Demonstrations ensembles

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Bonjour, j'ai les propriétés suivantes à démontré, je voulais juste savoir si j'avais bon, et dans le cas contraire pourquoi ai-je faux

Soient E un ensemble de référence, A,B,C, et D des ensembles qqconques de E :

1) AUE = E

AUE = {xE, xA ou xE}
or AE, donc xA,xE

On peut donc réecrire AUE = {xE, xE ou xE} ce qui revient à l'ensemble E.

2) A AUB et BAUB

xAUB xA ou xB

Donc si xA, alors xAUB (car le ou est inclusif)

D'où l'inclusion, de même pour B.

3) AB et CD => AUC BUD

AB <=> si xA alors xB
CD <=> si xC alors xD

Donc si xA ou xC alors xB ou xD

D'où l'inclusion

4) AB => AUC BUC

AB <=> x (xA => xB)

Donc x si xA ou xC alors xB ou xC

D'où l'inclusion

5) AUB = A <=> BA

Alors celui-là depuis tout à l'heure j'y arrive pas, si qqun peut m'aider svp :'(

6) AUB = <=> A= et B=

Si on a un ensemble A et B vide, alors ils n'ont aucun élément, donc leur réunion n'a aucun élément, il s'agit donc de l'ensemble vide
Reciproquement, si la reunion de deux ensembles n'a aucun élément, alors forcement aucun des deux ensembles n'a d'éléments, dans le cas contraire la réunion définit par le ou logique aura au moins un élément, elle ne sera donc plus l'ensemble vide.

(Celui-là je trouve que je l'ai bof bof démontré ...)

Merci d'avance, n'hésitez pas à faire part de "précisions", de point de détail, de minuscule riquiqui fautes, je suis ouvert à tous et la pour ca

Posté par Bachstelze Bachstelze

Bonjour

Tu écris A E = {x E, x A ou x E}. Lis ça à haute voix, tu verras que ça n'a aucun sens.

Posté par abou-salma abou-salma

1. Il est plus simple de démontrer l'égalité en démontrant l'inclusion mutuelle. Chaque élément de l'un est un élément de l'autre.

5.
Première partie de la démonstration :
AUB = A =>
----------
BAUB
donc
BA

Seconde partie de la démonstration :
BA =>
----------
(il s'agit en fait de l'exercice 1)
d'après 4 : BA => BUAAUA (=A)  => AUBA
et d'après 2 : AAUB

Donc AUB = A

Posté par abou-salma abou-salma

Le 6 est plus simple à démontrer par les inclusions. Le vide est déjà inclus dans tous les ensembles. Si donc un ensemble est inclus dans l'ensemble vide, il est alors égal à l'ensemble vide (inclusion mutuelle).

AUB = => A et B
=> A= et B= (puisque est déjà inclus dans A et B)

et dans l'autre sens:
A= et B= => AUB = U=

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

MERCI enormement de m'avoir répondu, ca m'aide vachement !

Donc pour Bachstelze : Oui en effet c'est un peu beaucoup n'importe quoi, je pense que si je réecris ca comme ca AUB = {xE, xA ou xB} c'est largement mieux nan ^^ ?

Pour abou-salma : oui, je vois la méthode de la double inclusion est plus adapté, mais j'essayé de voir le problème autrement, de partir de l'un pour avoir l'autre  

Pour le 6, j'avoue que c'est super pratique comme ca !

Et pour le 5 aussi c'est pas mal du tout

Je prends en note merci

Mais sinon, mes démonstrations sont-elles entre autre bonne ? Mis à part les petites fautes de précisions que m'a fait remarquer Bachstelze

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

pardon, pour Bachstelze : AUB = {x, xA ou xE}

Posté par abou-salma abou-salma

La dernière définition de AUB viole 1 prinicpe fondamental de la théorie des ensembles. un ensemble ne peut en effet être défini que comme sous-ensemble d'un autre. Ici E en l'occurrence.

Tu n'as pas le droit d'écrire x, tu dois toujours en effet préciser un ensemble d'appartenance. Bachstelze a tort dans sa critique de ta définition de AUE.

La démonstration du 1. n'est pas rigoureuse. L'équivalence ou la substitution d'un terme par un autre ne doivent être employées que lorsqu'il s'agit d'une évidence. La double inclusion est ici le mieux à faire.

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

EN l'occurence, ce que vous dites pour la définition d'un ensemble, c'est que pour la définition en compréhension non ?
Car en extension, si x est une variable qui designe les objets, tel qu'ils appartiennent à machin et machin, ca marche non ?

Si je dis ensemble des nombres pairs = {2k, k} c'est bon ?
C'est donc pareil pour une union : AUE = {x, xA ou xE} ?

Maintenant du coup j'y vois plus rien >.< !

D'accord, je vois pour le 1 le mieux est tjrs la double inclusion !

Posté par Bachstelze Bachstelze



Non. Le quantificateur était en trop.

