Challenge n°105

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

On dispose de 2005 pièces.
On en forme deux tas. On écrit le produit du nombre de pièces du premier tas par le nombre de pièces du deuxième tas.
On divise un des deux tas en deux nouveaux tas, et on écrit le produit des nombres de pièces des deux nouveaux tas formés.
On recommence à diviser l'un des trois tas en écrivant le produit des deux nouveaux tas formés.
Et ainsi de suite, jusqu'à obtention de 2005 tas de 1 pièce.
Quelle est la somme des 2004 produits ?

Bonne chance à tous

@+

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Réponse : 2009010 = 2004*2005/2

Merci pour l'énigme

Philoux

Posté par papanoel (invité)

Salut,
je trouve 2009010
@+

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je raisonne par récurrence.
Pour n=2, on a S = 1*1 =1
Pour n=3, on a S = (1*2)+(1*1) = 3
Pour n= 4, on a S = (1*3)+(1*2)+(1*1) = (2*2)+(1*1)+(1*1) = 6 (2 cas possibles).

Je suppose que S_n = n*(n-1)/2 (ainsi que pour tout p<n)
Je divise un tas de (n+1) en p et (n+1-p),. On a donc :
S_n+1 = p*(n+1-p) + p*(p-1)/2 + (n+1-p)*(n-p)/2, ce qui donne n*(n+1)/2.
La relation est donc bien vérifiée .
S₂₀₀₅ =2005*2004/2 = 2009010

Posté par borneo borneo

Bon, moi je fais systématiquement des tas de 1 plus un gros tas du reste. Mon premier produit est 2004 x 1
mon 2e produit est 2003 x 1, donc la somme des produits sera 2004 + 2003 + 2002 .... +1

Et là, je ne prends pas mon excel chéri, mais la formule des suites algébriques apprise la semaine dernière avec l'énigme de la montre de Lyonnais,
1+2+3... +n = n(n+1)/2

et je trouve 2009010

si c'est faux, je reprends excel...

Posté par sof (invité)

la somme des 2004 produits est : 2009010

Posté par caylus caylus

Bonjour,
si je ne trouve pas la démonstration, j'aimerais que l'on me démontre que tout partage a pour somme le partage normalisé :
pour n pièces , la somme vaut S(n)=1.1+1.2+1.3+...+1.(n-1)= n.(n-1)/2

Pour 2005 on a donc: S(2005)=2009010

Posté par jugo jugo

Si on divise le 1er tas en un tas de 1 et un tas de 2004 pièces, 1 x 2004 = 2004
On reccommence avec le tas de 2004 pièces : 1 x 2003 = 2003
On recommence ainsi jusqu'à avoir 2 tas de 1 pièce : 1 x 1 = 1

La somme cherchée vaut donc 1 + 2 + 3 + ... + 2003 + 2004 = 2004 x 2005 / 2

La somme recherché vaut donc 2 009 010.

Posté par PMP1 (invité)

si on enlève 1 au packet principal par exemple on obtin 2004+2003+...+1
soit (2004 x 2005)/2 = 2009010

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

On se place dans la cas particulier ou l'on forme au 1er coup un tas de 2004 et un tas de 1. Puis on prend le tas de 2003 et on forme un tas de 2002 et un tas de 2001 et ainsi de suite.

Ainsi la somme des produits est

Et a mon grand etonnement le produit est le meme quelque soit la maniere dont on forme les tas.

La reponse est donc 2009010

Posté par sebisp (invité)

Pour simplifier les choses j'ai a chque fois pris un tas de une piece et un autre avec le reste donc ca me donne
1*2004+1*2003+2002+2001+2000+1999 etc
Donc on cherche la somme des entiers de 1 à 2004
=(1+2004)*2004/2= 2 009 010

si toutes les différentes optoins de tas donnent en effet un meme résultat ce sera celui ci !!!

Posté par elda elda

(2004 x 2005)/2= 2009010

Posté par kachouyab kachouyab

mauvais clic.sorry

Posté par daniel12345 (invité)



   bonsoir

      on obtient  (2004*2005)/2 = 2009010

Posté par papou_28 (invité)

(2005-1)*2005/2=2009010
2009010 est la réponse

Posté par paulo paulo

bonsoir,

la somme des 2004 produits devrait etre de :

                         2009010

salutations
a plus tard
Paulo

Posté par piepalm piepalm

2004*2005/2=2009010

Posté par pietro (invité)

Cette somme vaut

Posté par la_brintouille la_brintouille

la somme des 2004 produits est 2009010

Posté par FredoLaSoluce (invité)

Je trouve 2005x2004/2 soit 2009010
Merci pour l'énigme

Posté par tigroo (invité)

la réponse a l'énigme 105 est 2009010

Posté par Razibuszouzou (invité)

Comme on termine de toute façon par obtenir des tas de 1 pièces, on peut considérer que l'ordre dans lequel on divise les tas est indifférent (je passe sur cette démonstration).
On peut donc diviser les 2005 pièces en un tas de 2004 et un tas de 1,
puis le tas de 2004 en 2003 + 1,
puis le tas de 2003 en 2002 + 1, etc...

