Un exercice Utopi(c)QUE

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Un exercice Utopi(c)QUE

Posté le 13-09-05 à 01:57

Posté par davidk2 (invité)

Topologie(3 ème année)
Soit A

.On pose par définition :

>0 $A_{\eps}=U_{x\in{A}}$ ]x-

,x+

[

1/Montrer que $A_{\eps}$ est un ouvert de A

$A_{\eps}$

2/Montrer que $\bar{A}=\cap{_{n\in{\mathbb{N}}}}A_{\frac{1}{n}}$

3/que pensez vous de ces propositions suivantes ?
Tout fermé de R est l'intersection d'une famille dénombrale d'ouverts de R

Tout ouvert de R est la réunion d'une famille dénombrable de fermés de R

Merci d'avance

re:Un exercice Utopi(c)QUE

Posté le 13-09-05 à 03:58

Posté par elhor_abdelali

1/ $A_{\epsilon}$ est ouvert puisque réunion d'ouverts.
$\fbox{A=\Bigcup_{x\in A}\{x\}\subset\Bigcup_{x\in A}]x-\epsilon,x+\epsilon[=A_{\epsilon}}$
2/
$y\in\bar{A}\Longleftrightarrow\forall n\in{\mathbb{N}}^{*}]y-\frac{1}{n},y+\frac{1}{n}[\cap A\neq\empty\Longleftrightarrow\forall n\in{\mathbb{N}}^{*}\exists x\in A/x\in]y-\frac{1}{n},y+\frac{1}{n}[\Longleftrightarrow\forall n\in{\mathbb{N}}^{*}\exists x\in A/y\in]x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}[\Longleftrightarrow\forall n\in{\mathbb{N}}^{*}y\in A_{\frac{1}{n}}\Longleftrightarrow y\in\Bigcap_{n\in{\mathbb{N}}^{*}}A_{\frac{1}{n}}$
3/ l'énoncé " Tout fermé de R est l'intersection d'une famille dénombrable d'ouverts de R " est vrai.
Car si $F$ est un férmé de $\mathbb{R}$ on a:
$F=\bar{F}=\Bigcap_{n\in{\mathbb{N}}^{*}}F_{\frac{1}{n}}$
par passage au complémentaire on a que l'énoncé:
" Tout ouvert de R est la réunion d'une famille dénombrable de fermés de R " est vrai.
Sauf erreur bien entendu

Posté le 13-09-05 à 11:05

Posté par davidk2 (invité)

Merci.

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