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Problème de statistique loi normale.


btsProblème de statistique loi normale.

#msg3797573#msg3797573 Posté le 25-10-11 à 06:10
Posté par ProfilFrench1 French1

Bonjour,
J'ai besoin d'une personne assez brillante pour m'aider à faire ce problème car je suis nul en stat. J'ai exploré toutes les avenues mais en vain, j'ai besoin de me faire diriger.

Le propriétaire d'une société de distribution de produits alimentaires, située dans la région de Toronto, reçoit de l'Inde de grandes quantités de riz qu'il traite et emballe dans des sacs. Dans son usine, une seule machine est utilisée pour verser le riz dans des sacs étiquetés de 4 kg. Le poids du riz qui y est versé peut évidemment varier quelque peu d'un sac à l'autre. La machine est toutefois réglée de telle sorte que le poids des sacs de riz se distribue selon une loi normale de moyenne μ = 4,2 kg et d'écart-type σ = 0,4 kg. On peut donc supposer que la quantité de riz versée dans un sac est indépendante de celle versée dans tout autre sac.

1 . Quelle est la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

2 . Le propriétaire de la société considère deux propositions pour réduire la proportion de sacs dont le poids est en deçà du poids inscrit sur l'étiquette. La première proposition est de faire passer le poids moyen à 4,3 kg et de laisser l'écart-type tel quel. La deuxième proposition consiste à garder le poids moyen à 4,2 kg et à faire passer l'écart-type de 0,4 kg à 0,2 kg.

a) Quelle serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur
l'étiquette si le propriétaire opte pour la première proposition?

b) Quelle serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur
l'étiquette si le propriétaire opte pour la deuxième proposition?

c) Quelle proposition recommanderiez-vous au propriétaire?

3 . À quelle moyenne le propriétaire doit régler la machine s'il veut que seulement 10 % de sacs pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

4 . Un inspecteur d'une agence gouvernementale visite l'usine afin de s'assurer que les
règlements sur l'étiquetage sont bien respectés. Il prélève au hasard dix sacs parmi
ceux qui viennent d'être remplis par la machine et il pèse le contenu de chacun des
sacs à l'aide d'une balance très précise. Il suffit que l'un des sacs pèse moins de 4 kg pour qu'il émette un constat de non-conformité. Si la machine est réglée de telle sorte que la quantité moyenne μ versée est toujours égale à 4,2 kg et l'écart-type σ = 0,4 kg, quelle est la probabilité pour que l'inspecteur émette un avis de non-conformité?
re : Problème de statistique loi normale.#msg3797583#msg3797583 Posté le 25-10-11 à 08:22
Posté par ProfilTed Ted

Bonjour,
1. tu dois calculer P(X<4)
2.a X suit N(4.3;0.4) calculer P(X<4)
2.b X suit N(4.2;0.2) calculer P(X<4)
2.c choisir la solution pour laquelle P(X<4) est la plus petite
3. X suit N(m;0.4) déterminer m pour que P(X<4)=0.1
4. Passage à une loi binomiale
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re : Problème de statistique loi normale#msg3798783#msg3798783 Posté le 25-10-11 à 15:22
Posté par ProfilFrench1 French1

Suis-je correct avec cette démarche à l'aide d'excel?
=LOI.NORMALE(4,2;4;0,4;VRAI)
Réponse 0,691462461

Merci beaucoup pour votre aide.
Cordialement
re : Problème de statistique loi normale.#msg3798855#msg3798855 Posté le 25-10-11 à 15:40
Posté par ProfilTed Ted

alors plutôt que d'utiliser excel (que je ne maîtrise pas) je préfère utiliser le changement  de variable T=\frac{X-m}{\sigma} et la table de la loi normale centrée réduite ...
P(X<4)=P(\frac{X-4.2}{0.4}<\frac{4-4.2}{0.4}=P(T<-\frac{1}{2})  ce qui donne  P(T<-{1}{2})=1-\pi(0.5) = 1-0.6915=0.3085
re : Problème de statistique loi normale#msg3799677#msg3799677 Posté le 25-10-11 à 18:18
Posté par ProfilFrench1 French1

Je dois vous remercier pour votre aide, vous savez que vous êtes très gentil de m'aider, je vous en suis très reconnaissant.

