Grand théorème de Fermat pour n=2

Posté par Anne24 Anne24

Bonsoir,
Je bloque dans mon DM de maths et je ne serai pas contre un petit peu d'aide..

L'objet de mon sujet et de résoudre l'équation x² + y² = z²
Une des questions est la suivante :
On suppose (x,y,z) un triplet d'entiers naturels premier entre eux dans leur ensemble (c'est à dire que leur seuls diviseurs communs sont 1 et -1) et on suppose que ce triplet est solution du problème.
Montrez que x, y et z sont premiers entre eux deux à deux.

Et là je bloque. J'ai essayer de supposer que d=PGCD(x,y)>1 et donc d'arriver à une absurdité mais j'ai abouti à d divise z² et j'arrive pas à aller plus loin..

Merci!

Posté par cailloux cailloux

Bonsoir,

Si entier premier divise par exemple et , alors divise

Mais si ne divise pas , cela signifie que ni dans celle de

Donc nécessairement divise

Posté par cailloux cailloux

Ouille!

Mais si ne divise pas , cela signifie que n' apparait pas dans la décomposition en facteurs premiers de ni dans celle de

Posté par Anne24 Anne24

Ah ouais merci j'ai compris !
Mais c'est ailleurs que je bloque maintenant...

(x,y,z) est toujours un triplet d'entiers naturels premier entre eux  et solution du problème,
On suppose que y et z sont de même parité.
Cette hypothèse est elle compatible avec ce qui précède?
Démontrer qu'il existe deux entiers naturels non nuls, premiers entre eux et de parité contraire a et b tels que x=2ab y=a²-b² et z=a² + b² .

Donc au début c'est bon j'ai mis qu'ils pouvaient être impairs tout les 2 (mais pas pairs puisqu'ils sont premiers entre eux), mais après pour a et b je trouve vraiment pas ...

Merci

Posté par cailloux cailloux

C' est un sujet récurrent sur l'

Tu peux faire une recherche avec les mots clés Triplets pythagoriciens primitifs ou regarder ici par exemple: