DM SPE Maths arithmétique

Posté par mw2 mw2

Bonjours, nous avons reçu un dm à faire en spé qui s'avère être pas très très facile... J'ai essayé de faire des choses mais les résultats que je trouve sont faux, si vous pouviez m'apporter de l'aide, ça serait gentil de votre part. Voici l'énoncé complet du DM (si au moins vous pouviez m'aidez à trouver les premières réponses pour que je puisse essayer de me lancer et vous donner les résultats que je trouve...)

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, _2n-2n est divisible par 7.

2) Démontrer que pour tout entier naturel n: si n n'est pas multiple de 3, alors 2n+1 est divisible par 7.

3) Deux entiers x et y sont écrits avec les mêmes chiffres dans un ordre différent.
a- Démontrer que leur différence x-y, est un multiple de 9.
b- A quelle condition en est-il de même pour la somme?

4) Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. On pose x=15a+4b et y=11a+3b.
a- Calculer 3x-4y et 11x+15y.
b- Démontrer que: PGCD(a;b)=PGCD(15a+4b;11a+3b).

5) On se propose de déterminer tous les couples d'entiers naturels (x;y) tels que: PGCD(x;y)=56 et PPCM (x;y)=672.
a- Démontrer qu'il existe des entiers naturels x et y, premiers entre eux tels que x=56x', y=56y' et x'y'=12.
Déterminer les couples (x';y') possibles.
b- Donner toutes les solutions au problème posé.

6) Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que a<b.
On note respectivement d et m leurs PGCD et PPCM.
Déterminer les couples (a;b) d'entiers naturels tels que: 2m+3d=78.

7) Déterminer les couples (a;b) d'entiers naturels tels que:
a<b, a²+b²=801 et PPCM (a;b)=120.

8) n désigne un entier naturel non nul.
a- Déterminer PGCD(n;n+1), puis PPCM (n;n+1).
b- Déterminer PGCD(n+1;2n+1), puis PPCM (n+1;2n+1).

9) a, b et c désignent des entiers naturels tels que:
PGCD(a;b)=1 PGCD(a;c)=1.
Montrer que a et bc sont premiers entre eux.

10) a et b désignent des entiers naturels premiers entre eux.
On pose: s=a+b et p=ab.
Déterminer PGCD(a;s) et PGCD(s,p).


J'ai réussi à répondre à une question, la 4)a- voici mes résultats:
3x-4y=a et 11x+15y=330a+89b.
Après pour la 3)a- j'ai fait des exemples qui vérifient bien ce qui est proposé u-v=w=k9. Mais pour démontrer je ne sais pas comment faire.

Posté par Barney Barney

Bonjour,

Ton énoncé n'est pas clair pour les questions 1 et 2

Posté par mw2 mw2

Oui pardon, voilàa les énoncés exacts:
1) Démontrer que, pour tout entier natureln, 3²ⁿ-2n est divisible par 7.
2) Démontrer que pour tout entier naturel n: si n n'est pas multiple de 3, alors 2n+1 est divisible par 7.

Posté par Barney Barney

Bonsoir,

1)
Initialisation
n=1 3²-2=9-2=77
Hérédité
on pose vraie 3²ⁿ-2n7 [mod 7]
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 3²ⁿ⁺²-2n -2
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 3²ⁿ×3×3 - 2n -2
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 3²ⁿ×3×3 - 2n -2
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 9×[3²ⁿ]-9(2n)+8(2n) -2
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 9²ⁿ- 2n] +16n -2
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 9²ⁿ- 2n] + 14n +2n -9 +7
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)= 9²ⁿ- 2n] + 14n -(3² -2) +7
3²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+17 [[mod 7]

Posté par Barney Barney

Bonsoir,

5)

x'  1    2   3   4   6   12
y' 12    6   4   3   2    1

x   56  112   168   224   336   672
y  672  336   224   168   112    56

Posté par Barney Barney

Bonsoir,

7)
   a=15   b=24     a<b
15²+24²=225+576=801
15=3×5
24=2³×3
PPCM(15;24)=120

Posté par watik watik

bonjour

1)
je crois que 3^(2n)-2n n'est pas divisible toujours par 7
contre exemple n=3 3^6-6=729-6=723 ,'est pas divisible par 7

2) l'énoncé ici est aussi faux. car 7 n'est pas multiple de 3 et 2*7+1=15 n'est pas divisible par 7

3) soit x=an10^n+a(n-1)10^(n-1)+...+100a2+10a1+a0
et y écrit avec les même chiffres mais dans un ordre quel conconque
dans l'écriture de x-y on regroupe les termes de mêmes chiffres
ce qui donne une somme de terme du type ai(10^i-10^j)
ai(10^i-10^j)=(10^j)ai(10^(i-j) -1)  ; en supposant j<i sinon on facirisera par 10^i
             =(10-1)(1°^j)ai(10^(i-j-1)+...+10²+10+1)
             =9(10^j)ai(10^(i-j-1)+...+10²+10+1)
donc 9 divise tous les termes ai(10^i-10^j)
donc 9 divise x-y

b) dans le somme on une somme de terme ai(10^i+10^j)
comme 10^p=1 (9) qq soit p donc
ai(10^i-10^j)=2ai (9)
donc
x+y=2(ai(10^i-10^j)
comme 2 est premier avec 9 donc d'après le th de Gauss 9 divise x+y ssi 9 divise ai(10^i-10^j.