Posté par abou-salma abou-salma

"
Si je dis ensemble des nombres pairs = {2k, k} c'est bon ?
C'est donc pareil pour une union : AUE = {x, xA ou xE} ?
"

Non ce n'est pas pareil. De plus, le premier aurait été plus rigoureux de l'écrire: {n, k / n = 2*k}={n, n = 0 mod 2}

Il faut toujours un ensemble de référence. Vous le dites vous-même d'ailleurs dans votre premier post que c'est E.
Donc l'expression  AUE = {x, xA ou xE} est fausse
l'expression  AUE = {xE, xA ou xE} est bonne

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Merci pour votre patience, et votre rigueur, j'ai enfin réussi à comprendre les ensembles, enfaite... C'est trop bien les ensembles !
Merci aussi à Bachstelze, pour ma faute inattention

Bonne soirée à vous deux !

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Bonsoir,

Je suis vraiment de relancer cette discussion, et de vous ré-embeté avec mes ensembles hi hi

Mais pour la 1) enfaîte j'ai essayé par double inclusion, mais ce que ca me donne c'est assez vague ..

AUE = E

Prouvons que AUE E :

x AUE <=> xA ou xE
Or AE
Donc x A, xE
=> xA ou x E, xE
=> x(AUE), x E

Prouvons que E AUE :

x E, or AUE <=> xA ou xE
Donc x E, xAUE

C'est bon ? Est ce bien structuré ?
Meme une faute minime ^^ (je suis un peu à fond sur la rédaction désolé ..)

Merci davance

Posté par Bachstelze Bachstelze

Tu utilises le quantificateur à tort et à travers. Je te le redis : essaie de lire ta rédaction à haute voix en le remplaçant par "pour tout" et tu verras que ça n'a aucun sens.

Prouver que AE E:

Soit x A E.
x A ou x E.
Si x E, on a ce qu'on veut.
Comme A E, si x A, alors x E, donc on a encore ce qu'on veut : x E.
Donc dans les deux cas x E, et donc A E E.

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Merci pour une réponse aussi rapide, okééé j'ai compris votre raisonnement (qui est bien plus claire ^^)

Mais je ne vois vraiment pas pourquoi j'ai fait une faute de quantificateur :O

xA,xE <=> AE

Donc j'ai bien le droit de marquer xA ou xE ca revient au même de dire x (AUB) nan ?

Svp, éclairez moi que je ne fasse plus la faute (ca me fait stresser car je me suis bien entrainer aux quantificateurs,  ù_ù ... )

Merci d'avance

Posté par Bachstelze Bachstelze



Moi ça me choque. Après un , il doit y avoir une assertion, pas un "ou". Et tu quantifies la variable x deux fois, et ça c'est très mal.

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Ha ouaiiiiiiiiiiiis .... (Je suis choqué :O )

En gros, mon assertion j'aurais du l'écrire :

xA, xE ou xE, xE

Donc x(AUB) , xE

???

(mais bon je préfére votre rédaction !)

Posté par Bachstelze Bachstelze

C'est un et, pas un ou. Les deux propositions sont vraies. On a a E et E E, et c'es tpour ça que A E est également inclus dans E.

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Bon si je fais des erreurs autant les faire maintenant ..

Je me lance (je vois a peu près mon erreur) :

Si je dis x(AUE) <=> x A ou x E
Or AE

Donc ( x A,xE) et xE, xE)

C'est bon ?

Maintenant si je dis x(AUE) <=> x A ou x E
Or AE

Donc xE, x A ou x E => x E

C'est bon aussi non ?

Plus dure mtn, x(AUB), x(AUC) (ou B et C = ensembles qqconques de E)

Ca revient à dire : ( x A,  x A ou xC) et (xB, xA ou xC)

Désolé de vous embêter avec ca ^^"

Posté par Bachstelze Bachstelze

Pourquoi tiens-tu absolument à utiliser le quantificateur ? Pour montrer A B, le plus naturel est de prendre un élément quelconque de A, et montrer qu'il est forcément dans B. Comme tu prends un élément quelconque de A, ton raisonnement sera valable pour tous les éléments de A, mais tu n'auras pas à te trimbaler ce quantificateur.

Posté par chisuikafuku chisuikafuku

Moui.. pas faux !

Je pense je vais plutôt voir les choses comme ca, ca m'evitera bien des prises de têtes

Merci pour tous ! Bonne soirée (ou bonne nuit !)

Posté par abou-salma abou-salma

Pour compléter et ajouter plus de précision à ce que dit Bachstelze

utilise le quantificateur universel dans tes énoncés, mais pas pour entamer une démonstration.

ie ta phrase: ( xA,  xA ou xC) n'a rien de choquant.

Par contre, pour démontrer par exemple que A(AB), tu peux procéder par la démonstration suivante:

************Début Démo**************
Soit x appartenant à A,
Il est alors vrai que "x appartient A ou bien x appartient à B"
Donc x(AB)
************Fin Démo**************
PS:il aurait été choquant de commencer la démo par x appartenant A, à la place de "Soit x appartenant à A".