Intégrales difficiles

Posté par Lloyds Lloyds

Bonjour ,

J'ai un problème avec ces intégrales :








Merci !

J'ai un peu raté la 2eme il faut l'intégrer entre pi/2 et pi/4

Posté par Glapion Glapion

Bonjour,
Pour la première tu vois que dx/x c'est  la dérivée de 2x donc tu es devant une forme 2ln(1+u)du que tu peux par exemple intégrer par parties.

la seconde est simple aussi, cos x dx est la dérivée de sin x donc tu es devant un u²du

pour la troisième introduit artificiellement 1/2x et multiplie par 2x pour compenser, tu es devant un 2u e^udu en fait que tu peux également intégrer par parties.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pour la première et la troisième changement de variable . Pour la deuxième changement de variable

Posté par yogodo yogodo

Bonjour

Pour la dernière, tu peux écrire , et donc la primitive de , c'est

Posté par Glapion Glapion

pas d'accord, la primitive de ça n'est pas  
Dérive pour voir le u'e^u va t'envoyer une racine de x au dénominateur.

Posté par Lloyds Lloyds

Glapion , je n'ai pas compris tes explications pour la première...

PS: On n'a pas encore vu le changement de variable

Posté par Glapion Glapion

(puisque ) donc ça revient à intégrer 2 ln u du et ça tu peux le faire simplement par partie = 2u ln(u)-2u

Donc au total ça donne et entre 1 et 2

Posté par Lloyds Lloyds

Comment passes-tu de de a le 1 que tu as rajouté va s'annuler avec la dérivée mais pourquoi l'avoir rajouté ? Juste pour arriver à la forme ?

D'ou vient le ?

Posté par Glapion Glapion

oui juste pour faire apparaître un 2 ln(u) du
après il faut savoir ce que c'est qu'une intégration par partie udv=uv-vdu pour finir

Posté par Lloyds Lloyds

Je pose donc {1+\sqrt{x}} et donc ? Parce que me fait un truc bien compliqué ...

Je ne vois pas pourquoi tu as séparé u et le logarithme.

Posté par Glapion Glapion

Si tu appliques udv=uv-vdu  avec u=2ln(x) et v=x ça donne bien = 2xln(x)-2xd(ln(x))=2xln(x)-2 dx= 2xln(x)-2x

Posté par Lloyds Lloyds

Mais tu as pris quoi comme u et v ?

Posté par Lloyds Lloyds

oups j'ai pas vu

Posté par Lloyds Lloyds

Tu as fait un changement de variable non ? En prenant ?

Avec , , et


Je trouve : en appliquant la formule...

Posté par Lloyds Lloyds

Je comprends pas pourquoi tu prend et pas v' = X ?

Sinon , je me suis trompé avec ma méthode ca donne plutot :

On a bien fait un changement de variable ?

Posté par Glapion Glapion

tu veux intégrer   ln(x) dx donc u=ln(x) et v'=1 donc v=x
et ça donne bien x ln(x) - x d(ln(x))= x ln(x) -dx = x ln(x) - x

Ça c'est une intégration par partie. Le changement de variable c'était avant, quand on a posé u=1+x.

Posté par Lloyds Lloyds

OK , donc on a fait un changement de variable + une intégration par parties ?

Ce que j'ai fait ne marche pas ?

A savoir que l'intégrale est égale à ou est mon erreur ici ?

Posté par Glapion Glapion

tu as intégré x ln(x) et pas ln(x)  

Posté par Lloyds Lloyds

Je comprends pas trop ce qu'on fait ...
Notre fonction n'est pas lnx si ?

Posté par Glapion Glapion

le changement de variable nous a amené à ln(u)du et c'est ça que l'on doit intégrer par partie. et toi en mettant v'=x tu as en fait intégrer par partie xln(x) au lieu de ln(x)

Posté par Lloyds Lloyds

Ok ,

quand on intègre par parties le 2 s'applique aux 2 membres ? 2uv - 2 ... etc exact ?

Je trouve

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est une primitive.

Posté par Lloyds Lloyds

Merci , on peut passer à la seconde ^^

Pas besoin de changement de variable ici , j'intègre directement par parties ?

