Transformations élémentaires sur matrices

Posté par pppa pppa

bonjour à tous

Il s'agit d'un exemple (basique) qui illustre la façon  de trouver la matrice inverse et le déterminant d'une matrice A ;

A = ,

par la méthode des transformations élémentaires.

Ds un 1er tps , il faut N_A, la forme normale de A, que j'obtiens en 3 transformations

.

ce que je ne comprends pas, c'est comment trouver les matrice P et Q t.q  .

L'exemple indique que , et je ne comprends pas comment on aboutit à ce résultat.

Pouvez-vs m'expliquer svp ; j'essaierai alors de trouver Q.

J'ai seulement retenu que les transformations pr trouver P portent sur des lignes, et sur des colonnes pr trouver Q

Merci d'avance

Posté par Narhm Narhm

Bonjour pppa,

Ce qu'il faut retenir c'est exactement ta dernière phrase : agir sur les lignes c'est multiplier à gauche et agir sur les colonnes c'est multiplier à droite A.
Par exemple, si tu fais l'opération , cela revient à multiplier A à gauche par la matrice .
Tu as alors .
A toi de trouver les autres opérations à faire et d'emboiter les calculs .

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

Si je te suis bien, la 1ère étape consiste à poser :

Pr obtenir N_A (qui va donner la mtrice identité)
il faut d'abord obtenir 0 à la place du 3.
La transformation qui va bien consiste à transformer L₂ par .
J'obtiens

P est alors la matrice à gauche de A qui, multipliée par A, donnera .

Soit cette matrice.

Je dois alors poser

Je détermine a,b,c et d en posant 2 syst. linéaires de 2 équations à 2 inconnues

    et   ; je trouve bien alors

.

Est-ce la bonne démarche. Si tu la valides, j'essaierai de trouver Q.

Question qui en découle :

P n'est pas identique à celle du livre, la 2 ème ligne est multipliée par -2 ; est-ce que je peux passer outre sachant que P n'est qu'une étape (simplifiée à l'extrême ici, mais c'est pr comprendre la méthode de base des transf. élémentaires) pr calculer le déterminant et la matrice inverse de A ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Il s'agit de faire les choses très naturellement, un peu de façon algorithmique en fait.
Ce n'est pas la peine de faire la recherche de P telle que tu l'as faite, on sait déjà quelle sera sa forme. P est entièrement donnée par l'opération élémentaire.
Faire c'est multiplié par la matrice qui a des 1 sur sa diagonale et sur la i-ieme ligne et k-ieme colonne et des zéros ailleurs.
Faire c'est multiplié par la matrice qui a des 1 sur sa diagonale et sur la i-ieme colonne et k-ieme ligne , puis des zeros ailleurs.
Globalement, quand tu fais un opération élémentaire, tu multiplies par la matrice identité à qui tu as les mêmes opérations.

Donc continue ta simplification de matrice, on va bien voir si tu as compris.

Posté par pppa pppa

Bonjour Narhm

J'ai pensé que la transformation à effectuer sur PA pr trouver Q est .

Je trouve alors .

J'ai alors et .

Mais qd je fais le produit , je ne retrouve pas A.

Pouvez-vs me dire où je me suis trompé ?

Merci d'avance

Posté par Narhm Narhm

Bon alors supposons qu'on ait effectué ta dernière opération via la matrice Q.
Cela veut dire qu'on a (tu peux le vérifier si ca te rassure).
Donc il reste une opération à faire pour obtenir N_A.

Posté par pppa pppa

Si j'appelle , je cherche la matrice Q" qui me permettra d'obtenir une matrice Q t.q. P.A.Q. = N_A en utilisant la propriété d'associativité du produit matriciel

Je trouve et ds ces conditions P.A.Q. = N_A

J'ai alors et .

Questions naïves :
1/ . Prquoi ?

2/ A-t-on ou doit-on tjs avoir N_A = I ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Ok pour la matrice que tu as trouvé Q.

Je ne suis pas d'accord pour la matrice .
Du coup, une fois corrigé tu pourras vérifier qu'on a bien .


C'est toi qui voulait ça ... on a tout fait pour l'avoir donc j'ai du mal à comprendre ta question.

Posté par pppa pppa

1/ Pr obtenir Q^-1, j'ai oublié de diviser par le dtmt de Q, qui est...... ! Dc je m'excuse et et j'ai le résultat souhaité.

2/ .

Dc ça prouve que il y a qqc que je n'ai pas bien compris ds le cours. (Moi ce que je veux, c'est comprendre... )

Il est dit que, au chapitre " calculer + facilement le dtmt et l'inverse d'une matrice", tte matrice A peut s'exprimer en fonction de sa forme normale N_A, pr aboutir aux relations:

P.A.Q = N_A   et A = P^-1.N_A.Q^-1, et les exemples donnés montrent que les transformations pr aboutir à N_A aboutissent à la matrice identité.
Cpte tenu de l'associativité du produit matriciel et du rôle d'élément neutre joué par I ds l'ensemble des matrices carrées muni de la multiplication, je me pose la question de savoir à quoi sert N_A si on cherche à la rendre égale à I, et est-ce que c'est tjs le cas ? Je pense que non, mais je ne sais pas l'expliquer ; pouvez-vs m'aider/m'éclaircir ces points du cours svp ?