J'ai fait une petite erreur dans mon premier calcul, voici plutôt les réponses aux deux premières question:

Question 1
=LOI.NORMALE(4;4,2;0,4;VRAI)
  Réponse : 0,3085

Question 2
a) P(X<4)
    =LOI.NORMALE(4;4,3;0,4;VRAI)
      Réponse : 0,226627352

b) P(X<4)
    =LOI.NORMALE(4;4,2;0,2;VRAI)
      Réponse : 0,158655254

Maintenant pour la question 3 je dois isoler le poid moyen car je ne le connais pas, est-ce que je dois également utiliser la loi normale et comment je fais?

z= 4-a = 0,1
   0,4

P.S. Dans votre réponse plus haut, à quel endroit vous avez pris le 12 dans l'équation P(T < -12).

Enocre une fois merci

re : Problème de statistique loi normale.#msg3799909#msg3799909 Posté le 25-10-11 à 19:10
Posté par ProfilTed Ted

Je vois que tu es en BTS tu n'auras pas excel le jour de l'examen, je te conseille donc de faire les calculs ou au moins le changement de variable par écrit, même une calculatrice telle que la ti-82 peut faire ces calculs....
dans mon calcul le -12 est à remplacer par -1/2 c'est une erreur de frappe.
tes deux calculs de proba sont justes, maintenant il faut faire ton choix entre les deux suggestions, tu prends quelle option ?
re : Problème de statistique loi normale.#msg3800062#msg3800062 Posté le 25-10-11 à 19:51
Posté par ProfilFrench1 French1

Voici mon choix en c):
c) La solution pour laquelle P(X<4) serait la mieux serait la deuxième 0,158655254 car elle est la plus petite. Ce qui fait en sorte de réduire l'écart.

Pouvez-vous m'aider pour la question 3?

Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg3800146#msg3800146 Posté le 25-10-11 à 20:13
Posté par ProfilTed Ted

pour la 3 :
P(X<4)=0.1
P(\frac{X-m}{0.4}<\frac{4-m}{0.4})=0.1
P(T<\frac{4-m}{0.4})=0.1 est équivalent à P(T\ge \frac{m-4}{0.4})=0.1
on aura alors 1-P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.1
P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.9
tu sais que \pi(1.29)\simeq 0.9
donc  \frac{m-4}{0.4}=1.29
je te laisse revoir tout ça à tête reposée pour être bien certain d'avoir compris...
re : Problème de statistique loi normale.#msg3800736#msg3800736 Posté le 26-10-11 à 02:40
Posté par ProfilFrench1 French1

Puis-je soliciter votre aide pour la question 4?

Avec excel on demande le nombre de succès, tirages, probabilité de succès et la cumulative. Comment dois-je faire?

Nombre de succès ??
Je présume que les tirages sont 10
Probabilité de succès ??
La cumulative sera FAUX


Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg3800751#msg3800751 Posté le 26-10-11 à 06:33
Posté par ProfilTed Ted

comme le poids des sacs suit une loi normale de paramètres m=4.2 et =0.4 il est facile de déterminer la probabilité que le poids s'un sac est inférieure à 4 kg, ce sera également la probabilité de succès de la variable aléatoire Y, ensuite à l'aide de la loi binomiale tu pourras déterminer la probabilité P(Y1)
re : Problème de statistique loi normale.#msg3803810#msg3803810 Posté le 26-10-11 à 22:29
Posté par ProfilFrench1 French1

Si je comprends bien, je dois claculer la même chose qu'à l'exercice 1 puis par la suite y aller avec la loi binomiale?

P(X<4)
=LOI.NORMALE(4;4,2;0,4;VRAI)
  Réponse : 0,3085

Ensuite j'utiliser la loi binomiale:
Nombre de succès ??
Les tirages sont 10
Probabilité de succès 0,3085
La cumulative sera FAUX

Suis-je dans le champs?
re : Problème de statistique loi normale.#msg3803830#msg3803830 Posté le 26-10-11 à 22:40
Posté par ProfilTed Ted

Y suit B(10,0.3085)
P(Y1)= 1-P(Y=0) = 0.975
re : Problème de statistique loi normale.#msg3804080#msg3804080 Posté le 27-10-11 à 03:18
Posté par ProfilFrench1 French1

Merci beaucoup TED pour toute votre aide. Vous êtes une personne très aimable.
Puis-je soliciter votre aide une dernière fois dans un problème de probabilité? Le voici:

