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Etude de l'image d'un cercle

   
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terminaleEtude de l'image d'un cercle

#msg3977161 Posté le 15-01-12 à 10:02
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ce DM. Voici l'énoncé:

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O;.
Soit A le point d'affixe i. On appelle f l'application du plan complexe qui à un point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z'=(3iz+5)/(z-i)

1.a Soit T1 le cercle de diamètre [BC], où B est le point d'affixe 1+2i et C d'affixe -1+2i.
Justifier que M appartient à T1 privé de {A}, si et seulement si, il existe appartenant à

[o;(3/2)[](3/2);2[

Tel que z=2i+ei
J'ai a peu près réussi cette question. j'ai trouvé que le rayon est égal à 1 et l'affixe du centre du cercle est 2i.

b. Soit M un point d'affixe z=2i + ei avec privé de {3/2}. Déterminer l'affixe z' de f(M'). Démontrer z'= (cos)/(1+sin)) + 2i

Je bloque à partir de cette question

c. En déduire que l'image de T1 privé de {A} est incluse  dans une droite que l'on explicitera.

3. On appelle T2 le cercle de centre A et de rayon 1.
a. Justifier que l'affixe de M vérifie z= i + ei avec [0;2[

b. Exprimer l'affixe de z' de f(M) en fonction de et en déduire que f(M) appartient à un ensemble que l'on précisera.

Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3977293 Posté le 15-01-12 à 11:19
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonjour,

b) z'=\dfrac{3i(2i+e^{i\theta})+5}{2i+e^{i\theta}-i}

z'=\dfrac{3ie^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+i}

z'=\dfrac{(3ie^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-i)}{(e^{i\theta}+i)(e^{-i\theta}-i)}

z'=\dfrac{3i-e^{-i\theta}+3e^{i\theta}+i}{2+ie^{-i\theta}-ie^{i\theta}}

z'=\dfrac{4i+3e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2+2\,\sin\,\theta}

z'=\dfrac{2\,\cos\,\theta+4i\,\sin\,\theta +4i}{2+2\,\sin\,\theta}

z'=\dfrac{\cos\,\theta +2i(1+\sin\,\theta )}{1+\sin\,\theta}

z'=\dfrac{\cos\,\thetaz}{1+\sin\,\theta}+2i

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3977342 Posté le 15-01-12 à 11:41
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

Merci bien pour cette réponse
Pour la question suivante, je ne comprends pas vraiment ce qu'il faut faire pouvez vous m'aider s'il vous plaît?
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978106 Posté le 15-01-12 à 15:47
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

c) On a donc:

z'=\dfrac{\cos\,\thetaz}{1+\sin\,\theta}+2i avec \theta \in\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right[\cup]left];\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right[

Lorsque M décrit le cercle T_1 privé du point A(i), les coordonnées (x;y) du point M' vérifient l' équation y=2

Autrement dit, l' image du cercle T_1 privé du point A(i) est incluse dans la droite d' équation y=2, c' est à dire la droite (BC)

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978111 Posté le 15-01-12 à 15:48
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Ouille!

...avec \theta \in\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right[\cup\left];\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right[
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978199 Posté le 15-01-12 à 16:02
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

D'accord j'ai compris, merci ! Mais est ce que tous les points de la droite sont atteints ?
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978290 Posté le 15-01-12 à 16:20
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Citation :
c. En déduire que l'image de T1 privé de {A} est incluse dans une droite que l'on explicitera.


La question n' est pas posée...
Mais pour information, tous les points de la droite sont effectivement atteints.

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978359 Posté le 15-01-12 à 16:32
Posté par ProfilMandian Mandian

Cailoux j'ai eu 16/20 sur mon Dm de math de la derniere fois, je t'en remercie, et maintenant je comprend mieu. Mais escuse moi de te déranger, j'ai un autre DM, on m'a un peu iadé mais après plus personne me répond, sachant qu'il reste qu'une seul questionn (6) et la figure ? Peu-tu m'aidé ? parce que mon dm je le rend demain   voilà : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-468987.html#msg3978084
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978391 Posté le 15-01-12 à 16:36
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

D'accord merci
J'ai un soucis pour la question 3 a)
Il faut dire que si M appartient au cercle 2 alors son affixe est z=za+re^itheta soit z=i+e^itheta ? Et comment justifier l'intervalle de thêta ?
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978474 Posté le 15-01-12 à 16:53
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

3)a) M\in T_2\Longleftrightarrow AM=1\Longleftrightarrow |z-i|=1

Autrement dit, cela revient à écrire que z-i est un complexe de module 1 et d' argument \theta \in[0,2\pi[ quelconque

z-i=e^{i\theta}

z=i+e^{i\theta} avec \theta \in[0,2\pi[

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978504 Posté le 15-01-12 à 16:58
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

Merci beaucoup! Il me reste une dernier question qui me paraissait simple mais en fait pa tant que ça...
Il faut developer (z-2i-1)(z-2i+1) et en déduire les points invariants de l'application f
Je pense que ce sont les points B et C mais je n'arrive pas à le trouver
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978568 Posté le 15-01-12 à 17:12
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

(z-2i-1)(z-2i+1)=(z-2i)^2-1=z^2-4iz-5

Pour trouver les points invariants, on détermine les solutions de l' équation:

z'=z avec z\not=i

\dfrac{3iz+5}{z-i}=z

3iz+5=z(z-i)

3iz+5=z^2-iz

z^2-4iz-5=0 oh!!

(z-2i-1)(z-2i+1)=0

z=1+2i ou z=-1+2i

Il s' agit des points B et C

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978588 Posté le 15-01-12 à 17:16
Posté par Profilclonkeehan clonkeehan

Merci beaucoup cest bon j'ai tout compris
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3978604 Posté le 15-01-12 à 17:19
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

De rien donkeehan
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3994080 Posté le 24-01-12 à 22:34
Posté par Profilflight00 flight00

Bonsoir, j'ai le même DM et je n'arrive pas à répondre à la dernière question.
Si vous pouviez m'aider, ce serait gentil...
=> 3.b. Exprimer l'affixe de z' de f(M) en fonction de  et en déduire que f(M) appartient à un ensemble que l'on précisera.
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3994142 Posté le 25-01-12 à 00:12
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonsoir,

z=i+e^{i\theta}

z'=\dfrac{3i(i+e^{i\theta})-5}{e^{i\theta}}

z'=\dfrac{-8+3ie^{i\theta}}{e^{i\theta}}

z'=3i-8e^{-i\theta}

d' où |z'-3i|=8

et M' appartient au cercle de centre C(3i) et de rayon 8.

re : Etude de l'image d'un cercle#msg3994288 Posté le 25-01-12 à 12:12
Posté par Profilflight00 flight00

Merci beaucoup !
Juste une chose, c'était +5 au numérateur et non -5 mais c'est pas grave, je trouve ce qu'il faut, alors merci !
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3994383 Posté le 25-01-12 à 13:29
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Tu as raison: du coup, le rayon est 2!

De rien flight00
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3994398 Posté le 25-01-12 à 13:40
Posté par Profilflight00 flight00

C'est bien ce que j'ai trouvé
re : Etude de l'image d'un cercle#msg3995351 Posté le 25-01-12 à 18:42
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

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