sphère et plan
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sphère et plan
Posté le 13-11-11 à 20:08
Posté par 
Tigger Tigger
Bonjour,
Une question me pose beaucoup de problème dans mon devoir maison...
Pouvez vous m'aider ?
Dans l'espace (O,
,
,
)
est l'équation d'une sphère :x+2(\beta-1)y+2(\beta-1)z=0)
est un réel
Je dois montrer que l'on a un plan
indépendant de qui est tangent à toutes les sphères .
Il faut trouver l'équation de et le point de contact de et
Merci de vos réponses
Tigger TiggerBonjour,
Une question me pose beaucoup de problème dans mon devoir maison...
Pouvez vous m'aider ?
Dans l'espace (O,
,,)Je dois montrer que l'on a un plan
Il faut trouver l'équation de
Merci de vos réponses
re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 21:09
Posté le 13-11-11 à 21:09Posté par Tigger Tigger
Oui, mais là je cherche l'équation de
.
Comment faut-il faire pour la déterminer ?
Tigger TiggerOui, mais là je cherche l'équation de
Comment faut-il faire pour la déterminer ?
re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 21:15
Posté le 13-11-11 à 21:15Posté par pgeod pgeod
il y a une petite chance que ce point soit le point de contact recherché.
mets déjà l'équation de S
sous forme canonique.
pgeod pgeodil y a une petite chance que ce point soit le point de contact recherché.
mets déjà l'équation de S
sous forme canonique.re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 21:25
Posté le 13-11-11 à 21:25Posté par Tigger Tigger
J'ai un petit problème : ici je n'ai pas un trinome et les me posent problème
Tigger TiggerJ'ai un petit problème : ici je n'ai pas un trinome et les
re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 21:47
Posté le 13-11-11 à 21:47Posté par pgeod pgeod
x² + 2(b -1)x = (x + (b - 1))² - (b -1)²
idem pour les autres..
on en déduit ensuite la droite des centres de S
pgeod pgeodx² + 2(b -1)x = (x + (b - 1))² - (b -1)²
idem pour les autres..
on en déduit ensuite la droite des centres de S
re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 21:59
Posté le 13-11-11 à 21:59Posté par Tigger Tigger
Oui,
j'ai déja démontré ça à la question précédente ;
j'ai montré que l'équation était celle d'une sphère quelque soit et que l'ensemble des centre représente une droite mais je n'ai pas déuit d'équation de cette droite.
Pour moi, H(projeté orthogonal du centre des cercles sur P)doit vérifier l'équation de P et de S. Mais je n'ai pas trouvé l'équation de P. Suis-je sur la bonne voix ?
Bonne soirée
Tigger TiggerOui,
j'ai déja démontré ça à la question précédente ;j'ai montré que l'équation était celle d'une sphère quelque soit
Pour moi, H(projeté orthogonal du centre des cercles sur P)doit vérifier l'équation de P et de S. Mais je n'ai pas trouvé l'équation de P. Suis-je sur la bonne voix ?
Bonne soirée
re : sphère et plan Posté le 13-11-11 à 22:07
Posté le 13-11-11 à 22:07Posté par pgeod pgeod
on peut résoudre ce problème de différentes manières.
mais continuons sur cette droite des centres :
l'équation devient :
(x + (b - 1))² + (y + (b - 1))² + (z + (b - 1))² = 3(b - 1)²
donc centre (1-b, 1-b, 1-b)
l'ensemble des centres est la droite
x = -b + 1
y = -b + 1
c = -b + 1
cette droite a pour vecteur directeur (1, 1, 1) et
passe par (0, 0, 0) qui appartient à tous les cercles S
le plan recherché est donc le plan passant par (0, 0 ,0) et ortho à (1, 1; 1).
pgeod pgeodon peut résoudre ce problème de différentes manières.
mais continuons sur cette droite des centres :
l'équation devient :
(x + (b - 1))² + (y + (b - 1))² + (z + (b - 1))² = 3(b - 1)²
donc centre (1-b, 1-b, 1-b)
l'ensemble des centres est la droite
x = -b + 1
y = -b + 1
c = -b + 1
cette droite a pour vecteur directeur (1, 1, 1) et
passe par (0, 0, 0) qui appartient à tous les cercles S
le plan recherché est donc le plan passant par (0, 0 ,0) et ortho à (1, 1; 1).
re : sphère et plan Posté le 14-11-11 à 20:21
Posté le 14-11-11 à 20:21Posté par Tigger Tigger
Merci beaucoup, j'ai compris, Je trouve un plan d'équation x+y+z=0
Cependant, je bloque aux questions suivantes:
a) On a M0(x0;y0;z0).
