DM de Maths - POLYNÔMES

Posté par LyonneAise LyonneAise

alors voilà j'ai un DM de Maths à rendre pour la rentrée et je suis en 1ere S. Je ne suis pas très douée et là j'ai rien, mais alors rien pigé à l'exercice. Le voici:

1) Soit Q le polynôme défini sur R par Q(x)= 2x^3-3x^2+x
Factoriser le plus possible Q(x).

2) Soit P le polynôme de degré 3 définit sur R par P(x)= ax^3+bx^2+cx.
Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x^2

3) n est un entier supérieur ou égal à 1.
Compléter alors:
P(2)-P(1)=
P(3)-P(2)=
P(4)-P(3)=
P(n+1)-P(n)=

puis par addition membre à membre de toutes ces égalités, montrer que, pour tout eniter naturel n>= 1, on a:
1^2+2^2+...+n^2=P(n+1)-P(1)

4) Pour tout entier naturel n >=1, vérifier que P(n+1)-P(1)=(Q(n+1))/6

Déduire alors de la question 1) que, pour tout entier naturel n>=1,
1^2+2^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6

5) Application: calculer 1^2+2^2+...+50^2.


Peut-être qu'en fait c'est hyper simple mais si comme moi, on est assez  médiocre en maths, c'est beaucoup plus dur.
Merci d'avance à ceux qui répondront.

Posté par yogodo yogodo

Bonjour à toi aussi !!!

Posté par LyonneAise LyonneAise

Pas faux, j'ai oublié de dire bonjour dessus! Autant pour moi

Posté par yogodo yogodo

Ah c'est déjà mieux...

Alors où bloques-tu?

Posté par LyonneAise LyonneAise

Rien que la première question me pose un problème, c'est dire!
Je me rappelle avoir déjà un exercice du genre mais on avait une racine du polynôme. Là je ne m'en sors pas du tout!
Et puis même les autres questions c'est pire! :/

Posté par yogodo yogodo

Bon commençons par la première question.

Déjà on peut voir que l'on peut commencer par factoriser par x :

, à toi de compléter

Posté par LyonneAise LyonneAise

donc j'arrive à x(2x²-3x+1)

et là bim! je bloque

Posté par yogodo yogodo

Et la bim! On pense au discriminant...

Posté par LyonneAise LyonneAise

ouais et la bim! j'me dis que j'ai rien dans la cervelle --'

et donc je continue avec le discrimant et ensuite la résolution alors?

Posté par yogodo yogodo

Non pas la résolution mais la factorisation tu as du voir que  

Posté par LyonneAise LyonneAise

oui mais alors si je veux trouver x₁et x₂ il faut bien que je fasse la résolution non?
ou alors je me plante complètement?

Posté par yogodo yogodo

Ah c'est ce que tu appelles résolution dans ce cas oui il faut faire la résolution ^^

Posté par LyonneAise LyonneAise

d'accord ^^

donc si je ne suis pas débile et que j'ai bien compris, je dois au final, arriver à quelque chose comme:
P(x)=2(x-0,5)(x-1)
c'est ça?

Posté par yogodo yogodo

TADAA !!!!!

Donc du coup Comment s'écrit Q(x) de la manière la plus factorisée?

Posté par LyonneAise LyonneAise

en espérant ne pas dire de bêtises ^^

Q(x)= 2x²+x+1

c'est bien ça?

Posté par yogodo yogodo

Non on demande la forme factorisé :

Posté par LyonneAise LyonneAise

ah oui! donc j'ai dit une bêtise ^^

par contre, pourquoi 2x(x-0,5)(x-1)
parce que a=2 non?

Posté par yogodo yogodo

Oui c'est ça là tu ne dis pas de bêtise

Posté par LyonneAise LyonneAise

d'accord, donc c'est bien 2(x-0,5)(x-1) ?

serais-ce trop de demander de l'aide pour les autres questions ou pas? tu/vous as/avez pu remarquer que je suis vraiment une quiche en maths. (quelle idée de choisir S franchement --')

Posté par yogodo yogodo

Attention c'est 2x parce qu'au tout début on avait d'abord factorisé par x

Posté par LyonneAise LyonneAise

mais oui mais dans ces cas, a est toujours égal à 2.
par exemple dans le discriminant, on prend a=2
et donc puisque dans la factorisation, on a a(x-x₁)(x-₂), a reste égal à 2. A moins que je dise une bêtise?

Posté par yogodo yogodo

Alors si on résume on a :



Or on a vu que :

Donc

Posté par LyonneAise LyonneAise

*REVELATION*

ah bah oui! vu dans ce sens, c'est sûr

Posté par LyonneAise LyonneAise

et donc, est-ce que tu/vous  veux/voulez  bien m'aider pour les autres questions ou non?

Posté par LyonneAise LyonneAise

ça veut dire oui?
ou ça veut dire non?