4)3x-4y=3(15a+4b)-4(11a+3b)
       =45a-44a+12b-12b
       =a
-11x+15y=-11(15a+4b)+15(11a+3b)
        =-165a-44b+165a+45b
        =b

b)PGCD(a;b) divise a et b donc divise toutes combinaison linéaire de a et b donc divise x et y donc divise PGCD(x;y)
donc PGCD(a;b)<=PGCD(x;y)
PGCD(x;y) divise x et y donc divise toute combinaison de x et y donc divise a et b donc divise PGCD'a;b)
donc PGCD(x;y)<=PGCD(a;b)
donc PGCD(a;b)=PGCD(x;y)


5)a) 56=PGCD(x;y) donc 56 divise x et divise y donc ils existent x' et y' entiers naturels tels que x=56x' et y=56y'
x' et y' sont premier entre eux car si d divise x' et y' alors 56 divise x et y ce qui est en contradiction avec PGCD le plus grand diviseur commun de x et de y (56d>PGCD(x;y))
on a xy=PGCD(x;y)*PPCM(x;y)
donc
56²x'y'=56*672
donc
56x'y'=672=12*56
donc
x'y'=12
donc x' et y' divisent 12
les diviseurs de 12 sont 1;2;3;4;6 et 12
les cas possibles en tenant compte de x' et y' sont premiers entre eux sont donc:
x'=1 et y'=12  ce qui donne x=56 et y=672
x'=3 et y'=4   ce qui donne x=168 et y=224
x'=4 et y'=3   ce qui donne x=224 et y=168
x'=12 et y'=1  ce qui donne x=672 et y=56

6)2m+3d=78.
d divise m donc d divise 78
2 divise 78 et 2m donc 2 divise 3d comme 2 est premier avec 3 donc divise d
on ne retiendre donc que les d pairs
78=2*3*13
les diviseurs de 78 sont 1, 2, 3, 6, 13, 26; 39; 78
de ces diviseurs on ne retient que les diviseurs pairs pour d
ce qui donne
d=2 ou d=6 ou d=26 ou d=78

si d=2 alors 2m=78-6=72 donc m=36 ce cas peut être résolu comme en 5)
si d=6 alors 2m=78-18=60 donc m=30 idm
si d=26 alors 2m=78-52=26 donc m=13 ca qui n'est pas possible car m>d
si d=78 alors 2m=78-3*78 <0 ce qui n'est pas possible car m>0

7)soit d=PGCD(a;b)
a²+b²=801 donc d² divise 801
801=3²*89
le seul carré qui divise 801 est 3² et 1 donc d=1 ou d=3
si d=3 alors en posant a=3a' et b=3b' avec PGCD(a',b')=1 on a:
3a'b'=120 donc a'b'=40
et a'²+b'²=267
(a'+b')²=a'²+b'²+2a'b'=267+80=347  n'est pas un carré donc pas de solution pour d=3

si d=1
(a+b)²=a²+b²+2ab
      =801+2*120
      =801+240
      =1041 n'est pas un carré d'entier donc pas de solution

8)(n+1)-n=1 donc d'après th Besout n et n+1 sont premiers entre eux
donc PGCD(n;n+1)=1
donc PPCM(n;n+1)=n(n+1)

b) 2(n+1)-(2n+1)=1 donc d'après th Besout n+1 et 2n+1 sont premiers entre eux
donc PGCD(n+1;2n+1)=1
donc PPCM(n+1;2n+1)=(n+1)(2n+1)

9)PGCD(a;b)=1 PGCD(a;c)=1.
donc d'après th de Besout ils existe u,v,u' et v' tels que:
au+bv=1 et au'+cv'=1
on mumtiplie les deux membres de la premère par c ce qui donne:
c=a(uc)+bcv
on substitue c dans la deuxième ce qui donne:
au'+v'(a(uc)+bcv)=1
a(u'+uv'c)+bc(vv')=1
au"+bcv"=1
donc il existent u"=y'+uv'c et v"=vv' tels que au"+bcv"=1
d'après le th de Besout PGCD(a;bc)=1

10)
PGCD(a;b)=1
th Besout ils existent u et v tels que au+bv=1
on ajoute et retranche va dans premier membre:
au+va-va+bv=1
(u-v)a+v(a+b)=1
donc d'après th Besout PGCD(a;S)=1
de même on a PGCD(S;b)=1
d'après l'exo9) on a donc PGCD(S;ab)=1 cad PGCD(S;P)=1




            

