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sous groupes de (Z/nZ,+)

   
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autresous groupes de (Z/nZ,+)

#msg269485 Posté le 12-09-05 à 19:29
Posté par jacko78 (invité)

Bonjour, je suis actuellement sur un exo ou il faut que je determine les sous groupes de (/n,+) mais je ne suis pas sur de ma demarche...

Voila,

Soit G un sous groupe de (/n,+)
Alors G doit contenir le neutre, qui ici est \bar{0}
Tout élément de G doit avoir un symetrique dans G pour l'addition, donc exemple si G contient \bar{k} pour k=1 a (n-1), il doit aussi contenir \bar{n-k} d'apres moi...

Mais cela suffit il pour determiner et avoir tous les sous groupes de (/n,+) ??

Je voudrais aussi determiner le nombre de morphismes de (/n,+) vers (/q,+) et la j'ai moins d'idée mais c'est surtout pour les sous groupes que je voudrai de l'aide...


Merci a tous
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269497 Posté le 12-09-05 à 19:33
Posté par Profilotto otto

Bonjour,
si j est dans ton groupe, que dire de 2j,3j etc et finalement nj?

Inversement, soit G un tel sous groupe, puisque ton groupe est cyclique, que dire de G? Conclusion.

Conclusion?
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269543 Posté le 12-09-05 à 19:50
Posté par jacko78 (invité)

Bah je pense que G est cyclique egalement, donc il contient le générateur du groupe qui est la classe de 1, non?
je vois ce que tu veux dire avec j qui engendrent mais ca n eme mene pas a la reponse...
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269553 Posté le 12-09-05 à 19:55
Posté par Profilotto otto

Il n'y a aucune raison qu'il contienne 1.
Sinon tu vas au bout avec mon raisonnement, si tu vois comment faire.
A+
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269559 Posté le 12-09-05 à 19:58
Posté par jacko78 (invité)

bon alors je n'ai pas compris ton aide
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269584 Posté le 12-09-05 à 20:09
Posté par jacko78 (invité)

Quelqu'un pour m'aider ?
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269710 Posté le 12-09-05 à 21:01
Posté par jacko78 (invité)

S'il vus plait ca ne doit pas etre infaisable mais si je pose la question c'est que je suis en difficulté, tout n'est pas evident pour tout le monde...
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269742 Posté le 12-09-05 à 21:35
Posté par Profilotto otto

Si G est un sous groupe d'un groupe cyclique, alors il est cyclique.
Donc, que dire des éléments de G?
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269760 Posté le 12-09-05 à 21:53
Posté par jacko78 (invité)

Si G est cyclique alors il est monogène fini et donc les éléments de G s'écrivent comme somme du générateu du groupe.
C'est pas ca ??
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269768 Posté le 12-09-05 à 21:55
Posté par Profilotto otto

Oui c'est bon, et donc...
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269777 Posté le 12-09-05 à 21:58
Posté par jacko78 (invité)

le probleme c'est que je ne vois pas qui est le générateur de mon sous groupe (c'est le meme que pour le groupe je sais), c'est pas \bar{0} donc je ne vois pas.
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269792 Posté le 12-09-05 à 22:09
Posté par Profilotto otto

Ce que c'est concretement, va changer suivant le groupe que tu prends, donc appelle le comme tu veux.
Appelle le a par exemple.
Et donc essaie de voir maintenant ce qui se passe...
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269830 Posté le 12-09-05 à 22:39
Posté par jacko78 (invité)

Bon allez je laisse tomber je tacherai de comprendre la corrction j'ai plein d'autres exos qui m'attendent...

Merci quand meme
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269834 Posté le 12-09-05 à 22:45
Posté par Profilotto otto

C'est ton problème, mais pour un mathspé il ne devrait pas y avoir de problème sur un tel exercice.
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269842 Posté le 12-09-05 à 22:55
Posté par jacko78 (invité)

Et bien il se trouve que cette année j'ai des problemes en maths, il n'y a pas que des génies en mathspé et il y en a, comme moi, qui s'ils n'ont pas un vrai cours ne savent pas en deviner les consequences.

Mais le propre d'un mathspé c'est pas pour moi de savoir tout faire apres 10 jours de cours mais c'est de perseverer, aussi la remarque sur la faiblesse de l'exercice que je n'arrive pas a faire est sans effet...Je finirai par le comprendre

Bonne soirée
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269879 Posté le 13-09-05 à 03:02
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Bonsoir;
il me semble qu'on peut dénombrer les sous groupes de (\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) suivant leurs cardinaux qui sont des diviseurs de n.
je m'explique:
*soit G est un sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} avec\fbox{Card(G)=d}.G est cyclique (comme sous groupe d'un groupe cyclique) donc si \bar{a} en est un générateur on peut écrire que:
\fbox{ord(\bar{a})=d\\G=\{\bar{0},\bar{a},..,\bar{(d-1)a}\}\\(\forall\bar{x}\in G)d\bar{x}=\bar{0}}
en particulier,vu que \fbox{n\bar{a}=\bar{0}}, on a que \fbox{d|n}.
*inversement,soit d un diviseur de n posons:
\fbox{G=\{\bar{x}\in\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}}/d\bar{x}=\bar{0}\}} c'est clairement un sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} et qui en plus contient tout sous groupe de cardinal d.En particulier G contient le sous groupe \fbox{G_d=\{\bar{0},\bar{a},..,\bar{(d-1)a}\}} où \fbox{a=\frac{n}{d}}
et donc \fbox{Card(G)\ge d}
d'autre part G étant cyclique on voit que l'ordre d'un quelconque de ses générateurs divise d et donc que \fbox{Card(G)\le d}.
Conclusion:
Les cardinaux (ou les ordres) des sous groupes additifs de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} sont des diviseurs de n et si d est un diviseur de n l'unique sous groupe additif de \mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}} qui soit de cardinal d est: \fbox{G_d=\{\bar{0},\bar{\frac{n}{d}},..,\bar{(d-1)\frac{n}{d}}\}}
remarque:
Il y a autant de sous groupes de (\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) qu'il y a de diviseurs de n.Ainsi si \fbox{n={p_1}^{\alpha_1}..{p_s}^{\alpha_s}} est la décomposition en produit de facteurs premiers de n,le nombre de ces sous groupes est \fbox{\Bigprod_{i=1}^{s}(1+\alpha_i)}
Voilà jacko78,j'espére que c'est assez clair sauf erreur bien entendu
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg269968 Posté le 13-09-05 à 14:14
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Par exemple;
*si n est premier,(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) n'admet pas de sous groupes propres.
*si n=pq avec p,q premiers,(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}},+) a exactement 2 sous groupes propres:
\{\bar{0},\bar{q},\bar{2q},..,\bar{(p-1)q}\} d'ordre p et \{\bar{0},\bar{p},\bar{2p},..,\bar{(q-1)p}\} d'ordre q.
Sauf erreur...
pr elhor#msg270695 Posté le 13-09-05 à 21:13
Posté par Profilkachouyab kachouyab

quel language utilisez vous ds votre saisie.  merci
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg270743 Posté le 13-09-05 à 21:28
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Le language utilisé est le 3$\rm LaTe\chi
re : sous groupes de (Z/nZ,+)#msg270748 Posté le 13-09-05 à 21:29
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Bonsoir;
C'est du \fbox{LATEX} dont le mode d'emploi est expliqué sur l'ile ( en haut de cette page pret du point d'interrogation)

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