Merci d'avance

Posté par Narhm Narhm

D'accord donc la bonne question à ce poser est alors qu'est que la forme normale d'une matrice pour toi/ton cours ?

Si tu as dans l'idée d'obtenir le déterminant de A, l'idée est de partir de A puis en effectuant des opérations élémentaires arriver à une matrice diagonale.
Si dans tes opérations élémentaires tu n'autorises que des opérations du type (1) et pareil sur les colonnes, alors tu vas aboutir à une matrice du type .
Comme ces opérations représentent une multiplication à gauche ou à droite par une matrice triangulaire ayant des coefficients égaux à 1 sur leur diagonale, tu as nécessairement .

Tu obtiens le déterminant de A sans avoir eu besoin de calculer P et Q. En particulier tous les coefficients ne sont pas nuls ssi A est inversible.

Si tu as dans l'idée de calculer l'inverse de A (dans le cas ou elle est inversible), alors tu peux continuer l'étape d'avant autorisant cette fois-ci des transformations du type (2) avec et pareil sur les colonnes.
Tu as arrivé à la matrice identité i.e . Je te laisse voir qu'on en déduit l'inverse de A par un simple calcul matricielle.

Par exemple, dans ce que tu as fait jusque ici avec ta matrice A, tu vois qu'on a fait :
¤ deux opérations du type (1) : et avec ce que j'ai dit, tu en déduis le déterminant de A.
¤ une opération du type (2) : .
Avec ces trois opérations, tu en déduis l'inverse de A.

Posté par pppa pppa


Maintenant que je commence à mieux manipuler le calcul matriciel, oui

Je vs remercie pr votre réponse que j'essaie de comprendre point par point pr avancer .

Là où je bute pr l'instant c'est comment expliquer l'égalité :

P et Q ont servi à trouver la matrice diagonale ?

Merci de m'aider et de me dire

Posté par Narhm Narhm

Oui P et Q nous ont servi à écrire A sous forme d'une matrice diagonale.
C'est exactement ce que tu as fait lors de cette discussion, tu es parti de pour arriver qui est bien diagonale.

Ensuite, le déterminant est un morphisme de groupe multiplicatif, cela signie en terme moins pompeux que .
Donc si , on a bien , ok?
Dans le cas ou on ne s'est autorisé que des opérations du type (1), on a det(P)=det(Q)=1 d'ou le résultat.

Posté par pppa pppa

Bonsoir

le pb que j'ai sur ce cours c'est que je comprends ou pense comprendre ce que je lis (cours) et ce que tu m'expliques (qui m'a déjà permis de progresser un  peu) mais je n'arrive pas à avoir une vision synthétique d'ensemble de la problématique.

Notamment sur la fonction (à quoi ça sert) de déterminer la forme normale d'une matrice.

J'ai bien noté et appris que , pr une matrice A, si on note N_A sa forme normale, on doit trouver 2 matrices P et Q t.q. N_A = P.A.Q  et A = P^-1.N_A.Q^-1.

Mais j'en reviens à ma question qui peut paraître stupide mais tant pis, moi ce que je veux c'est comprendre, qd je demandais si N_A = I, tu me répondais
.

Mais alors , on peut choisir la forme normale à laquelle on veut aboutir, du moment que les coeff diagonaux  (de la dgl ppale) sont les seuls coeff. non nuls de la forme normale.

Et ts ces calculs, est ce que j'ai bien compris prquoi on les fait ? C'est pr avoir des matrices plus simples qui permettent de calculer le dtmt ou la matrice inverse de A ?

Dsl de ces questions insistantes , mais si je les pose c'est que ce n'est pas clair, et que je veux que ça le devienne ; de tte façon
- je finis tjs (ou quasi tjs) par y arriver (dès fois comme ici j'y mets le tps)
- le forum est là pr essayer de m'aider + personnellement, parce que je trouve les ressources internet issues du moteur de recherche  trop ardues pr qqn qui a mon niveau de connaissances.

Dc encore merci de m'aider

Posté par Narhm Narhm

Il n'y a pas de problème, si tu viens sur l'île c'est pour poser tes questions (il n'y a pas de questions bêtes non ?) et nous si on est là c'est pour tenter d'y répondre donc tout est permis tant qu'il y a une vraie réflexion.

Principalement, obtenir la forme normale d'une matrice permet d'avoir le déterminant et le rang de la matrice.
Dans le cas ou le rang est maximal, il fournit une manière effective d'avoir l'inverse de ta matrice.

En ce qui concerne ta question :
C'est parce que dès le départ tu voulais l'obtenir, ce qui avec chance était possible donc je ne pouvais t'en dire plus.