Posté par watik watik

dans la 3b) il y a une erreur de frappe. Il faut lire:

b) dans le somme on une somme de terme ai(10^i+10^j)
comme 10^p=1 (9) qq soit p donc
ai(10^i+10^j)=2ai (9)
donc
x+y=2(an+a(n-1)+...+a2+a1+a0)
comme 2 est premier avec 9 donc d'après le th de Gauss 9 divise x+y ssi 9 divise an+a(n-1)+...+a2+a1+a0

Posté par watik watik

je reprends aussi le 7) car j'ai fais une erreur de calcul:

7)soit d=PGCD(a;b)
a²+b²=801 donc d² divise 801
801=3²*89
le seul carré qui divise 801 est 3² et 1 donc d=1 ou d=3
si d=3 alors en posant a=3a' et b=3b' avec PGCD(a',b')=1 on a:
3a'b'=120 donc a'b'=40
et a'²+b'²=89
(a'+b')²=a'²+b'²+2a'b'=89+80=169=13²  
donc a'+b'=13
donc a' et b' sont solutions de X²-13X+40=0
délta=169-160=9
X1=(13+3)/2=8 et X2=(13-3)/2=5
donc (a';b')=(8;5) ou (a';b')=(5;8)
donc (a;b)=(24;15) ou (a;b)=(15;24)

si d=1
(a+b)²=a²+b²+2ab
      =801+2*120
      =801+240
      =1041 n'est pas un carré d'entier donc pas de solution

Posté par Barney Barney

reBonjour,

7)
   a=15   b=24     a<b
15²+24²=225+576=801
15=3×5
24=2³×3
PPCM(15;24)=120

Posté par mw2 mw2

--- tout à l'air si simple avec vous. Je suis vraiment ridicule... Vous trouvez en deux temps trois mouvements et vous arrivez même à vs corriger, bravo!!! Et merci pour tout je vais quand même suivre vos indications de début pour essayer de retrouver les résultats que vous avez mis, encore une fois merci!

Posté par asnine asnine

bonjour

effectivement l'enoncé st faux :
  peut etre s'agit-il de
  
3²ⁿ-2ⁿ   ?

   donc à revoir le post de 23h 51 !

Posté par asnine asnine

et dans
  x+y=2(an+a(n-1)+...+a2+a1+a0) pour plus de clartée il faut lire;
  
  x+y=2(a_n+a_n-1+...+a₁+a₀.

sachant que x=a₀+a₁10+...+a_n10ⁿ

Posté par Barney Barney

Bonjour,

Si c'est 3²ⁿ - 2ⁿ
Prouvons que 3²ⁿ - 2ⁿ 7
Initialisation :
pour n=0   3º - 2º = 1 - 1 = 0
Hérédité :
posons 3²ⁿ - 2ⁿ 7 pour vraie
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2⁽ⁿ⁺¹⁾ = 3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2⁽ⁿ⁺¹⁾ = 9×(3²ⁿ) - 2×(2ⁿ)
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2⁽ⁿ⁺¹⁾ = 9×(3²ⁿ) - 9×(2ⁿ) + 7×(2ⁿ)
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2⁽ⁿ⁺¹⁾ = 9×(3²ⁿ - 2ⁿ) + 7×(2ⁿ)
on sait que 3²ⁿ - 2ⁿ 7
donc 9×(3²ⁿ - 2ⁿ)7
et comme 7×(2ⁿ)7 aussi
alors 9×(3²ⁿ - 2ⁿ) + 7×(2ⁿ)7
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2⁽ⁿ⁺¹⁾7
pour tout n, 3²ⁿ - 2ⁿ 7

Posté par mw2 mw2

Effectivement, nous avions des erreurs sur le sujet principalement donné voici les corrections:
2) démontrer que pour tout entier naturel n:
Si n n'est pas multiple de 3, alors 2²ⁿ+2ⁿ+1 est divisible par 7.

Posté par watik watik

bonjour

2) Posons An=2^2n+2^n+1
par les congruences

2=2 (7)
2²=4 (7)
2^3=1 (7)
donc
2^3p=1 (7)
2^(3p+1)=2 (7)
2^(3p+2)=4 (7)

si n=3p 2^3p=1 (7) et 2^2n=2^6p=(2^3p)²=1 (7) donc An=1+1+1=3 (7) donc 7 ne divise pas An si n est multiple de 3

Si n=3p+1 alors 2^n=2 (7) et 2^2n=2^(6n+2)=4*(2^3p)²=4 (7) donc An=2+4+1 (7) donc An=0 (7) donc 7 divise An

si n=3p+2 alors 2^n=4 (7) et 2^2n=2^(6p+4)=2^(3+1)*2^(3p)²=2 (7) donc An=2+4+1 (7) donc An=0 (7) donc 7 divise An

en résumé su n n'est multiple de 3 alors 7 divise An.    

Posté par watik watik

pour le premier exo

si on pose Un=3^2n-2^n
ça ce fait en deux lignes

3^2n=9^n
    =2^n (7) car 9=2 (7) et donc 9^n=2^n (7)
donc en retranchant 2^n de chaque memnre:
3^2n-2^n=0 (7) donc 7 divise Un qq soit n