Posté par Lloyds Lloyds

J'ai lu tes explications sur cette intégrale mais je comprends pas comment appliquer l'intégration par partie a u^2du ...

Posté par Glapion Glapion

pas besoin d'intégrer par partie, une primitive de u²  est u³/3

Posté par Lloyds Lloyds

u^2.u' tu veux dire

Si je veux quand même le faire je m'y prends comment ?

Posté par Glapion Glapion

sin²x cosx dx = sin² x d(sin x) = sin³ x/3 donc

Posté par Lloyds Lloyds

Je ne comprends pas après le 2e "=" c'est quoi sin3 x/3?

Posté par Glapion Glapion

une primitive de sin²x cos x.
on a juste intégrer le u²du en u³/3 et comme u=sin x, ça fait (sin³x)/3
Dérive (sin³x)/3, tu verras bien.

Posté par Lloyds Lloyds

J'essaye d'intégrer par parties je pose t = sinx
et je dois intégrer t²dt avec u = t² v = t

ca me donne t^3-(3t^2)/2

Posté par Glapion Glapion

je t'ai dit que ça n'était pas la peine d'intégrer par partie, vu que la primitive est immédiate (=t³/3).

et puis ça ne donnerait pas ça, ça donne t³-2t²dt = t³-(2/3)t³=t³/3 et évidemment on trouve pareil

Posté par Lloyds Lloyds

Je veux le faire par parties pour m'assurer que j'ai compris , et ce n'est pas encore le cas.

Comment trouves-tu 2t²dt ??

Je prends u = t² donc u' = 2t et v = t donc v' = 1

Ca fait donc t^3 - 3t ou est mon erreur ?

Posté par Glapion Glapion

-vdu=-t.2t dt = -2t²dt

Posté par Lloyds Lloyds

ohlala , j'additionnai au lieu de multiplier ...

Pour la dernière je trouve : avec

J'ai bien fait un changement de variable ici exact ?

Posté par Glapion Glapion

oui exact.

Posté par Lloyds Lloyds

Génial.

Comment faire pour celle-ci ? xln^2(3x+2)dx

Posté par Glapion Glapion

D'abord un petit changement de variable u=3x+2 va donner   (1/9)(u-2)ln²u du puis après il faut faire des intégratins par parties pour se débarrasser des log.
mais c'est un peu long. Au final :

Posté par Lloyds Lloyds

Ca m'a l'air bien long , on va laisser celle ci de côté , et voir pour celle ci : 1+\sqrt{x}}dx" alt="\frac{x}{1+\sqrt{x}}dx" class="tex" />

Posté par Glapion Glapion

là il faut poser u=x , tu vas tomber sur 2u³/(u+1) qu'il faudra décomposer en 2(u²-u+1-1/(1+u)) et chaque terme est alors facile à intégrer.

Posté par Lloyds Lloyds

Je comprends pas du tout ... Tu peux utiliser le latex stp ?

Posté par Glapion Glapion

tu n'as pas compris quoi ? Fait le changement de variable u=x, tu trouves quoi ?

Posté par Glapion Glapion

ben non, je t'avais donné 2u³/(u+1)

tu n'as pas dû voir que si u=x alors x=u² donc dx=2udu et x/(1+x)=u²/(1+u) . 2udu = 2u³du/(1+u)
tu as oublié le dx surement.

Posté par Lloyds Lloyds

Ok , donc en posant t = \sqrt{x}

On obtient :

D'ou vient le ? C'est ce que tu obtient après l'intégration ?

Je préfère raisonner avec les t pour ensuite identifier les termes avec les u et v

Posté par Glapion Glapion

non, c'est ce qu'il faut intégrer maintenant

Et pour ça je t'ai donné la méthode, il faut décomposer 2t³/(1+t)=2(t²-t+1-1/(1+t))

Posté par Lloyds Lloyds

Je comprends pas ta décomposition ... Le latex m'aiderait à mieux voir.

Pourquoi je trouve   s'il faut trouver ? C'est la qu'intervient ta décomposition ?

Posté par Glapion Glapion

non c'est bien 2t³dt/(1+t) on est d'accord.
oui c'est ça qu'il faut décomposer. Fait la division Euclidienne des deux polynômes par exemple.