Posté par yogodo yogodo

ah ça c'était poue rire de toi pour la question précédente. POur la suite je veux bien t'aider et tu peux enlever les /vous le tu me va très bien ^^

Posté par LyonneAise LyonneAise

ok d'ac merci. mais bon le /vous c'était pour être polie, je sais jamais comment dire sur les forum ^^

donc pour la question 2, je comprends pas comment faire parce que quand on a fait un exemple en cours, on avait une racine de P, genre on savait que P(3)=... et donc on arrivait à trouver les réels a, b et c. Mais là...:?

Posté par yogodo yogodo

et bien là moi aussi je suis un peu dans le flou mais bon quand on ne sait pas on cherche alors on sait juste que

On va calculer d'abord P(x+1)-P(x)



Maintenant il faut développer tout ça... Alors c'est très long à faire...

D'abord développe a part , et

Posté par LyonneAise LyonneAise

si je développe a par (x+1)², ça me donne:
(x+1)²*a(x+1)
mais en fait ça veut dire que je dois développer TOUS les (x+1), qu'ils soient au carré ou au cube???

Posté par LyonneAise LyonneAise

j'ai fait un développement de malade et à la fin, j'arrive à:
a(3x²+3x+1)+b(2x+1)+c

est-ce que ça pourrait être ça?

Posté par yogodo yogodo

Et bien il faut TOUT mais vraiment TOUT développer :















eeeeennnnnnfffffiiiiiinnnnn !!!!!!

Voila ce qu'on obtient (je te conseil fortement de revérifier les calculs car les fautes peuvent ici très vite arriver)

Ensuite on te dit que tout ceci est égal à x² donc on identifie :



Donc on doit avoir :

  -> 3a=1
  -> 3a+2b=0
  -> b+c=0

Posté par LyonneAise LyonneAise

à la quatrième ligne, tu commences par:

ax³+3ax²+3ax+3a
c'est censé être le développement de a(x³+3x²+3x+1)
le truc c'est que a*1, ça fait pas 3a

Posté par LyonneAise LyonneAise

ça voudrait dire qu'on obtient
3ax²+x(3a+2b)+(a+b+c)

Posté par yogodo yogodo

Non 1*a=a pour veux-tu que ça fasse 3a?

Posté par yogodo yogodo

Ah oui je me suis planté tu as raison c'est a et non 3a



c'est correct ça enfin je pense... ^^

Posté par LyonneAise LyonneAise

parce que c'est écrit dans ton résonnement

mais en fait je pense que ça change pas grand chose, parce que du coup, si on prend l'expression finale, qui est: 3ax²+x(3a+2b)+(a+b+c)
sachant que P(x+1)-P(x)=x², on a alors: P(x+1)-P(x)=1x²+0x+0

soit:
3a=1 <=> a=1/3

3a+2b=0 <=> 3*1/3+2b=0 <=> 1+2b=0 <=> -1/2=b <=> b=-1/2

(a+b+c)=0 <=> 1/3-1/2+c=0 <=> -1/6+c=0 <=> -1/6=-c <=> c=1/6

est-ce que c'est ça??

Posté par LyonneAise LyonneAise

que personne n'hésite à m'aider surtout

Posté par yogodo yogodo

Oui c'est ça

Posté par LyonneAise LyonneAise

question 1 c'est fait
question 2 idem.

question 3??

Posté par yogodo yogodo

Tu as P(x+1)-P(x)=x²

P52)-P(1)=P(1+1)-P(1) (c'est comme si x=1) donc ça vaut x²=1²=1

Comprends-tu?

Posté par yogodo yogodo

Oups le 5 c'est une parenthèse

Posté par LyonneAise LyonneAise

donc P(3)-P(2)=4
P(4)-P(3)=9
et donc P(n+1)-P(n)=n²

c'est bien ça?

Posté par yogodo yogodo

Parfait

Posté par LyonneAise LyonneAise

mais pour montrer que l'addition des égalités est égale à P(n+1)-P(1) je fais comment?

Posté par yogodo yogodo

Alors la en fait c'est juste une petite astuce et un peu de jugeotte.


Si on additionne tout ce que l'on a mis avant ça fait :








En fait si tu regardes bien presque tout les termes s'annulent et il n'en reste que deux

Posté par LyonneAise LyonneAise

ouais mais si je suis ton résonnement il reste un P(3) qui ne s'annule pas aussi

Posté par LyonneAise LyonneAise

AH nan!! J'ai compris ^^

Posté par yogodo yogodo

C'est bon? y'a encore plein de chose dans les points de suspension...

Posté par LyonneAise LyonneAise

nan en fait y'a un truc que j'ai pas compris, c'est pourquoi on met P(n)-P(n-1) ? logiquement c'est que P(n+1)-P(n)