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Fonctions coercives, convexes, ...


maths supFonctions coercives, convexes, ...

#msg3792871#msg3792871 Posté le 23-10-11 à 12:44
Posté par ProfilManeki Maneki

Bonjour !

Voici l'énoncé d'un exercice, je ne vois absolument pas comment commencer !
"
Soit f : n .
On dit que f est inf-compact si pour tout ,
S := { x n ; f(x) } est compact.

1) On suppose f continue. Montrer que :
f est coercive f est inf-compact.
2) On suppose f convexe. Montrer que :
f est inf-compact Il existe 0 tel que S[sub]0[/sub] est compact non vide.

Alors je sais ce qu'est une fonction coercive, mais je ne vois pas du tout comment partir avec la compacité !...

Merci pour votre aide !
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3792977#msg3792977 Posté le 23-10-11 à 13:46
Posté par Profilcarpediem carpediem

salut

c'est quoi une fonction coercive ???
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re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3793043#msg3793043 Posté le 23-10-11 à 14:08
Posté par ProfilManeki Maneki

Une fonction f est coercive si f(x) tend vers +oo lorsque ||x|| tend vers +oo .
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3793228#msg3793228 Posté le 23-10-11 à 15:08
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Moi non mlus je ne connaissais pas ce "coercive".

Alors 1) : Soit \alpha > 0. Alors il existe R tel que pour ||x|| > R on ait f(x) > \alpha. mais alors S_\alpha est fermé et borné, puisque contenu dans la boule de rayon R.
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3793338#msg3793338 Posté le 23-10-11 à 15:44
Posté par Profilcarpediem carpediem

réciproquement

suppososn f inf-compact alors pour tout a > 0 :: Sa est compact donc il existe r > a tel que Sa est inclus dans la boule de rayon r

mais alors si ||x|| > r alors f(x) > a

c'est vrai pour tout a > 0 donc en passant à la limite f est coercive ....
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3794036#msg3794036 Posté le 23-10-11 à 18:53
Posté par ProfilManeki Maneki

Merci pour vos réponses, mais je n'ai pas tout compris !...

Camelia, je ne comprends pas pourquoi le alpha doit etre positif, puisque dans l'énoncé il est dans R.
je ne comprends pas non plus ton raisonnement !

carpediem : un peu pareil , || x ||>r alors f(x) > a ?
je comprends rien lol
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3795728#msg3795728 Posté le 24-10-11 à 14:01
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

D'accord, \alpha n'a pas besoin d'être positif.

Ensuite, je te rappelle que la définition de
\lim_{||x||\to +\infty}f(x)=+\infty

est

(\forall\alpha \in \R)(\exists R > 0)(||x|| > R\Longrightarrow f(x) > \alpha)
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3797004#msg3797004 Posté le 24-10-11 à 20:12
Posté par ProfilManeki Maneki

Ok, mais pourqoui S alpha fermé borné ?
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3797026#msg3797026 Posté le 24-10-11 à 20:21
Posté par Profilcarpediem carpediem

c'est la définition d'un compact, non ?
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3797037#msg3797037 Posté le 24-10-11 à 20:26
Posté par ProfilManeki Maneki

oui d'accord mais pourquoi on a ça en supposant f coercive ?
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3797041#msg3797041 Posté le 24-10-11 à 20:27
Posté par Profilcarpediem carpediem

c'est ce que Camelia t'a montré !!!!!
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3797046#msg3797046 Posté le 24-10-11 à 20:29
Posté par ProfilManeki Maneki

Je ne comprends pas ce qu'elle a fait, le "mais alors" je ne vois pas le rapport.
re : Fonctions coercives, convexes, ...#msg3798504#msg3798504 Posté le 25-10-11 à 14:13
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Je n'écrirai pas une rédaction complète... fais un effort!

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