Je te pose plusieurs questions, histoire de faire le point sur ce qui est clair pour toi ou ne l'est pas :
¤ La matrice associée à une opération du type est de quelle forme ? Quel est son déterminant ? Est-elle inversible ?
¤ La matrice associé à une opération du type est de quelle forme ? Quel est son déterminant ? Est-elle inversible ?
¤ Si A,B,C sont trois matrices carrés d'ordre n, ?

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

merci pr tes réponses, ta pédagogie et tes encouragements.

Je regarde ce jour et reviendrai  en soirée

merci encore

Posté par pppa pppa

Bonsoir

j'ai retravaillé mon exemple et j'arrive à trouver  P, Q, P-1 et Q-1 d'un "trait", ça veut dire que je progresse en matière d'automatismes ds le calcul matriciel.
Mais pr l'instant, je raisonne en posant "a priori" que N_A= I sans encore bien savoir prquoi, sinon que parce que c'est comme ça ds le livre, dc je ne pourrais pas rester lgtps avec des raisonnements comme ça.

J'en viens aux questions que vs avez la bonne idée de me poser (merci bcp de me suivre pédagogiquement)
et je vais essayer d'y répondre. Probablement que ça ns aidera à détecter où sont mes véritables lacunes. (je compte sur votre indulgence si j'écris des bêtises)




Il s'agit d'additionner à une ligne de la matrice un multiple d'une autre ligne de la matrice. On présuppose qu'il s'agit d'une matrice carrée.
La matrice ainsi transformée à le même nbre de lignes et de colonnes que la matrice initiale ;
Ca ne change pas son dtmt.
Elle est inversible ssi son dtmt est non nul



Il s'agit de multiplier une ligne de la matrice par un scalaire non nul . On présuppose qu'il s'agit d'une matrice carrée.
La matrice ainsi transformée à le même nbre de lignes et de colonnes que la matrice initiale ;
Son dtmt est multiplié par .
Elle est inversible ssi son dtmt est non nul.

Etai-ce bien le type de réponses que vs attendiez ?



Oui, puisque les déterminants de matrice (carrée évidemment) constituent un morphisme de groupe multiplicatif ;vs me l'avez écrit avant-hier et je connais cette terminologie étudiée en algèbre générale ds le cadre des structures.

Merci encore de l'aider et de me dire ; demain je serai + disponible.

Posté par Narhm Narhm

Ce n'est pas tout à fait ce que j'entendais par "matrice associée".
J'appelle A la matrice sur laquelle on va agir.

(1) La matrice associée à une opération du type est la matrice P telle que PA=B où B est la matrice obtenue à partir de A et de l'opération effectuée.
Tu peux vérifier que en effectuant le produit matriciel à la main. En particulier, P est une matrice carré et inversible puisque triangulaire avec seulement des 1 sur sa diagonale.

(2) De même, la matrice associée à une opération du type est la matrice Q telle que AQ=B où B est obtenue à partir de A en effectuant l'opération donnée.
Tu peux vérifier que de même.
Pour les mêmes raisons, il s'agit encore d'une matrice carré inversible de déterminant égale à 1.

(3) A toi de voir pour une opération du type i différent de k (de même avec les colonnes).

(4) A toi de voir pour l'opération avec alpha non nul ( de même avec les colonnes ).

Maintenant, dans ton cours, tu dois avoir vu qu'après une suite de telles opérations du type (1), (2) et (3), on peut toujours ramener une matrice sous la forme presque "diagonale".
Plus formellement, il existe
avec tous les coefficients non nuls. C'est la forme normale de A.

Si on s'autorise de plus des opérations du types (4), alors ton cours doit te dire qu'on obtient un même matrice mais avec uniquement des coefficients égaux à 1.
Plus formellement, il existe .
Dis moi si jusque là, nous sommes d'accord.

Ensuite, ce n'est qu'une formalité pour obtenir et donc enfin répondre à toutes tes questions.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

Pr les points (1) et (2) je ne comprends pas à quoi correspond .

Pr la forme normale d'une matrice A, c'est une matrice ayant même nombre de lignes et de colonnes que A, pr laquelle les coeff. non nuls sont ceux de la dgl ppale, le nombre des non nuls étant égal au rang de la matrice.

Si c'est bien ça
- puisque ds l'exemple, on est en présence d'une matrice (2;2) dt ts les vecteurs lignes et vecteurs colonnes sont linéairement indépendants, alors tous les coeff de la dgl ppale de A sont non nuls
- et de ton exemple je déduis que les a₁, a₂, ... a_r non nuls sont égaux à 1.
C'est bien ça ? ou peuvent-ils prendre une autre valeur ds le corps associé différente de 1 ?

ce qui explique que ds l'exemple simplissime du début, la forme normale soit égale à I en (2;2) ?

Posté par Narhm Narhm

D'accord.
Alors la matrice celle ayant des zéros partout sauf à la i-ieme ligne et j-ieme colonne qui vaut 1.

Si je comprends bien ta forme normale est ma matrice carré rxr avec les coefficients diagonaux a1,...,ar.
Je confirme aussi que le rang de A se lit sur le nombre de coefficients de la matrice normale, c'est à dire le nombre que j'ai appelé 'r'.