L'Institut de la propriété industrielle (IPI) a pour mission de veiller sur la protection des inventions enregistrées par l'industrie et ceci, moyennant des frais annuels fixes. Les brevets d'inventions industrielles sont ainsi enregistrés par l'IPI qui catégorise ces derniers en trois groupes : les technologies de l'information (TI), l'industrie médicale et pharmaceutique (MP) et l'ingénierie industrielle (II). Cette année, 60 % des brevets enregistrés à l'IPI sont du type TI, 39 % appartiennent à la catégorie MP et 1 % appartiennent à la catégorie II. L'Agence Brevets Fauchon (ABF) est sous-traitante pour l'IPI afin de faire des vérifications périodiques quant à l'utilisation non légitime de ces inventions par d'autres industries. Les agents de l'ABF ont donc accès à tous les dossiers relatifs aux brevets d'invention de l'IPI. Pour effectuer son travail périodique et pour gagner du temps, un agent de l'ABF tire périodiquement au hasard un échantillon de sept dossiers correspondant à sept brevets d'invention.

1 . Quelle est la probabilité de ne tirer aucun dossier appartenant à la catégorie II?

2 . Quelle est la probabilité que la majorité des dossiers tirés appartienne à la catégorie TI?

3 . Quel est le nombre espéré de dossiers de la catégorie TI dans l'échantillon? Quel est son écart-type?

Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg3804095#msg3804095 Posté le 27-10-11 à 07:18
Posté par ProfilTed Ted

Il s'agit d'utiliser des lois binomiales, selon la variable aléatoire désignée à toi de déterminer le paramètre p correspondant, c'est à toi de me proposer quelque chose...
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806654#msg3806654 Posté le 27-10-11 à 19:38
Posté par ProfilFrench1 French1

Voici ma réponse

=LOI.BINOMIALE(;7;0,1;FAUX)
Réponse : 0,4783
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806679#msg3806679 Posté le 27-10-11 à 19:46
Posté par ProfilTed Ted

non tu sais que X suit B(7;0.01) et tu cherches P(X=0)= \binom{7}{0}0.01^0\times 0.99^7
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806724#msg3806724 Posté le 27-10-11 à 19:57
Posté par ProfilFrench1 French1

Désolé, je crois avoir oublié un 0.

=LOI.BINOMIALE(;7;0,01;FAUX)
Réponse : 0,9321 ou 93.2%

Merci

Maintenant pour la question 2, je crois qu'il s'agit:

=LOI.BINOMIALE(;7;0,6;FAUX)= 0.0016
=1-0,0016 = 0.9984
Réponse : 0,9984 ou 99.8%
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806764#msg3806764 Posté le 27-10-11 à 20:06
Posté par ProfilTed Ted

tu as un échantillon de 7 dossiers si la majorité doit être de la catégorie TI on doit déterminer la probabilité P(X4)
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806777#msg3806777 Posté le 27-10-11 à 20:09
Posté par ProfilFrench1 French1

Suis-je correct de cette façon?

=LOI.BINOMIALE(4;7;0,6;FAUX)
Réponse : 0,2903 ou 29%
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806784#msg3806784 Posté le 27-10-11 à 20:11
Posté par ProfilFrench1 French1

Sans oublier bien entendu:
=1-0,2903 = 0.7097
Réponse : 0,7097 ou 71%
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806798#msg3806798 Posté le 27-10-11 à 20:14
Posté par ProfilTed Ted

P(X4)=P(X=4)+P(X=5)+...+P(X=7)0.7102
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806801#msg3806801 Posté le 27-10-11 à 20:15
Posté par ProfilTed Ted

ok
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806857#msg3806857 Posté le 27-10-11 à 20:35
Posté par ProfilFrench1 French1

Pour la question 3 je n'ai aucune idée?
Pouvez-vous me guider?

Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806921#msg3806921 Posté le 27-10-11 à 20:56
Posté par ProfilFrench1 French1

Je crois avoir la bonne réponse, pouvez-vous confirmer?

=LOI.BINOMIALE(0;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(1;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(2;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(3;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(4;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(5;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(6;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(7;7;0,7097;FAUX)

x P(X = x)
0 0,0002
1 0,0030
2 0,0218
3 0,0889
4 0,2172
5 0,3186
6 0,2597
7 0,0907

Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg3806936#msg3806936 Posté le 27-10-11 à 21:00
Posté par ProfilFrench1 French1

Et son écart-type
=ECARTYPE(D5562)= 0,1241
re : Problème de statistique loi normale.#msg3807559#msg3807559 Posté le 28-10-11 à 02:02
Posté par ProfilTed Ted

Quand une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n et p l'espérance mathématique est donnée par E(X) = n p et la variance V(X) = n p q
re : Problème de statistique loi normale#msg3807586#msg3807586 Posté le 28-10-11 à 02:46
Posté par ProfilFrench1 French1

