Transformations élémentaires sur matrices

Posté par Narhm Narhm

Non je ne suis pas d'accord (ta matrice étant à coefficients dans Z, il est clair que son déterminant le sera aussi.)
Revérifie toutes les transformations ou refais le en partant de 0 puis donne tes opérations, on verra.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

après 17 transformations, dt une aurait je pense pu être évitée, je trouve un déterminant de 77 pr la matrice.

Etes-vs d'accord ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Non malheureusement et je t'ai déjà dit pourquoi il était clair que ce n'était pas ca... tu ne peux pas avoir un déterminant non entier !
En plus, comme tu as des fractions, cela signifie que tu as effectuée des opérations élémentaires n'ayant un déterminant égale à 1, il faut les prendre en compte et on en a déjà discuté plusieurs fois.

J'obtiens une matrice diagonale en n'effectuant que des opérations du type et ainsi que 3 permutations de lignes. (Cela impliquera que le produit de mes termes diagonaux sera l'opposé du déterminant !)

Je te donne mon début pour que tu puisses reprendre et je te laisse finir :

A toi de continuer.

PS : Pour te permettre de vérifier, le déterminant est le carré d'un entier

Posté par Narhm Narhm

Pardon, tu peux oublier mes deux premières phrases, je me suis perdu dans tous nos posts ...
Cela dit, ce n'est toujours pas correct et je maintiens le reste de mon message.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

je ne sais pas si vous êtes toujours sur le suivi de ce sujet. Si je n'ai pas de nouvelles, je comprendrai et lancerai un nouveau topic.

J'ai donc à revenir sur le chapitre des matrices, pr lequel j'ai encore des lacunes.

Y-a-t-il une méthode (genre algorithmique) à appliquer pour trouver la forme normale (et dc le rang) d'une matrice A donnée ?
Notamment, dans les transformations successives, est il nécessaire de procéder dans un premier temps à des transformations sur les lignes et unbiquement les lignes de la matrice pr obtenir une diagonale principale faite de 1 et éventuellement de 0, et des 0 partout ailleurs, puis seulement une fois que toutes les possibilités de transformations sur les lignes sont épuisées, transformer les colonnes, dc ne pas mélanger les transformations sur lignes avec celles sur colonnes ?

Je pose la question.

merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Salut pppa,

Oui c'est algorithmique et si tu as fait plusieurs essaie à la main tu l'as déjà remarqué sinon regarde dans ton cours la preuve du théorème disant qu'on peut toujours obtenir la forme normale d'une matrice.
On commence par placer des 0 en dessous de chaque élément de la diagonale en agissant sur les lignes puis on fait la même chose au dessus de chaque élément diagonale avec les colonnes.


Cela n'a pas d'importance puisque agir sur les lignes c'est multiplier la matrice à gauche alors qu'agir sur les colonnes c'est multiplié la matrice à droite.

Plus précisément donnons nous deux opérations élémentaires à effectuer sur une matrice A : (1) une sur les lignes qui est représentée par la matrice P et (2) une sur les colonnes qui est représentée par Q. Il suffit de montrer que faire (1) puis (2) revient au même que faire (2) puis (1).
Or tu vois bien que :
  ¤ si on applique (1) à la matrice A, on transforme la matrice A en PA.
  ¤ appliquons ensuite (2) : on a transformé la matrice PA en (PA)Q.
De même :
  ¤ si on applique (2) à la matrice, on transforme la matrice A en AQ.
  ¤ appliquons ensuite (2) : on a transformé la matrice AQ en P(AQ).
Mais par associativité de la multiplication matricielle : (PA)Q=P(AQ)=PAQ.
Donc l'ordre ligne/colonne n'a pas d'importance.

Posté par pppa pppa

merci d'avoir repris le sujet

sur l'associativité du produit matriciel, je l'avais retenu
ma question que j'ai  mal formulée consiste à me faire préciser si on peut faire par ex des transformations élémentaires sur des lignes, puis sur des colonnes, puis en refaire sur des lignes selon les opérations qui semblent "évidentes" au fur et  à mesure des transformations pr aboutir à la forme cherchée

Procéder ainsi, on peut ? Votre réponse semble me confirmer que non ; confirmer-vous ? Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Au contraire, mon message vise à t'expliquer pourquoi il possible d'alterner opération sur les lignes et opération sur les colonnes sans que cela ne change le résultat i.e. la forme normale.
Nous l'avons déjà fait ensemble, reprends ces exemples.

Posté par pppa pppa

Mais ds la mesure où - si j'ai bien compris - pr obtenir la forme normale de A, P est le produit (en sens inverse de leur apparition) des matrices intermédiaires suite aux opérations sur les lignes, et Q le produit (ds le sens de leur apparition) des matrices intermédiaires suite aux opérations sur les colonnes, je pensais que l'ordre de traitement importait.

Effectivement, j'ai revu votre exemple du 10/11/2011  11 h 45 , on a "mélangé" les opérations sur lignes et colonnes.

Bon je réfléchis à nouveau et si besoin je reviendrai, à moins que vs ayez un commentaire/complément à apporter qui puisse m être utile.

Merci bcp

Posté par Narhm Narhm


Oui, pour ça il n'y aucun doute, c'est vrai et tu as bien compris.

Je t'ai expliqué pourquoi l'"ordre du traitement" n'importait pas dans mon message du 23-01-12 à 21:37.
As-tu vraiment réfléchi à cette question avant de la posée ? As-tu bien compris mon dernier message ?
On a fait 2 ou 3 exemples ou l'on ne s'est jamais préoccupé de l'ordre des opérations lignes/colonnes sans compté que rien ne t'empêchait de prendre une matrice 2x2 ou 3x3 au hasard, effectué plusieurs opérations et voir.

N'hésite pas si tu as encore des questions mais prends aussi le temps de réfléchir, de tester , de jouer avec cette notion tout seul. C'est en pratiquant que tu y verras plus clair.