Oui, dire que ta matrice a ses 2 colonnes linéairement indépendante signifie qu'elle est de rang maximale donc inversible car c'est une matrice carré. En particulier, sa forme normal est la matrice que j'ai appelé , qui n'est rien d'autres que l'identité dans ton cas.
Tant qu'on est dans un corps, on peut s'arranger pour avoir uniquement des 1 et des 0 dans la forme normale (si on s'autorise toutes les opérations élémentaires).

Par exemple, si tu prends la matrice , montre que :
¤ si on autorise les opérations (1),(2) alors on obtient la matrice suivante
.
En particulier, elle est de rang 3 et de déterminant égale à 1x1x4=4.

Posté par pppa pppa

Bonsoir Nahrm

Non ce que je comprends de la forme normale d'une matrice A, c'est cette matrice-là

, pr laquelle les coeff diagonaux au-dela de la r-ième ligne et r-ième colonne sont nuls lorsque les termes des lgnes/colonnes au-delà de la r-ième sont linéairement dépendants avec des lignes/colonnes précédents.

r est alors le rang de A, et lorsque ttes les lignes/colonnes sont linéairement indépendantes entre elles, alors ts les coeff. dgnx (sur la dgl ppale) de la forme normale valent 1 (puisque tu me confirmes que lorsque les matrices ont des termes associées à un corps, ici )on peut tjs parvenir à obtenir des 1.

Est-ce que déjà j'ai compris ce point ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm



Que viennent faire les r ligne/colonne indépendantes de A ?

Par exemple dans la matrice , les deux premières colonnes/lignes sont linéairement indep entre elles. Son rang devrait être 1 ?

Posté par pppa pppa

Là je ne sais pas dire et j'ai l'impression que je me perds.

Bon, reprenons posément si vs voulez-bien svp.

1ère question déjà : quelle est l'utlité de déterminer la forme normale d'une matrice ?

Jusqu'à maintenant j'applique 'bêtement' le cours, ds lequel on fait mention de cette forme normale.
La seule chose que je pense avoir retenu c'est que cette forme normale permettrait de trouver des matrices (P et Q ds mon exemple) dt le déterminant et l'inverse se détermineraient + facilement que ceux de A, et qui permettraient de trouver ces valeurs/matrices.

Dc comment répondriez-vs à ma question, et est-ce que ce que je pense avoir retenu sur ce point est juste ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Oui et je l'ai déjà dit : obtenir la forme normale d'une matrice A te donne son rang ( le nombre de 1 ), si en plus tu calcules les matrices P et Q qui transforme A en sa forme normale tu peux en déduire le déterminant et l'inverse sous réserve d'inversibilité de A.

Exemple :
Je prends la matrice .
J'effectue à la suite les opérations suivantes sur A:

J'obtiens la matrice
Je termine alors par l'opération ce qui me donne la matrice identité.

Bilan : A est de rang 3, comme c'est une matrice carré 3x3 elle est inversible et on a trouvé P et Q telle que .
Comme P et Q sont des produits de matrices inversibles, on a .
On a trouvé l'inverse de A.
De plus on a .
Alternative : comme je n'ai effectué que des opérations du type (1) et (2) pour obtenir la matrice B, les applications P' et Q' pour y parvenir ont une déterminant égale à 1. Ainsi via l'écriture on en tire .
Aucun calcul de P' et Q' n'a été nécessaire pour obtenir le det de A !

Cela illustre mieux l'objectif "forme normale" ?

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

Bon exemple qui devrait m'aider à avancer.

J'ai fait les transformations et j'aboutis à I₃.

Mon pb ici c'est de savoir comment écrire P et Q ?

J'ai noté (mon cours l'écrit et vs me l'avez bien dit aussi) que agir sur les lignes c'est multiplier à gauche et agir sur les colonnes c'est multiplier à droite de la matrice A.

Chq fois qu'on a agit sur une ligne, on a dc une matrice P_i, en l'occurrence ici 4 et Chq fois qu'on a agit sur une colonne, on a dc une matrice Q_i, en l'occurrence ici 3 ?

Si c'est ça, comment écrire par ex P₁; ? , ce qui correspondrait à la transfo. ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Non ce n'est pas cette matrice.
Tu peux vérifier que la matrice qui correspond à la transformation est la matrice obtenue à partir de l'identité et à qui on a fait la même opération.
Exemple : pour , la matrice associée sera .

Je note la matrice associé à la i-ieme opération sur les lignes qu'on a fait, et la matrice correspondant à la i-ieme opération sur les colonnes.
La forme normale de A sera donc .

C'est mieux ainsi ?

Posté par pppa pppa

Dc P₁ serait ,

P₂=

P₃=


Etes-vs d'accord, non seulement avec les résultats, mais aussi avec les indices, pr que je fasse le produit P₃.P₂.P₁ ds le bon sens pr obtenir P, le produit matriciel n'étant pas commutatif.

