Démontrer que 3 droites sont concourantes

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

Bonsoir, voici l'énoncé de mon exercice.

Sur les côtés du triangle ABC, on considère les points I,J et K définis par :
(ce sont des relations vectorielles)

IB = -1/2IC ; JA = -2/3JC ; KC = -3/4KA

Démontrer que les droites (AI),(BJ)et(CK) son concourantes.

J'ai vraiment tout essayé, en mettant chacune des relations sous la forme GA+GB=0 , mais aucun des résultats n'est cohérent. Toute aide possible est la bienvenue.

Posté par pgeod pgeod

avec les barycentre, peut-être ?
ou les coordonnées dans repère (A, AB, AC)

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

Oui c'est une résolution avec les barycentres mais la question c'est comment ?

Posté par Tilk_11 Tilk_11

Bonsoir,
n'y aurait-il pas une erreur dans la définition de K....par hasard ?

Posté par Glapion Glapion

Bonsoir, tu dois avoir une erreur d'énoncé car JA = -2/3JC montre que J est sur la droite AC et KC = -3/4KA montre que K aussi est sur AC
la troisième égalité doit être KB=-3/4KA ou quelque chose comme ça car K est surement sur AB

Posté par pgeod pgeod


ecris les relations barycentriques

IB = -1/2IC
2IB = -IC
2 IB + IC = 0
I bary de {(B; 2) (C; 1)}

fais la même chose pour les 2 autres relations.

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

En effet il y avait un erreur d'énoncé, la troisième relation est la suivante : KB=-3/4KA

Pour les relations barycentriques, voila ce que j'ai trouvé :
I bary de {(B; 2) (C; 1)}
J bary de {(A; 3) (C; 2)}
K bary de {(B; 4) (A; 3)}

Posté par pgeod pgeod

Démontrer que les droites (AI),(BJ)et(CK) son concourantes

Soit G le point d'intersection recherché
on cherche

G bary de {(A ,a) (B; 2) (C; 1)}
G bary de {(A ,3) (B; b) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; 4) (C; c)}

<=>

G bary de {(A,2a) (B; 4) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; b) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; 4) (C; c)}

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

C'est l'homogénéité du barycentre que tu as utilisé ?!

Posté par pgeod pgeod

le raisonnement est le suivant :

Si G est le point d'intersection des droites (AI),(BJ)et(CK)
alors G appartient à (AI), G appartient à (BJ) et G appartient à (CK)

si G appartient à (AI), alors G peut s'écrire comme bary de A et de I
si G appartient à (BJ), alors G peut s'écrire comme bary de B et de J
si G appartient à (CK), alors G peut s'écrire comme bary de C et de K

on cherche donc un point G qui soit tel que :

G bary de {(A ,a) (B; 2) (C; 1)}
G bary de {(A ,3) (B; b) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; 4) (C; c)}

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

Ok jusque là je comprends mais comment exprimer a et b?

Posté par pgeod pgeod


G bary de {(A ,a) (B; 2) (C; 1)}
G bary de {(A ,3) (B; b) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; 4) (C; c)}

<=>

G bary de {(A,2a) (B; 4) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; b) (C; 2)}
G bary de {(A,3) (B; 4) (C; c)}

pour que les trois sysèmes soient équivalents :

2a = 3
b = 4
c = 2

Posté par Maxwellx3 Maxwellx3

Merci beaucoup, problème résolu.