Annuler
connectez vous
analyse complexe en post-bac
- Les nombres complexes - supérieur
- Nombres complexes : les classiques
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Nombre complexe et couleur
Posté par Cryptocatron-11
Bonsoir,
J'aimerais votre avis sur l'interprétation que j'ai faite de la vidéo suivante :
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=m1UckDpr-nw#!
c'est une vidéo sur les applications de C dans C avec la couleur ;
On a des représentation d'applicatications de C dans C. Interssons nous à l'application f:z-->exp(z) que j'ai trouvé très interessante
en fait ça fait
f : z-->exp(z)
(re(z),im(z)) ---> (arg(exp(z),module de exp(z))
axe abscisse pour Re(z)
axe ordonnée pour Im(z)
couleur pour agument de f(z)
luminosité pour module de f(z)
Quand l'auteur de la vidéo représente exp(iy) . En fait, il prend tout les z qui sont purement imaginaire et par f , ils les transforment en exp(z) et donc en exp(iy) (car on prend que ceux qui sont imaginaires donc les iy)
Vous remarquerez que la courbe exp(iy) fait une sorte de ressort : c'est leur représentation dans le cerle trigonométrique : on représente tout les imaginaires purs sur un cercle trigonométrique.
En effet, en les transformant en exp de machin grâce à f , leur module vaut 1 car ||=1 .
Cela explique pourquoi leur luminosité n'est ni foncé ni clair.
exemple : -->
Par contre l'image de tout les autres qui ne sont pas purement imaginaire , c'est à dire les x+iy qui se transforment en : ont pour module
C'est donc e^x qui donne la couleur. Plus est grand et plus la couleur devient clair , inversement Plus
est petit et plus la couleur devient sombre
Merci de me dire ce qui est juste et faux dans ma compréhension du truc.
très jolie animation
une fonction réelle de la variable réelle demande pour sa représentation deux "dimensions"
traditionnellement, ces dimensions sont deux réels, x et f(x), d'où une représentation graphique dans le plan
l'idée est de remplacer la deuxième dimension, f(x), par la couleur.
Il faut donc assigner arbitrairement une signification non ambiguë à cette couleur pour représenter les valeurs possibles, on dira qu'on établit une injection entre l'ensemble des réels et l'ensemble des couleurs.
Tu remarqueras que dans le cas des réels, finalement, seul un dégradé suffit.
L'exemple montre un dégradé qui va du bleu (les négatifs) au rouge (les positifs)
Passons aux nombres complexes
Pour représenter une fonction complexe de la variable complexe, il faut 4 dimensions, 2 pour la variable, 2 pour son image.
L'idée de la représentation REFLEX est de choisir une injection entre et l'ensemble des couleurs.
Donc le plan de représentation est le support de la variable z, la couleur prise par chaque point identifie (grâce à l'injection) l'image complexe de ce point complexe.
Il y a de multiples façons de choisir cette injection de dans l'ensemble des couleurs
Ici, cette capture t'en donne une représentation :
par exemple, les verts sont associés aux complexes de partie réelle négative, de partie imaginaire positive.
(la partie grise de l'hélice n'est due qu'au cadre qui affiche le texte du bas de l'écran)
dans cette deuxième image, l'auteur remplace chaque point de l'hélice par la couleur qui lui correspond
mais attention : ce n'est pas la partie de la représentation de l'exponentielle complexe limitée au cercle, c'est un intermédiaire : la représentation d'une fonction de la variable réelle y, dont la dimension de représentation est prise sur l'axe des ordonnées dont les valeurs sont les couleurs associées aux nombres complexes telles que le montre la première capture.
le résultat obtenu hélas est trop peu montré dans la vidéo, cela donne un axe des ordonnées coloré.
cette troisième capture est à mon sens très perturbante, car elle n'est pas ce qu'elle prétend être
elle n'est à ce stade que la superposition des deux fonctions et
, où la deuxième fonction s'est vue affecter l'axe des ordonnées pour sa dimension de variable.
Mais la séquence qui suit donne effectivement cette représentation.
Alors dans l'injection choisie, effectivement, l'argument donne la teinte de la couleur, le module donne sa luminosité.
La couleur d'un complexe proche de 0 sera proche du noir
La couleur d'un complexe de module élevé sera proche du blanc.
mais une couleur a trois composantes, les "bijections" entre ensembles de dimensions 2 (les complexes) et 3 (les couleurs) ne peuvent être dérivables (rappelle-toi la courbe de Péano, bijection du segment [0,1] sur le carré de coté 1) et ne seraient pas très visuelles. La Saturation, dernière composante de la couleur dans le système TSL, est fixée à une valeur constante.
donc pour répondre à ta question :
dans le cas de l'exponentielle complexe
ne donne pas la couleur, mais la luminosité
donne la teinte, ce qui dans le langage courant, pourrait apparaître comme la "couleur" perçue par l'oeil humain.
Oui e^x donne la luminosité j'ai fais une erreur de frappe d'ailleurs juste après je dis que plus e^x est grand et plus ça s'éclaircit.
Citation :
mais attention : ce n'est pas la partie de la représentation de l'exponentielle complexe limitée au cercle, c'est un intermédiaire : la représentation d'une fonction de la variable réelle y, dont la dimension de représentation est prise sur l'axe des ordonnées dont les valeurs sont les couleurs associées aux nombres complexes telles que le montre la première capture.
mais attention : ce n'est pas la partie de la représentation de l'exponentielle complexe limitée au cercle, c'est un intermédiaire : la représentation d'une fonction de la variable réelle y, dont la dimension de représentation est prise sur l'axe des ordonnées dont les valeurs sont les couleurs associées aux nombres complexes telles que le montre la première capture.
Pour connaître l'argument de
Bonsoir,
je ne suis pas mathématicien. Cela étant, je crois comprendre que la représentation des couleurs par une fonction complexe modifie nos représentations communes de la couleur. Du coup, à partir de cette nouvelle représentation, telle que les 3 captures le montre, peut-on dire qu'un orange claire et un orange foncé soient une même couleur, le orange, avec une intensité de lumière différente, ou bien que ce sont deux couleurs différentes appelées à tord : orange (et ce, du fait de l'écriture e^z).
Si "orange clair" et "orange foncé" sont deux couleurs différentes par et dans cette représentation complexe, comment le démontrer par cette représentation ?
Merci.