Et prquoi ne tient-on pas cpte de la 4 ème transformation sur L₃ ?  Multiplier une ligne par un scalaire non nul est prtant une opération élémentaire ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Tout simplement parce que je l'ai oublié en relisant mon message ... bien sur il nous la faut.
Cela dit, je m'aperçois que j'ai recopié n'importe quoi quand je t'ai donné les opérations élémentaires. Il fallait lire :

puis on arrive toujours à la matrice B (ce qui ne change pas la suite).

P1 est ok, P2 est ok et il faut changer P3 maintenant et ajouter P4.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

j'ai repris les calculs au début, non seulement pr m'entrainer mais aussi pr esasyer de voir si j'ai "l'intuition" des transformations élémentaires à effectuer (dc en essayant de les faire avant de lire ce que tu fais) ; ça progresse..

Dc ensuite je trouve P₃ =

et

P₄ =


Supposons que ce soit bon, pr trouver P, faut-il faire le produit P₄.P₃.P₂.P₁ ds cet ordre ?

et ensuite pr trouver Q,  Q₁.Q₂.Q₃  ds cet ordre ?

Si oui, prquoi cet ordre , car si oui, il doit y avoir une raison, le produit matriciel n'étant pas commutatif.

D'ailleurs, question secondaire, supposons (car je n'ai pas vérifié) que l'ensemble des matrices carrées muni de l'addition et de la multiplication matricielle présente une structure  de corps (ce qui je pense devrait être le cas pr le matrices carrées inversibles), est-ce que ça va être/serait le 1er cas de corps non commutatif que je vais rencontrer ?

merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Ok pour les matrices.

Oui le produit est bien dans cet ordre et c'est logique !
Si tu effectues une opération sur les lignes sur A : tu obtiens PA=B avec B la matrice obtenue après l'opération.
Ensuite, on refait une opération, disons sur les lignes encore, on a donc P'B=C où C est la matrice obtenu après cette modification faite sur B.
Donc C=P'B=P'PA et ainsi de suite.
Agir sur les colonnes c'est pareil, AQ=B puis AQQ'=C puis AQQ'Q" = D etc...

Il s'agit d'emboiter la construction pas à pas.


Non ! L'ensemble des matrices inversibles n'est pas un sous groupe des matrices donc pas un anneau ni corps commutatif ou pas pour toutes ces opérations.
Si tu cherches des corps non commutatifs regarde par exemple les quaternions. C'est en général le premier que l'on rencontre et on peut le visualiser dans l'espace des matrices.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

j'ai trouvé

et



et j'ai bien P.A.Q = I.

Dc j'en conclus que I est la forme normale N_A de A.

Je vais vérifier que P^-1.N_A.Q^-1  = A.

On sait déjà que Det(N_A) = Det(I) = 1.

Dc, si j'ai bien compris,  une des finalités de ts ces calculs, c'est de pouvoir calculer le dtmt de A plus facilement à partir  de ceux de P^-1 et de Q^-1 que si on avait utilisé la méthode des cofacteurs.

Dites-moi que c'est vrai surtt pr les matrices carrées (n;n) avec n > 4, parce que là sur une (3;3), je ne suis pas convaincu, sauf que ts ces calculs ont été un TB entrainement au calcul matriciel, mais je pense que par la méthode des cofacteurs je serais allé + vite, qu'en dites-vs ?

(de tte façon je vais me fabriquer un fichier excel qui calcule les coeff. des matrices intermédiaires, parce qu'on peut vite se tromper ds les calculs ; un peu lourd à faire la 1ere fois, mais ça vaut le coup je pense, d'ailleurs si vs voulez, je vs l'adresserai, comme vs m'avez bien aidé, je vs dois bien ça).

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Je suis d'accord avec ton P et ton Q.
Tu te rends quand même bien compte que calculer P et Q est très lourd à faire. Pire encore, une fois que tu as calculé P et Q, calculer leurs inverses devient vraiment ennuyant...
Ce n'est pas l'objectif d'une telle démarche.

J'aimerais te faire comprendre que si tu as compris comment obtenir la forme normale de A avec les opérations élémentaires alors tu as toute l'information, il est inutile de calculer P et Q ( et encore moins leurs inverses).

Quand je t'ai dit les opérations élémentaires que j'avais faites, je suis arrivé à la matrice identité : conclusion c'est sa forme normale, pas besoin de le revérifier par le calcul !
Quand je suis arrivé à la matrice , sachant comment j'y étais arrivé (cf mon post), j'étais déjà sur que son déterminant serait 4 !
Pas besoin, encore une fois, de calculer P et Q !

Posté par pppa pppa

D'abord merci du tps que vs me consacrez.

. C'est le moins qu'on puisse dire...mais bon on va dire qu'ici ça m'aura entraîné au calcul matriciel.

Dc si je comprends bien, dès que l'on obtient une matrice diagonale suite aux transformations élémentaires (des coeff non nuls sur la dgl ppale, des 0 partt ailleurs) on a le dtmt de la matrice initiale en faisant le produit des coeff dgnx de la matrice dgl obtenue.

