secteur circulaire decoup
et calculer le vol max du cone
c'est la rpemiere question que g du mal a trouvé

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 12-09-05 à 01:19

Oulala, ça ne va plus Nicolas.
J'ai inversé x et 2\pi-x.
Je me rends compte que j'ai donc travaillé à 5h48 dans le cadre de l'interprétation a), en considérant le cône formé à partir de la partie noire, et non dans le cadre de la b).
De toute façon, on passe de l'une à l'autre en remplaçant 1-\frac{x}{2\pi} par \frac{x}{2\pi} dans l'expression du volume.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Volume d un cône 12-09-05 à 01:22

joulie57, l'angle au sommet se calcule facilement en considérant un triangle rectangle dont :
- le côté adjacent est h(x)
- l'hypoténuse est R
- le côté opposé est r(x)
Tu n'as donc que l'embarras du choix : arccos, arcsin ou arctan :

Nicolas


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