Donc, je ne suis pas correct avec ce problème?
re : Problème de statistique loi normale.#msg3807615#msg3807615 Posté le 28-10-11 à 07:32
Posté par ProfilTed Ted

on a p=0.71 et n = 7 donc E(X)=0.71*7 = 4.97
je le vois pas dans tes réponses tu dois encore faire le total de tes xip(xi)
V(X)=7*0.71*0.29=1.4413 ==> 1.20
d'une manière générale tu balances des résultats obtenus avec un tableur, mais tu n'expliques en rien de ta démarche pour moi c'est pas bon... il faudrait au début du deuxième exercice expliquer pourquoi tu utilises une loi binomiale...
re : Problème de statistique loi normale.#msg3810300#msg3810300 Posté le 28-10-11 à 18:21
Posté par ProfilFrench1 French1

Merci beaucoup pou toute votre aide, vous m'aidez énormément à comprendre.
re : Problème de statistique loi normale.#msg3810409#msg3810409 Posté le 28-10-11 à 18:48
Posté par ProfilTed Ted

je ne sais pas si je t'ai aidé à comprendre mais j'aimerai que tu essaies de refaire cet exercice sans excel et sans regarder le corrigé...
re : Problème de statistique loi normale.#msg4116159#msg4116159 Posté le 04-04-12 à 18:24
Posté par ProfilMalinah Malinah

Bonjour à vous 2, je suis aussi à la résolution de ce même problème, et je me demandais ce que signifiais votre PI dans la formule inscrite plus haut. Donc, la question est comment calculer vous le PI(0.5) pour que ca donne 0,6915?


re : Problème de statistique loi normale.#msg4116568#msg4116568 Posté le 04-04-12 à 22:31
Posté par ProfilTed Ted

Bonsoir,
le (t) signifie qur l'on fait la lecture de la probabilité dans le tableau de la loi normale centrée réduite...
re : Problème de statistique loi normale.#msg4663616#msg4663616 Posté le 15-04-13 à 02:42
Posté par ProfilMbenk025 Mbenk025

French1 j'aimerais savoir si ton travail a été corrigé et si quelque chose était faux. J'ai à la remettre aussi et j'aimerais pouvoir vérifier. Merci
re : Problème de statistique loi normale.#msg4663712#msg4663712 Posté le 15-04-13 à 10:32
Posté par ProfilTed Ted

Bonjour,
tu n'auras pas de réponse de French1 puisque son compte n'est plus actif (pseudo en vert),
tu peux toujours mettre tes réponses et je vérifierai...
Problème de statistique loi normale.#msg5045404#msg5045404 Posté le 03-03-14 à 21:30
Posté par ProfilTrembj Trembj

Bonjour,

J'aimerais savoir si c'est possible pour vous de m'aider.

J'ai justement le même exercice à faire et je n'arrive pas à saisir la question 3 qui a déjà très bien été démontré, mais d'où vient le 1.29 et au final comment trouver cette moyenne.

Le propriétaire d'une société de distribution de produits alimentaires, située dans la région de Toronto, reçoit de l'Inde de grandes quantités de riz qu'il traite et emballe dans des sacs. Dans son usine, une seule machine est utilisée pour verser le riz dans des sacs étiquetés de 4 kg. Le poids du riz qui y est versé peut évidemment varier quelque peu d'un sac à l'autre. La machine est toutefois réglée de telle sorte que le poids des sacs de riz se distribue selon une loi normale de moyenne μ = 4,2 kg et d'écart-type σ = 0,4 kg. On peut donc supposer que la quantité de riz versée dans un sac est indépendante de celle versée dans tout autre sac.

À quelle moyenne le propriétaire doit régler la machine s'il veut que seulement 10 % de sacs pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

P(X<4)=0.1
P(\frac{X-m}{0.4}<\frac{4-m}{0.4})=0.1
P(T<\frac{4-m}{0.4})=0.1 est équivalent à P(T\ge \frac{m-4}{0.4})=0.1
on aura alors 1-P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.1
P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.9
tu sais que \pi(1.29)\simeq 0.9
donc  \frac{m-4}{0.4}=1.29

Merci de votre aide
re : Problème de statistique loi normale.#msg5051600#msg5051600 Posté le 08-03-14 à 09:31
Posté par ProfilTed Ted

Bonjour
le 1.29 on le trouve par lecture du tableau de la loi normale centrée réduite on voit que pour t=1.29 on a une probabilité P(t<1.29)=0.9015
pour trouver m il suffit alors de résoudre  \frac{m-4}{0.4}=1.29
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