Dc les transfo. élémentaires doivent chercher non pas à mettre des 1 sur la dgl ppale, mais des 0 partt ailleurs.

Ai-je bien compris ce point important ?

mais alors prquoi est-on passé de B à la matrice identité en  faisant . B suffisait pr calculer le dtmt de A ? Non ? Peut-on dire que B est la forme normale de A ?


Merci de me dire.

Posté par Narhm Narhm

Sur un corps, la forme normale c'est celle avec des 1 et des 0, c'est tout.

Non ! Je n'ai jamais dit ça.
Relis mon message, j'ai déjà expliqué à plusieurs reprises pourquoi à ce moment là, c'était bien le déterminant (regarde les transformations que j'ai utilisées précisément).

Et donc oui B suffisait à calculer le déterminant cependant, ce n'est pas la forme normale de A.
Il faut bien que tu fasses la part des choses et surtout le bilan de tout ceci.
Qui est la forme normale, comment l'obtient-on, que nous dit-elle ? Que ne nous dit-elle pas ?
Comment obtenir le déterminant, etc... Tout est implicitement caché dans les transformations élémentaires.

Posté par pppa pppa

Oui, mon pb c'est bien de faire la synthèse de tt ceci.

Je pense et espère y parvenir notamment grâce à votre aide.

reprenons :

. je déduis de votre précédent message que la forme normale d'une matrice, c'est la matrice qui sur la diagonale comporte des 1 ou des 0 si le nbre de ses lignes/colonnes est > son rang, et des 0 partt ailleurs.

Par des transformations élémentaires

Elle ns indique le rang de la matrice initiale, par le nbre de 1 sur la dgl principale, et d'autres choses encore p.e. (surtt ne prenez pas ce dernier morceau de phrase pr de la désinvolture, mais par une mise en évidence de mes lacunes..que je veux combler)

Le dtmt de la matrice initiale, et p.e. aussi d'autres choses

en faisant le produit des coeff dgnx de la matrice obtenue par des transfo. élémentaires où n'apparaissent que des 0 hors de la dgl ppale.

Croyez-moi, si vs me répondez point par point à ces questions, je me les note et ça sera du support de cours pr moi.

Merci d'avance ; bonne soirée.

Posté par Narhm Narhm

- Attention quand tu donnes ta "condition" avec les lignes/colonnes. Elles n'influent pas de cette manière.
La forme normale, c'est vraiment LA matrice qui vaut 0 partout sauf sur la "diagonale". Cette dernière comporte r fois le nombre 1 puis des 0 et r=rang(A).
- Ok.
- Oui.
- Oui
- C'est presque ça.
Déjà, si tu fais une transformation du type "échange" de ligne ou colonne, il est clair (?) que le déterminant de sa matrice associée sera -1. Donc il faut compter le nombre de fois qu'on effectue un échange pour ne pas récupérer -det(A) à la place de det(A).
Si on ajoute ce que tu as dit, c'est presque bon : en effet, on obtient pas vraiment det(A) mais son inverse ! Reviens à la formule PAQ=N_A pour le voir.

Posté par pppa pppa

Bonsoir Nahrm

je me permets de revenir sur ce sujet (parce que je fais d'autres choses en //, d'où mon absence sur ce sujet hier, mais je n'abandonne pas, tant que vs serez disponible et disposez bien sûr)
et notamment sur votre message du 12/11  16 h 58.

On part de la matrice A ; on veut pouvoir calculer son dtmt par une méthode différente (plus rapide, ou disons moins source de risque d'erreur), on fait des transformations élémentaires, et on aboutit à cette matrice :



ce que j'ai retrouvé par moi même ; et ds le message mentionné ci-avant, vs m'indiquez :

4 est bien  le dtmt de A ? si oui, vs l'avez évalué en faisant le produit des coeff dgnx non nuls de la matrice ci-dessus ? Est-ce un résultat/méthode à portée générale ?

En ce cas, l'utilité de "pousser" jusqu'à la forme normale (en faisant la dernière transformation ligne) est-elle uniquement de déterminer le rang  de A ?

Sert-elle aussi à trouver A^-1 ?

Merci de me dire, et merci pr votre patience

Posté par Narhm Narhm

Je ne tiens pas à te donner de règles à appliquer ou de méthode, je veux te faire comprendre le mécanisme qui est derrière ces transformations.
On est en plein dialogue entre les opérations élémentaires et les matrices.
Pour le moment, j'ai le sentiment que tu n'as compris uniquement les opérations élémentaires: c'est à dire prendre une matirce et la "réduire" via les opérations sur les lignes/colonnes.
Cela dit, et je te renvois à mon message du 08/11 à 22:23, as-tu bien saisi à quelle est la matrice associée à chaque opération élé. ?

Je reprends ton dernier message et tu vas comprendre pourquoi c'est important :
> Oui 4 est le déterminant de la matrice A initiale.
Pourquoi ? Parce que je n'ai utilisé que des opérations du type et .
Or ces opérations sont associées à des matrices :
soit de la forme

soit de la forme

L'étoile signifie qu'il a des coefficients quelconques.

