Bonsoir à tous, voilà je bloque un peu sur une partie d'un DM de maths, j'ai bien eu quelques idées mais qui n'ont pas vraiment abouties. Je vous donne les dernières questions où je bloque :
On considère maintenant l'équation (1) x^3+px+q=0 Soit l'une des racines de cette équation. On a (p;q)²
1) Montrer qu'il existe (u;v)² vérifiant :
| u+v=
| uv=
On établira seulement l'existence de u et v sans chercher à les calculer en formant une équation du second degré de racines u et v.
2) (u;v) étant un couple de complexe vérifiant le système précédent, exprimer u3+v3 et u3v3 en fonction de p et q. En déduire que u3 et v3 sont racines de l'équation :
Merci d'avance pour votre aide ou vos indices
Bonjour Buth
Cela me rappel fortement notre cher cardan, ce post est suceptible de t'aider
jord
Bonsoir Buth;
Je crois q'un problème similaire figure dans un topic de l'ile ( c'est la methode dite de Cadran pour résoudre dans l'équation du 3ième degré ).
Principe de la méthode:
On considére une solution ( il en existe toujours )
puis on pose avec (on peut toujours trouver de tels complexes)
l'équation devient alors:
ou encore
ou encore
ou encore
et là on remarque que si on choisit et vérifiant on se retrouve avec:
et donc que le couple est solution du systéme:
et par conséquent et sont les deux solutions de l'équation du second degré:
(équation que l'on sait résoudre)
Donc si on arrive à prouver l'existence d'un couple tel que c'est gagné parce qu'on va pouvoir calculer et et par suite et pour aboutir à .
Heureusement qu'un tel couple existe toujours puisque l'équation admet toujours des solutions complexes.
Voilà,j'ai essayé de t'expliquer le principe de la methode et j'espére que c'est assez clair
Merci pour ces renseignements, je vais étudier les différentes démonstrations que vous m'avez proposées
Par contre pour la question de mon DM, pour montrer que uv=-1/3p, il suffit simplement que je le pose ? Je n'ai pas besoin de faire autrement ?
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