En définitive, la somme des produits sera alors égale à :

1 + 2 + 3 + ... + 2003 + 2004 = 2004*2005/2 = 2 009 010

Posté par bzh (invité)

je pense que la réponse est : 2 009 010
(2005 / 2) *2004
bonne journée à tous

Posté par marcovolcom marcovolcom

2009010

Posté par levrainico (invité)

bonjour,
je dirais: 2009010
merci

Posté par kyrandia (invité)

Bonjour,

Je me lance !!!
Il n'est pas signalé la manière dont on divise chaque tas, donc je propose celle ci :
- 2005 devient un tas de 2004 pièces et un tas de une pièce
le produit vaut 2004*1 = 2004
- 2004 devient un tas de 2003 pièces et un tas de une pièce
le produit vaut 2003*1 = 2004
....
- 2 devient deux tas de 1 pièce
le produit vaut 1*1
Donc la somme recherché est égale à 1+2+3+...+2004=2004*(2004+1)/2 = 2009010

Posté par kyrandia (invité)

je reposte pas sur que ça ai marché ???

Bonjour,

Je me lance !!!
Il n'est pas signalé la manière dont on divise chaque tas, donc je propose celle ci :
- 2005 devient un tas de 2004 pièces et un tas de une pièce
le produit vaut 2004*1 = 2004
- 2004 devient un tas de 2003 pièces et un tas de une pièce
le produit vaut 2003*1 = 2004
....
- 2 devient deux tas de 1 pièce
le produit vaut 1*1
Donc la somme recherché est égale à 1+2+3+...+2004=2004*(2004+1)/2 = 2009010

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation, en effet la réponse était 2 009 010, vous êtes 100% à avoir correctement répondu.

Posté par philoux (invité)

borneo :

si c'est faux, je reprends excel...

100% : ca se fête !

Philoux

Posté par borneo borneo

Tout à fait... et là, la manière intelligente était sûrement bien plus rapide que la manière "bourrin".
Qui peut m'expliquer pourquoi il n'y a qu'une réponse possible ? Comme beaucoup de gens, j'ai fait des tas de 1 plus un tas du reste, mais sans être convaincue que je trouverais pareil avec des tas à peu près égaux...

Posté par philoux (invité)

>borneo

certains, dans leur résolution, l'ont expliqué.

Philoux

Posté par caylus caylus

Bonsoir,

j'ai trouvé une démonstration par récurrence montrant l'indépence du choix de pièces pour former les tas.

Posté par elda elda

"j'ai fait des tas de 1 plus un tas du reste, mais sans être convaincue que je trouverais pareil avec des tas à peu près égaux..."

moi si parce que l'énoncé disait "Quelle est la somme des 2004 produits ?"
et comme on pouvait faire les tas comme on voulait, c'était forcément que ça allait donné le même résultat, sinon on nous aurait demandé le maximum ou je sais pas quoi.

Posté par borneo borneo

Elda, j'ai raisonné comme toi, pour la même raison, en lisant "les 2004 produits". Mais croire qu'on trouve pareil et comprendre qu'on trouve pareil est très différent. Moi, pour envoyer ma réponse à une énigme, il me suffit de croire que c'est juste. Mais si je comprenais pourquoi, ce serait plus agréable.

Caylus, la récurrence, je n'ai pas la moidre idée de ce que c'est. Quoique j'ai déjà entendu ce mot-là, mais il y a vraiment longtemps

Posté par elda elda

je sais pas qi ta dernière phrase était ironique, mais au cas où ça serait pas le cas, quand tu démontres une propriété par récurrence, tu montres qu'elle est vraie pour le premier terme, tu la suppose vraie pour un entier naturel n, et tu montres qu'elle est vraie au rang n+1, et donc elle sera vraie pour tout entier naturel.

Posté par borneo borneo

Merci Elda. Non, ma phrase n'était pas ironique... j'ai passé mon bac maths physique à l'époque où ça s'appelait "C"... ce qui est il y a un moment, mais pas aussi loin que ceux qui ont passé un bac "maths élèm", appellation qui me fascinait quand j'étais au collège.
Mais j'ai les annabacs de ma fille qui a fait un bac "S" spé maths, où j'arrive à piocher des formules quand excel a du mal