En particulière, elles sont de déterminant 1, donc à chaque étape quand j'ai multiplié à gauche ou à droite par la bonne matrice, je n'ai pas changé le déterminant de A.
Par suite, quand j'arrive à la matrice B, je sais qu'elle aura le même déterminant que A, donc 4.
Ce n'est pas une méthode, ce n'est pas un cas général, c'est simplement la compréhension de ce que j'ai fait qui me dit tout ça. Il faut savoir adapter cette réflexion c'est tout.


Non, celle-ci te donnera en plus un moyen de calculer l'inverse de A.
Encore une fois, c'est le même discours, si A est inversible, il existe toujours P et Q telles que PAQ=I.
Or .
Ici, tu vois aussi que si tu arrives à trouver la forme normale de A uniquement à l'aide d'opération sur les lignes (respectivement uniquement à l'aide d'opération sur les colonnes), tu n'as qu'une seule matrice en jeu P ( respectivement Q) et donc un peu moins de calcule à fournir. [C'est la méthode du pivot de Gauss, si tu connais.]

Posté par pppa pppa

Ah, je crois que je commence à y voir + clair au moins pr l'application de ces opérations au calcul du dtmnt.

Les opérations élémentaires effectuées sur A pr obtenir une matrice dgl reviennent à multiplier A
- à gauche qd on fait des opérations  élémentaires sur des lignes
- à droite qd on fait des opér. élémentaires sur des colonnes
par des matrices qui sont le résultat de la même opér. élémentaire faite sur I.
Ces matrices composante du produit à gauche ou  à droite avec A sont des matrices triangulaires
- inférieures si on modifié des lignes de I,
- supérieures si on a modifié des colonnes de I
mais de tte façon avec des coeff sur la dgl égaux à 1
Or le dtmt d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses coeff dgnx, dc 1 pr les matrices obtenues par "application" sur I des transf. élémentaires faites sur A.

Ici on a dc Det (P3) = Det (P0) =Det (P1) =Det (Q3) =Det (Q2) =Det (Q1) = 1

Et pr obtenir B, matrice triangulaire dt le dtmt est le produit de ses coeff dgnx, soit 4, c'est comme si on avait fait le produit  

P3.P2.P1.A.Q1.Q2.Q3 = B  (je peux écrire cette égalité, ce n'est pas un non-sens algébrique ?)

Et le dtmt d'un produit de matrices est égal au produit des dtmts de ces matrices, qui valent ts 1 sauf (peut être) celui de A qu'on cherche, le produit des 7 dtmts étant égal au dtmt de B du fait de l'égalité ci-dessus, on en déduit que Det(A) = Det(B) = 4.

Est-ce que vs êtes d'accord avec ce que j'ai écrit ?

Pardon si je me trompe, mais il me semble que ce soir (grâce à ts vos messages) j'ai avancé ds la compréhension des dtmts de matrices..

Il me restera à étudier la dernière partie de votre message, je verrai ça demain , enfin plus tard ds la journée puisque c'est déjà minuit passé...

Merci encore pr votre aide.

A suivre..

Posté par Narhm Narhm


Ici, ce n'est pas correct et tu vas le voir par toi même.
1)
Quelle est la matrice associée à l'opération ?
Quelle est la matrice associée à l'opération ?
Sont-elles toutes les deux triangulaires inférieures ou toutes les deux triangulaires supérieures ?
Fais la même chose avec les colonnes, c'est le même résultat.

2)
Quelle est la matrice associée à ?
A-t-elle des coeff sur la diagonale tous égaux à 1 ?

Encore une fois si tu relis bien mes messages, tu verras que j'ai beaucoup insisté sur les transformations que j'ai utilisé. Je n'ai pas parlé en toute généralité mais en considérant à chaque fois ce que j'avais fait !
Dans mon cas, ce que tu as dit est vrai, dans le cas général non !

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

la matrice associée à l'opération est la matrice  identité à laquelle on fait subir cette même transfo élémentaire, soit , par A. elle est triangulaire sup.

la matrice associée à l'opération est la matrice  identité à laquelle on fait subir cette même transfo élémentaire, soit , par A. elle est triangulaire inf.


Dc j'ai compris que j'ai écrit une affirmation doublement erronée ds mon message précédent ; vs me permettrez dc de ne pas vérifier le résultat et mon erreur sur les colonnes, je suis déjà convaincu.

la matrice associée à l'opération est la matrice  identité à laquelle on fait subir cette même transfo élémentaire, soit , par A. elle est triangulaire sup., et ses coeff dgnx ne sont pas ts égaux à 1..

D'accord.

Reprenons alors ma problématique si vs voulez bien.

J'ai une matrice (carrée, ça va de soi) dt je veux calculer le dtmt, en évident la méthode fastidieuse et "périlleuse" des cofacteurs.

