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Enigmo 257 : Le demi-tour du monde
Bonjour tout le monde,
j'ai décidé de faire un demi-tour du monde à bord de mon avion. Mais pour compliquer un peu la chose, voilà ce que j'ai fait, équipé d'une bonne boussole.
(on considère que la terre est une sphère de rayon 6400 km)
Je suis parti d'un point A situé sur l'équateur.
J'ai parcouru une distance d vers le nord (et je n'ai pas atteint ni dépassé le pôle nord).
Ensuite, quart de tour vers la droite, j'ai parcouru la même distance d vers l'est.
Un nouveau quart de tour vers la droite, et j'ai à nouveau effectué d km vers le sud, afin de me retrouver à nouveau sur la ligne équatoriale.
Et pour finir, un dernier quart de tour vers la droite, et j'ai encore parcouru d km vers l'ouest, pour finir mon trajet au point B.
Question : donner cette longueur d afin que les points A et B soient diamétralement opposés (réponse en km, arrondie au km le plus proche si nécessaire ; une réponse avec une autre précision sera refusée).
Bonne recherche ! 
Bonjour à tous,
considérons la figure représentant en rouge le trajet demandé
La longueur d vaut 8176 km donc le trajet total pour atteindre le point B vaut 32704 km
Le calcul du trajet vers le nord de A à C vaut d= R*
Le calcul du trajet vers l'est de C à D vaut d=r*
1 avec r=R*cos*1
le calcul du trajet vers le sud de D à E vaut d=R*
et le calcul vers l'ouest de E à B vaut d=R*2 avec 2=1-
On a l'égalité d = R*=R*cos()*1=R*2
En faisant varier la latitude on trouve d pour =73,1965° N
Bonjour
Je pense bien que d = 8176km
R = 6400km : r = le rayon du petit cercle dans le plan parallèle
si µ est l'angle au centre ( de la terre) interceptant d on a r = R*cos(µ) ; d = R*µ = r*(µ+pi)= R*(µ+pi)*cos(µ) =>
µ = (µ+pi)*cos(µ) =>
µ = 1.277520441... =>
d = 8176.1308km
= 8176km
A+
Bonjour.
8615 km.
Soit a l'arc parcouru sur un méridien ou l'équateur.
Il faut que (1/cos(a) -a)/pi se rapproche le plus d'un entier impair.
a est entre 1,34607 et 1,34608.
Bonsoir,
pfff pas très envie de me lancer dans ces calculs ce soir...
Une mauvaise réponse devrait être 6702 km si on confond gauche et droite pour le dernier quart de tour (avec un angle initial de 60°).
Il faut donc viser un couple d'angles de différence égale à 180°... je propose donc 8176 km (à la va-vite, donc poisson prévisible !)
(chose surprenante, quitte à faire encore plus de tours sur le cercle de la "section", il devrait exister d'autres solutions. Par exemple, avec un angle d'environ 82,39282..., je trouve une solution d=9203 km ).
Bref, en voulant m'éviter trop de calculs et en cumulant les bidouilles sur les grands cercles et angles, je sens fort le 
...
Bonjour Jamo,
Je trouve qu'il faut monter assez loin au nord pour réaliser ta petite gymnastique : d = 8176 km
Merci à toi.
Bon elle ne comptera pas mais je l'ai fais pour ma fierté personnelle !
Afin que vous ne preniez pas trop pour un abruti ( encore faut-t-il quelle soit juste .. )
d = 9593 km
Belle énigme en tout cas !
Merci
Bonjour,
Réponse: d = 8176 kms
On désigne par ACDEB le parcours effectué avec arc AC = d vers le Nord, arc CD = d vers l'Est, arc DE = d vers le Sud et arc EB = d vers l'Ouest.
Soit O le centre de la Terre et O' le centre du cercle passant par C et D et dont le plan est parallèle au plan de l'équateur. On désigne par a l'angle AOC exprimé en radian et R = 6400kms le rayon de la Terre.
On a les relations suivantes:
d = R*a
O'C = R*cos(a)
Comme arc EB = d = R*a, on angle BOE = d/R = a, d'où arc CD = d = O'C*(pi + a)= R*cos(a)*(pi + a).
D'où l'équation donnant l'angle a : R*a = R*cos(a)*(pi + a), soit cos(a) = a/(pi + a)
qui a pour solution a = 1,27752... radian
On en déduit d = 6400 * 1,27752..= 8176 kms arrondis au km le plus proche
PS Si l'on voulait répondre de manière rigoureuse, il conviendrait de connaître l'altitude à laquelle vole l'avion car les vraies trajectoires ne sont pas des arcs de cercle...
Bonsoir,
Je propose d = 8176 Km.
Explication :
d = R*
avec solution de :
cos() = /(+)
Merci pour le voyage ...
En supposant qu'il ne fasse pas une révolution complète à son point de latitude maximale, je trouve
d=8176 km.
Sinon, il existe une infinité de solutions, les premières étant 8176, 9203, 9500, 9642...
Tout d'abord, ma réponse: 8176 km
En fait, c'est la plus faible possible.
Il y en a beaucoup d'autres:
9203, 9500, 9642.... selon le nombre de tours qu'on fait autour de l'axe de la terre pendant le déplacement vers l'est.
Merci pour l'enigmo!
Fidèle à mon habitude
Il y a 1/4 de tour sur place et 1/4 tour
du cercle (parallèle dans ce cas).
J'ai donc fourché et en relisant:
Je dirai cette fois d= 8176 km
Poisson mérité .
Soit R le rayon de la Terre.
Soit la lattitude atteinte après le voyage vers le nord.
Cet angle correspond aussi au voyage vers l'ouest.
Soit R' le rayon de la Terre au niveau de la lattitude .
Soit l'angle correspondant au voyage vers l'est après le quart de tour.
Comme on veut que A et B soient diamétralement opposés, on a :
Donc
Or
Donc
On associe cette équation à la fonction avec
puisqu'on n'atteint ni ne dépasse le pôle nord.
Donc
La fonction est donc strictement croissante sur .
Donc, sur , il existe une unique racine, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une solution au problème.
Par affinement des encadrements, on arrive à
Ceci amène à
Conclusion :
Bonjour les matheuses, bonjour les matheux.
d = 8.176 km
A titre accessoire :
Tout au long de sa 2ème étape, l'avion était à la latitude de 73,19652955°,
soit : 73 degrés 11 minutes 47 secondes 5/10
C'était un bien joli problème de trigono, ... MERCI.
Bonjour,
On est amené à résoudre l'équation
d/(R*cos(d/R)) = d/R + Pi
On trouve
d = 8176 km
Cordialement,
masab
Ta boussole n'indique pas le Nord géologique, mais le nord magnétique ... Voilà une solution au problème.
Désolé de cette réponse médiocre, mais... je suis fatigué !
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