Bonjour à tous,
Prenons un nombre de 3 chiffres au plus. En additionnant les carrés de chacun des chiffres qui le constituent, on obtient un nouveau nombre.
Par exemple, 29 donne 2² + 9² = 4 + 81 = 85.
On établit ainsi une série de nombres jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre formé d'un seul chiffre (c'est à dire strictement inférieur à 10), ce qui constitue la fin de la série.
Par exemple, à partir de 29, on obtient la série 29 - 85 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 , soit 7 éléments.
Question : Quel nombre de départ permet d'établir la plus longue série ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.
bonjour
il semble qu'on puisse obtenir une séquence de longueur 15 à partir du nombre 466.
466 --> (88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4)
merci pour la joute et bon weekend !
On obtient la plus longue série à partir de 466, 646 et 664.
466 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 soit 16 éléments.
Bonjour godefroy,
Il y a 3 nombres qui répondent à la question: 466, 646 et 664.
Les séquences obtenues possèdent 16 éléments.
Par exemple:
466 (ou 646 ou 664) - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
Merci pour la joute !
466 et (par permutation) 646 et 664 conduisent à la série la plus longue (88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4)
Bonjour,
466, 646 et 664 donnent : 88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 et enfin 4 soit 16 éléments
bonjour
Les nombres de départ donnant la suite la plus longue sont :
466
646
664
(cette suite comporte 16 termes)
Bonsoir,
une joute plutôt facile via excel...
La plus longue série comporte 16 éléments et, comme cela ne dépend pas de l'ordre des chiffres, il y a 3 solutions:
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
646-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
664-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Réponse: 466, 646 et 664.
Merci pour la joute.
Ces nombres de départ sont :
664, 646 et 466
dont la série se poursuit par :
88,128,69,117,51,26,40,16,37,58,89,145,42,20,4
et ont donc une longueur de 16.
Bonjour tout le monde
- Je propose: 466
88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Soit 15 éléments
Je trouve 466 comme réponse avec 16 éléments dans la suite
On peut aussi ajouter que cette suite est interessante : chaque suite se "termine" soit par 1 soit par 89 ( à 89 on aura un cycle )
Voici mon programme sur SCILAB :
function f=sumcarre(x)
S=0
while (x<>0) // Extraction des chiffres
B=modulo(x,10)
x=int(x/10)
S=S+B^2
end
f=S
endfunction
c=0
for A=100:999
d=1
E=A
while E>10 // Permet d'avoir a la fin un nombre à un chiffre
d=d+1
E=sumcarre(E) // Fonction
end
if d>c then // Permet d'avoir le plus grand élément
c=d
disp(A)
disp(c)
disp("..")
end
end
Bonjour Godefroy,
Je trouve trois solutions (qui n'en font en fait qu'une seule) : 466 - 646 - 664
qui sont tous trois suivis de : 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 pour constituer chaque fois une série de 16 éléments.
Merci à toi.
Bonjour,
Les trois entiers 466,646 et 664 répondent à la question avec une séquence de 15 termes: 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4
3 solutions sont : 466 ; 646 ; 664
466 > 88 > 128 > 69 > 117 > 51 > 26 > 40 > 16 > 37 > 58 > 89 > 145 > 42 > 20 > 4
Bonjour Godefroy.
466, 646 et 664 donnent des séries de seize éléments.
Chacun de ces nombres continue par 88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4.
Les nombres qui donnent une suite la plus longue (16 en comptant le nombre de départ et celui à un chiffre) sont 466,646 et 664.
A noter que presque toutes les séries se finissent par 4, moins fréquemment par 1, et très très rarement par d'autres nombres.
bonjour
voici ma réponse :
88 est le nombre à deux chiffres qui à la plus longue suite (15) et 664 ou 466 ou 646 sont ceux à trois chiffres qui ont la plus longue je crois (16).
merci pour votre attention.
*à partir de 555, on obtient la série :555-75-74-65-61-36-45-41-17-50-25-29-85-89-145-42-20-2
donc 18 éléments.