Et il faut trouver suivant les valeurs de x0;y0;z0(faire une discution) le nombre de sphères qui passent par le point M0.
b) On a Pm:
Il faut justifier que ce plan passe par une droite fixe de (P)
Merci pour ton aide
Tigger TiggerMerci beaucoup, j'ai compris, Je trouve un plan d'équation x+y+z=0
Cependant, je bloque aux questions suivantes:
a) On a M0(x0;y0;z0).
Et il faut trouver suivant les valeurs de x0;y0;z0(faire une discution) le nombre de sphères qui passent par le point M0.
b) On a Pm:
Il faut justifier que ce plan passe par une droite fixe de (P)
Merci pour ton aide
re : sphère et plan Posté le 14-11-11 à 20:30
Posté le 14-11-11 à 20:30Posté par pgeod pgeod
a/
on pars de :
x² + y² + z² + 2 (b - 1) (x + y + z) = 0
1° cas : x + y + z = 0
....
on va retrouver notre point fixe (0 ; 0 ; 0) appartenant à toutes les sphères
2° cas : x + y + z
0
b = 1 - [(x² + y² + z²) / (2(x + y + z))]
les questions : b existe-t-il ? b est-il unique ?
pgeod pgeoda/
on pars de :
x² + y² + z² + 2 (b - 1) (x + y + z) = 0
1° cas : x + y + z = 0
....
on va retrouver notre point fixe (0 ; 0 ; 0) appartenant à toutes les sphères
2° cas : x + y + z
0b = 1 - [(x² + y² + z²) / (2(x + y + z))]
les questions : b existe-t-il ? b est-il unique ?
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 19:23
Posté le 15-11-11 à 19:23Posté par Tigger Tigger
J'arrive aussi à ça...
Mais je ne comprend pas la signification de : "les questions : b existe-t-il ? b est-il unique ?", que faut-il faire ?
Bonne soirée
Tigger TiggerJ'arrive aussi à ça...
Mais je ne comprend pas la signification de : "les questions : b existe-t-il ? b est-il unique ?", que faut-il faire ?
Bonne soirée
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 19:40
Posté le 15-11-11 à 19:40Posté par Tigger Tigger
Donc une seule sphère passe par M0 pour ce cas là
Et pour le cas précédent, toutes les sphères passent par ce point, peut-on en déterminer le nombre ?
Sinon il reste une zone d'ombre à éclaircir,pourquoi choisit-on x+y+z=0 ou0
Merci pour ton aide
Tigger TiggerDonc une seule sphère passe par M0 pour ce cas là
Et pour le cas précédent, toutes les sphères passent par ce point, peut-on en déterminer le nombre ?
Sinon il reste une zone d'ombre à éclaircir,pourquoi choisit-on x+y+z=0 ou
0Merci pour ton aide
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 19:55
Posté le 15-11-11 à 19:55Posté par pgeod pgeod
alors dans l'ordre des questions :
pour un M0(x0, y0, z0) donné quelconque différent de (0; 0; 0),
il existe une valeur unique de b.
Donc pour un point donné différent de O, une seule sphère.
pour le cas précédent, c'est à dire (0; 0; 0) toutes les sphères passent
par ce point.
on dissocie les cas x + y + z = 0 et x+y+z 0
pour pouvoir diviser l'espression par une valeur non nulle
afin de trouver b.
pgeod pgeodalors dans l'ordre des questions :
pour un M0(x0, y0, z0) donné quelconque différent de (0; 0; 0),
il existe une valeur unique de b.
Donc pour un point donné différent de O, une seule sphère.
pour le cas précédent, c'est à dire (0; 0; 0) toutes les sphères passent
par ce point.
on dissocie les cas x + y + z = 0 et x+y+z
0pour pouvoir diviser l'espression par une valeur non nulle
afin de trouver b.
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 19:59
Posté le 15-11-11 à 19:59Posté par print print
Merci, tout est clair
Peux-tu encore m'aider pour la question suivante s'il te plait. Je te remercie...
print print Merci, tout est clair Peux-tu encore m'aider pour la question suivante s'il te plait. Je te remercie...
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 20:32
Posté le 15-11-11 à 20:32Posté par pgeod pgeod
au fait !
