Equation différentille

Posté par Angel0212 Angel0212

Bonsoir,

Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population.
Au début on constate que 0,01% de la pop. est contaminé.
Pour t[0;30] on note y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours.
On a donc y(0)=0,01
On admet que la fonction y ainsi définie sur [0;30] est dérivable, strictement positive et vérifie:
y'=0,05y(10-y)

1) On considère la fonction z définie sur le même intervalle que y par z=1/y

Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions
y(0)= 0,01
y'=0,05y(10-y)
si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions
z(0)=100
z'=-0,5z+0,05

donc j'ai fait z(0)= 1/y(0)= 1/ 0,01 = 100
mais pour z' j'ai fait z'= -y'/y² = -0,05y(10-y)/y²= -0,5y+0,05y²/y²
de là j'ai retirer les y² mais il me semble que normalement ce n'est pas possible mais ça me donne:
z'= -0,5y+0,05 ce qui est demandé à part que le y devrait être z et que je ne suis pas sûre de pouvoir enlever les y².

Merci d'avance.

Posté par Wataru Wataru

Tu n'as effectivement par le droit de faire cette simplification. Par contre tu peux simplifier par y.

Posté par Angel0212 Angel0212

mais je n'arrive pas à çà aussi : z'=-0,5z+0,05

Posté par Angel0212 Angel0212

J'ai réussi cette question c'est bon mais la suite me pose aussi problème...
Je dois en déduire une expression de la fonction z puis de la fonction y et je n'ai aucune idée de la façon dont je dois m'y prendre...

Merci de votre aide.

Posté par Wataru Wataru

En fait, regarde bien ce que tu as montré :
z'=-0,5z+0,05
Fait passer -0.5z de l'autre côté et tu vas reconnaître normalement un théorème que tu as normalement vu.
Tu connaîtras alors la forme de z.

Donc comme y = 1/z tu connaîtras la forme de y

Posté par Angel0212 Angel0212

Vais essayer merci