Bonjour Jamo,
Bonjour les matheuses, bonjour les matheux.
3 nombres entiers positifs, strictement inférieurs à 1000, satisfont aux exigences de ce problème.
466
646
664
Chaque "série" correspondante est composée de 16 éléments.
466 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
646 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
664 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
Triple solution ? ... ou bien solution unique ?
En effet, les 3 nombres différents étant composés des mêmes chiffres, on obtient forcément 3 séries identiques depuis le 2ème élément jusqu'à la fin.
Je ne me prononcerai donc pas sur ce détail de phraséologie ! ....... godefroy_lehardi tranchera !!!
Bonjour
Détermination avec un programme:
maxi = 16
466 -> 88 -> 128 -> 69 -> 117 -> 51 -> 26 -> 40 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4
ou
646
ou
664
Remarque : la suite (connue des nombres joyeux) est strictement décroissante jusqu'àu premier nombre de 2 chiffres toujours atteint quel que soit le premier terme à au moins 3 chiffres.
Bonjour,
voici les 3 nombres qui donnent la plus grande série: 466 646 664
qui donnent évidemment la même somme de carrés.
Ils correspondent à la série de 16 nombres suivante:
466(646,664)-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Bien à vous
Bonjour,
Voici ma réponse :
Le nombre de départ qui permet d'établir la plus longue série est 466.
On obtient une série de 15 nombres.
Merci!
Bonjour,
Les nombres de départ qui donnent les séries les plus longues sont 466, 646 et 664.
Merci pour l'énigme.
bonjour,
En fait n'importe quel entier > 0 peut être la longueur d'une telle série.
En effet soit un nombre n dont la série a pour longueur k.
On considère l'entier n1 formé de n chiffres tous égaux à 1.
Alors la somme des carrés des chiffres de n1 est égale à n.
Donc la série commençant à n1 a pour longueur k+1.
Pour finir, il suffit de remarquer que la série commençant au nombre 1 a pour longueur 1.
Cordialement
486 = 4² + 8² + 6²
= 16 + 64 + 36
= 116
486 - 36 - 61 - 46 - 34 - 66 - 3
Le nombre de départ qui me permet d'établir la plus longue série est: 8
Bonjour,
Les nombres de départ qui permettent d'obtenir la plus longue série sont : 466, 646 et 664.
Cette serie est composée des 15 éléments suivants :
88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
merci pour l'enigme!
Je dirais les nombres suivants : 466, 646 et 664
On aurait donc comme série :
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Ce qui fait une série de 16 nombres.
Bonjour godefroy_lehardi,
Les nombres 466 , 646 et 664 au départ permettent d'établir la plus longue série.
Merci.
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
664-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
646-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Avec un série de longueur 16 à chaque fois
Bonjour,
Voilà ma réponse.
j'ai trouvé trois série de 16 éléments.
466 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
646 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
664 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
Cordialement,
LeMathematicien
bonjour,
j'ai trouvé 3 nombres qui donnent une série de 16 nombres
466 ; 646 ; 664
après chacun de ces nombres la série est la même
88 ; 128 ; 69 ; 117 ; 51 ; 26 ; 40 ; 16 ; 37 ; 58 ; 89 ; 145 ; 42 ; 20 ; 4
yo,
après plusieurs dizaines de copies gribouillées...
la longeur maximale est constituée de 16 nombres, générée par 664.
c'est le seul générateur.
Avec un petit programme Matlab qui teste les possibilités jusqu'à 999, je trouve 466, et donc tous les nombres composés des mêmes chiffres : 466,646,664.
Débutant sur les énigmes, je vais me faire une joie de découvrir les autres!
Clôture de l'énigme :
Plusieurs participants ont oublié qu'il fallait donner toutes les solutions.
J'en profite pour vous souhaiter, avec un peu d'avance, une excellente année 2012.
Qu'elle voit tous vos vœux se réaliser !
Merci à tous ceux qui ont bien voulu griller quelques neurones sur nos énigmes cette année.
J'espère que vous serez encore plus nombreux l'an prochain.
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