évite le multi-compte sur le site, sinon tu vas de faire rattraper
par les modérateurs et on ne poura pas finir l'exo.
pgeod pgeodau fait !
évite le multi-compte sur le site, sinon tu vas de faire rattraper
par les modérateurs et on ne poura pas finir l'exo.
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 20:47
Posté le 15-11-11 à 20:47Posté par Tigger Tigger
ça m'a aidé, je trouve y= -x+ (m-1)/(1-m) donc, c'est l'équation d'une droite
Est-ce bon ?
Tigger Tiggerça m'a aidé, je trouve y= -x+ (m-1)/(1-m) donc, c'est l'équation d'une droite
Est-ce bon ?
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 20:54
Posté le 15-11-11 à 20:54Posté par pgeod pgeod
je ne sais pas ce que tu as fait.
mais ce n'est pas ça.
Pm: x + y + mz + 1 - m = 0
s'écrit : x + y + m (z - 1) + 1 = 0
est indépendant de m si z - 1 = 0
continue...
pgeod pgeodje ne sais pas ce que tu as fait.
mais ce n'est pas ça.
Pm: x + y + mz + 1 - m = 0
s'écrit : x + y + m (z - 1) + 1 = 0
est indépendant de m si z - 1 = 0
continue...
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 21:36
Posté le 15-11-11 à 21:36Posté par Tigger Tigger
Je vais étudier ce que tu as fait,
voici mon raisonnement :
Si Pm passe par une droite fixe de P cela implique que les 2 plans sont sécants et l'intersection est la droite que l'on cherche. J'ai donc résolu le système :
x+y+m(z-1)+1=0
x+y+z=0
z=x-y que je remplace dans l'équation 1
J'aboutis à : (1-m)x+(1-m)y-m+1=0
J'isole y et j'ai trouvé l'équation de droite
Comprends tu ?
Tigger TiggerJe vais étudier ce que tu as fait,
voici mon raisonnement :
Si Pm passe par une droite fixe de P cela implique que les 2 plans sont sécants et l'intersection est la droite que l'on cherche. J'ai donc résolu le système :
x+y+m(z-1)+1=0
x+y+z=0
J'aboutis à : (1-m)x+(1-m)y-m+1=0
J'isole y et j'ai trouvé l'équation de droite
Comprends tu ?
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 22:02
Posté le 15-11-11 à 22:02Posté par pgeod pgeod
une droite fixe est une droite appartenant
à tous les plans d'équation Pm, quelque soit la valeur de m.
(1-m)x+(1-m)y-m+1=0 n'est pas l'équation d'une droite indépendante de m.
la question de l'énoncé est assez mal rédigé.
Le sens de la question est le suivant :
Il faut justifier que les Plans Pm passent par une droite fixe
et que cette droite fixe est une droite du plan (P)
donc commence par chercher la droite fixe par laquelle
passent tous les plans Pm, puis vérifie que cette droite
appartient au plan (P).
pgeod pgeodune droite fixe est une droite appartenant
à tous les plans d'équation Pm, quelque soit la valeur de m.
(1-m)x+(1-m)y-m+1=0 n'est pas l'équation d'une droite indépendante de m.
la question de l'énoncé est assez mal rédigé.
Le sens de la question est le suivant :
Il faut justifier que les Plans Pm passent par une droite fixe
et que cette droite fixe est une droite du plan (P)
donc commence par chercher la droite fixe par laquelle
passent tous les plans Pm, puis vérifie que cette droite
appartient au plan (P).
