Challenge n°107

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

7 sphères identiques indéformables posées sur une surface plane sont les unes contre les autres comme sur le dessin.

Les sphères sont creuses, la somme d'un diamètre intérieur et de deux fois l'épaisseur d'une sphère est de 5 cm.
Une épaisseur est celle d'une feuille sachant qu'un tas de 123 feuilles a la même mesure qu'un diamètre intérieur d'une sphère.

Un parallélépipède à base hexagonale et de hauteur égale au diamètre extérieur d'une sphère entoure les 7 sphères.
Les flancs du parallélépipède sont tangents à toutes les sphères extérieures. (voir dessin).
Les bases de parallélépipède sont tangentes à toutes les sphères.

Quel est le volume de vide à l'intérieur du parallélépipède ?

Notification : On demande le volume total du vide contenu dans le parallélépipède comprenant les volumes de vide contenu dans les contenants eux-même contenu dans le parallélépipède.

La réponse sera exprimée en cm³ arrondi au cm³ le plus proche.

Bonne chance à tous !

@+

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : 789 cm³

( (3+2V3) - (pi)(1 - 123^3/125^3) ) (5^3) cm³ avec beaucoup de risques d'erreurs de calcul

Merci pour l'énigme (qui sent le poisson ),

Philoux

Posté par borneo borneo

786 cm cubes

merci pour l'énigme

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit 'r' le rayon extérieur d'une sphère.

Après un calcul assez simple, on trouve que le coté de l'hexagone vaut
En fait, je calcule la distance d'un coté au centre (càd, la longueur d'un segment issu du centre coupant perpendiculairement un coté en son milieu) = . J'en déduis le coté de l'hexagone.

Volume total dans l'hexagone :
Volume occupé par les 'surfaces' des sphères :

Soit V_libre = 808.01 - 21.64 = 786.37.

La réponse est donc 786 cm³

Posté par paulo paulo

bonsoir,

voila mon résultat:

volume du polygone                   :808,0127 cm³
volume du vide exterieur aux spheres :349,8638
volume du vide interieur aux spheres :436,5078



Le volume de vide à l'intérieur du parllelepipéde est donc de 786 cm³

voila le resultat

merci

Paulo

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

En me remémorant l'énoncé en voiture, je m'aperçois que je n'ai compté que 6 sphères au lieu des 7.

La formule sera(it) donc :

5³( 3 + 2V3 -(7pi/6)(1 - 123³/125³) )

qui fourni(rai)t un volume de vide de : 786 cm3 par défaut

A moins qu'il y ait d'autres erreurs

Philoux _{qui est certain d'avoir un}

Posté par borneo borneo

Oups, j'espère qu'il n'y a pas d'ambiguité sur le mot vide... car c'est de l'air et pas du vide qu'il y a dans la boite. Je ne suis pas du tout sûre de mon résultat, mais je tente. En particulier, l'espace occupé par les coquilles des boules me semble important... mais ça fait une grosse feuille de papier, 123 pour presque 5 cm. En comparant avec les 85 feuilles de mon mémoire de maîtrise (pas de maths...) qui fait moins d'un cm d'épaisseur.

Posté par la_brintouille la_brintouille

Le volume de vide est de 786 cm^3, en esperant avoir evite les erreurs de calcul ...

Posté par PMP1 (invité)

je vais dire 721cm^3.
"l'important c'est de participer"

Posté par piepalm piepalm

Si d est leur diamêtre extérieur, chaque sphère a une surface de pi*d^2, et comme l'épaisseur est d/123, un volume plein de pi*d^3/123 soit 3,19 cm3 par sphère et 22,35 cm3 pour les 7.
La grande diagonale de l'hexagone vaut D=2d(1+1/rac(3)) soit 15,77 cm et sa surface S=D^2*3rac(3)/8=161,60 cm^2
Le prisme à base hexagonale (parce que ce n'est pas un parallélépipède!) a une hauteur de d=5cm donc un volume de 808,01 cm3 auquel il faut enlever le volume plein des sphères pour trouver 785,66 cm3 que l'on arrondit à 786 cm3

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Je pose :
c = côté de la base du parallélépipède
D = diamètre extérieur d'une sphère
d = diamètre intérieur d'une sphère
e = épaisseur d'une sphère

On a alors :
* c = D + D/2.2/√3 = D (1+√3/3)
* D = d + 2e
* e = d/123 soit d = 123/125 D

Volume total du parallélépipède :
V_P = 1/2 . c . c√3/2 . 6 . D = D³ (3+2√3)

Volume d'une sphère de rayon D :
V_D = 4/3.pi.(D/2)³ = pi/6.D³

Volume d'une sphère de rayon d :
V_d = 4/3.pi.(d/2)³ = 4/3.pi.(123/125/2)³ = pi/6.(123.D/125)³

Le volume de vide vaut donc :
V = V_P - ( V_D - V_d )
avec D=5cm : V = 125.(3+2√3) - pi/6.(125-123³/125²) = env. 808,0127 cm³