Premier réflexe à avoir ?, dites-moi svp

faire les tranfo. élémentaires sur la matrice pr avoir une matrice similaire à la matrice B de votre exemple, i.e. uniquement avec des coeff. dgnx non nuls ?

Même s'il y encore des points du cours que je n'ai pas encore bien "intégrés" , (la preuve mon précédent message), ce dt j'ai besoin c'est sinon une méthode, du moins certains principes de base, certains réflexes, une certaine algoritmique commune à ts les cas pr démarrer la recherche optimale d'un dtmt et ensuite d'une matrice inverse.

Voyez-vs où se situe mon pb actuellement, même si d'avoir travaillé avec vs sur ce cas intéressant m'aura fait et me fera encore progressé (trop lentement à votre goût et au mien) mais progrès qd même.

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Je n'ai pas envi de dire "oui c'est LE premier réflexe à avoir" puisque ça dépendra toujours de la situation... en plus l'application det reste quand même le "must" pour calculer des déterminants.
Mais oui c'est pratique pour calculer un déterminant et mais encore plus pour avoir le rang d'une matrice (pas forcement carré cette fois ci).

Le mieux serait de t'entrainer sur des matrices du genre 4x4, 4x5 et plus. Trouver le det si la matrice est carré puis son inverse comme on l'a fait ici.
En particulier, entraine toi à le faire uniquement en faisant des opérations avec les lignes ou uniquement avec les colonnes (pour l'inversion).

Posté par pppa pppa

Bonjour nahrm

est-ce que ça vs ennuie de me donner un exemple sur lequel travailler svp ?

merci d'avance pr votre aide

Posté par Narhm Narhm

Par exemple trouve le rang des matrices suivantes et dans le cas ou l'une est inversible donne son inverse :
et .
Pour l'inverse, je te rappelle qu'il est plus simple de n'opérer que sur les lignes ou que sur les colonnes.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm

Pr la 1ère matrice, je suis perdu ds les transformations de type resp pr essayer de parvenir à une matrice dgl.

Qd j'ai gané un zéro hors dgl suite à une transformation, je finis par le reperdre ds une transformation suivante...
Comme je n'ai pas remarqué qu'une ligne ou une colonne soit combinaison linéaire d'une autre, ni qu'une ligne, resp. colonne, est la somme (algébrique) d'une ou plusieurs autres lignes resp. colonnes, je déduis  de ces remarques que le rang de cette matrice est 4.


Pr la 2ème matrice, qui n'est pas carrée, dc pas inversible, je ne remarque pas non plus de combinaison linéaire, non plus que des lignes/colonnes s'obtenant à partir de la somme algébrique d'autres lignes/colonnes. S"agisasnt d'une matrice (4;3), je dirais que son rang est 3.

Je continue de chercher pr l'obtention de la matrice diagonale ; pouvez-vs svp me donner un coup de pouce, sachant que j'ai déjà "usé" presque 4 feuilles A4.

Merci d'avance

Posté par Narhm Narhm

C'est parce que tu ne t'y prends pas de la bonne manière, il faut être méthodique, comprendre l'objectif.

Pour la première matrice, on a bien envi d'échanger la 1er et 2e colonne déjà vu les 1 qui sont dedans.
Comme tu auras un 1 en haut à gauche profite en pour supprimer les 1 en dessous et ceux à coté puis continue.

Posté par pppa pppa

J'ai effectué les transfo. élémentaires suivantes :























Je sais que les 2 dernières transfo servent plus pr trouver la matrice inverse, mais je voulais rester au pire avec de 1 hors de la diagonale, pr mieux voir ce qu'il resterait à faire, et je suis bloqué là, pr aboutir à :




Comment m'en sortir ? Faut-il provisoirement sacrifier des 0 hors diagonale ?

Merci de me dire

Posté par Narhm Narhm

Oui bien sur, tu n'as pas le choix.
Commence par placé un 1 sur la case (2,2) puis enchaine.

Posté par pppa pppa

Bonjour Nahrm
en faisant la transformation que vs me suggérez, je choisis



j'aboutis à la matrice

et je reste bloqué ..je n'arrive plus à enchaîner qqc qui me paraitrait pertinent.
Peut être mettre aussi un 1 en (3;3) avec , auquel cas je perds encore un 0 en (2;3)


Merci de me dire un peu +

Posté par Narhm Narhm

C'est à chaque fois la même chose : on s'arrange pour avoir un 1 en haut à gauche et on efface les autres coefficients de sa ligne et de sa colonne puis on continue, on s'arragen pour avoir un 1 en case (2,2) et on négocie sa ligne et sa colonne etc...

Donc ici, une idée serait de supprimer le coefficient 2ieme ligne et 4ieme colonne, puis le coefficient 3ieme ligne/2ieme colonne et enfin 4ieme ligne/2ieme colonne.
Et tu continues.

Posté par pppa pppa

Je suis reparti de ce conseil



et en 14 transformations (si besoin je vs les détaillerai) j'arive à la matrice diagonale suivante



Le dtmt de la matrice serait dc
etes-vs d'accord ?

merci de me dire