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 22:12
Posté le 15-11-11 à 22:12Posté par pgeod pgeod
Pm: x + y + mz + 1 - m = 0
s'écrit : x + y + m (z - 1) + 1 = 0
cette équation est indépendante de m si : z - 1 = 0
donc la droite fixe est définie comme l'intersection des deux plans :
z = 1
x + y + 1 = 0
montre maintenant que ce système satisfait à l'équation du plan (P) : x + y + z = 0
pgeod pgeodPm: x + y + mz + 1 - m = 0
s'écrit : x + y + m (z - 1) + 1 = 0
cette équation est indépendante de m si : z - 1 = 0
donc la droite fixe est définie comme l'intersection des deux plans :
z = 1
x + y + 1 = 0
montre maintenant que ce système satisfait à l'équation du plan (P) : x + y + z = 0
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 22:20
Posté le 15-11-11 à 22:20Posté par Tigger Tigger
Je trouve 0=0, ce qui est vrai donc ce système satisfait à l'équation du plan
Tigger TiggerJe trouve 0=0, ce qui est vrai donc ce système satisfait à l'équation du plan
re : sphère et plan Posté le 15-11-11 à 22:31
Posté le 15-11-11 à 22:31Posté par Tigger Tigger
Merci beaucoup ! J'ai compris
J'ai une autre question, j'espère que tu pourras m'aider à la résoudre :
m étant fixé, il faut déterminer le nombre de sphères qui sont tangentes à Pm
Merci pour ton aide
Tigger TiggerMerci beaucoup ! J'ai compris
J'ai une autre question, j'espère que tu pourras m'aider à la résoudre :
m étant fixé, il faut déterminer le nombre de sphères qui sont tangentes à Pm
Merci pour ton aide
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 19:52
Posté le 17-11-11 à 19:52Posté par pgeod pgeod
centre de la sphère (b-1, b-1, b-1)
vecteur ortho au plan Pm (1, 1 , m)
on peut trouver la distance du centre au plan Pm
puis comparer cette distance avec le rayon de la sphère
pour savoir s'il existe un b (ou plusieurs, ou aucun)
tel que distance = rayon.
pgeod pgeodcentre de la sphère (b-1, b-1, b-1)
vecteur ortho au plan Pm (1, 1 , m)
on peut trouver la distance du centre au plan Pm
puis comparer cette distance avec le rayon de la sphère
pour savoir s'il existe un b (ou plusieurs, ou aucun)
tel que distance = rayon.
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 20:26
Posté le 17-11-11 à 20:26Posté par Tigger Tigger
La distance du plan Pm au centre est :b+3}{\sqrt{2+m^2} } )
Le numérateur étant en valeur absolue
Est-ce correct, que dois-je en faire ?
Tigger TiggerLa distance du plan Pm au centre est :
Le numérateur étant en valeur absolue
Est-ce correct, que dois-je en faire ?
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 21:40
Posté le 17-11-11 à 21:40Posté par pgeod pgeod
en remplaçant (b-1, b-1, b-1) dans x + y + mz + 1 - m
le numérateur devrait être :
|(b - 1) (2 + m) + (1 - m)|
non ?
pgeod pgeoden remplaçant (b-1, b-1, b-1) dans x + y + mz + 1 - m
le numérateur devrait être :
|(b - 1) (2 + m) + (1 - m)|
non ?
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 21:54
Posté le 17-11-11 à 21:54Posté par pgeod pgeod
tu as raison. donc ton expression est la bonne.
Et qu'as-tu pour le rayon de la spère ?
pgeod pgeodtu as raison. donc ton expression est la bonne.
Et qu'as-tu pour le rayon de la spère ?
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 22:07
Posté le 17-11-11 à 22:07Posté par pgeod pgeod
ok.
on cherche donc b, pour un m donné, tel que :
|3 - (2 + m) b| / (
(2 + m²)) = ( 3) |b - 1|
c'est à dire : distance du centre au plan = rayon de la sphère
car on recherche les sphères tangentes au plan Pm.
pgeod pgeodok.
on cherche donc b, pour un m donné, tel que :
|3 - (2 + m) b| / (
(2 + m²)) = ( 3) |b - 1|c'est à dire : distance du centre au plan = rayon de la sphère
car on recherche les sphères tangentes au plan Pm.
re : sphère et plan Posté le 17-11-11 à 22:12
Posté le 17-11-11 à 22:12Posté par pgeod pgeod
c'est ça.
il faut exprimer b en fonction de m.
donc pour un m donné, rechercher si b existe ou pas, s'il est unique ou pas.
mets l'expression au carré avant de résoudre l'équation
pour s'affranchir des valeurs absolues.
pgeod pgeodc'est ça.
il faut exprimer b en fonction de m.
donc pour un m donné, rechercher si b existe ou pas, s'il est unique ou pas.
mets l'expression au carré avant de résoudre l'équation
pour s'affranchir des valeurs absolues.
re : sphère et plan Posté le 18-11-11 à 08:03
Posté le 18-11-11 à 08:03Posté par pgeod pgeod
je n'ai pas vérifié ton développement.
Mais on arrive à une résolution de trinôme du second degré
l'inconnue est b.
à discuter en fonction des valeurs de m.
cherche le discriminant
.
pgeod pgeodje n'ai pas vérifié ton développement.
Mais on arrive à une résolution de trinôme du second degré
l'inconnue est b.
à discuter en fonction des valeurs de m.
cherche le discriminant
.
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