Volume de vide : 808 cm³ (si tout va bien)

Posté par bzh (invité)

petit challenge très intéressant mais je ne suis pas sûr pour autant d'avoir la bonne réponse.
néanmoins je propose comme solution un volume de  : v = 783 cm3.
j'ai commencé par calculer l'apothème de l'hexagone a = 6.83 cm puis un des cotés c = 7.88.
le volume de l'hexagone me donne  v' = 807.99cm3
à bientôt

Posté par cath-68 (invité)

Soit :
d ø intérieur d'une sphère
D ø extérieur d'une sphère
f épaisseur d'une feuille
Vp Volumme du parallélépipède
Vs Volume total d'une spère
Vsi Volume intérieur d'une sphère
Vv Volume total de vide

D=5=d+2f
d=123f

d'où, 123f+2f=5
f=0.04 cm
d=4.92 cm

Vp=15*15*5=1125 cm3
Vs=2.5xy3*4/3= 65.45 cm3
Vsi=2.46xy3*4/3=62.36 cm3

Vv=Vp-7(Vs-Vsi)=1125-7(65.45-62.36)=1103.36

Volume des vides = 1103 cm3

Posté par cath-68 (invité)

Mea culpa, j'ai fait une erreur dans le calcul du volume du parallélépipède
Vp=15*12.5=937.5 cm3 et nom 1103!

d'où Vv=937.5-7(65.45-62.36)=915.86 cm3

Volume des vides = 916 cm3

Posté par levrainico (invité)

j'éspère ne pas avoir fait d'erreur de calcul...  sinon, tant pis
je trouve:
796 cm3

Posté par Spaceman20 (invité)

23cm^3

Posté par Razibuszouzou (invité)

Comme on recherche le volume de "vide" compris dans le parallélipipède, il faut calculer le volume intérieur du parallépipède et en déduire le volume des occupé par l'enveloppe des sphères.

Calculons d'abord les mesures d'une sphère. Soient D sont diamètre extérieur, d sont diamètre intérieur et e son épaisseur.
L'énoncé nous dit d'une part que
D = d + 2 e = 5 cm
d'autre part que 123 e = d.
En combinant ces 2 équations, nous obtenons  e = 0,04 cm et d = 4,92 cm

Le volume de l'enveloppe de la sphère s'obtient en soustrayant son volume intérieur de son volume extérieur :
4/3 Pi (D/2)³ - 4/3 Pi (d/2)³ = 65,45 - 62,36 = 3,09 cm³


Calculons à présent les dimensions du parallépipède.
La base peut-être considérée comme un rectangle auquel on aurait enlevé 4 coins triangulaires. Sur la figure ci-dessous, L'aire de l'hexagone est égale à 4 fois l'aire du polygone OCEB, c'est à dire 4 fois l'aire du rectangle OCBD diminuée de celle du triangle CED.

Nous savons que OP = D = 5 cm et AP = D/2 = 2,5 cm. Avec Pythagore, nous trouvons OA = 4,330 cm, et donc OB = 4,330 + 2,5 = 6,830 cm

De même OQ = D = 5 cm et QF = D/2 : 2,5 cm. QC = QF/cos 30° = 2,5/0,866 = 2,887 cm. Donc OC = 5 + 2,887 = 7,887 cm.
L'aire du rectangle OCBD est égale à 53,87 cm².

Il nous faut maintenant ôter l'aire du triangle CED, qui est égale au quart de l'aire du rectangle OCBD par construction. L'aire de la base hexagonale est ainsi égale à 3*53,87 = 161,60 cm².
Comme la hauteur du parallépipède est égale à D = 5 cm, on obtient finalement le volume intérieur du parallépipède : 161,60*5 = 808,0 cm³

Pour finir, il faut enlever à ce volume celui de l'enveloppe des 7 sphères, et l'on obtient enfin le volume d'air contenu dans la boîte :
808 - 7*3,09 = 786 cm³

Ouf !

P-S : comme j'ai du mal à attacher mon image (quand j'en pose deux dans la même journée, le site me refuse la seconde), je poste déjà ma solution, je joindrai le dessin dès que possible. Toutes mes excuses, ce sera plus difficile à suivre...

Posté par elda elda

je pense que V= 112

Posté par Razibuszouzou (invité)

Alleluia ! Aujourd'hui ma figure veut bien s'accrocher. La voici donc, ce sera quand même plus facile de suivre mes explications.

Posté par Spaceman20 (invité)

35cm3

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation.

Posté par borneo borneo

Yessss !!! Cette fois, on ne pouvait pas le faire avec excel... Et sur tout le web francophone, je n'ai pas trouvé la formule qui donne le rayon des 7 sphères inscrites dans un hexagone. Bref, j'ai dû construire la figure (le plus dur a été de mettre la main sur un compas ) et calculer moi-même.
Ce genre d'énigme fait bien remonter dans le classement. Merci.