Bonjour à tous,
Vous vous souvenez sans doute de la joute n°26 Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille , quand Jacquouille est allé dérober les secrets de la sorcière Maléfica.
Il a notamment ramené une boîte contenant une drôle de balance avec 8 poids dont la masse est égale à un nombre entier d'unités (de 1 à 8), et un vieux parchemin sur lequel on peut lire :
Pose sur le dextre les poids sans les jeter.
Le tout ainsi constitué
N'en est point la somme vulgaire.
Pour chaque poids posé, s'ajoute le quotient
D'icelui par la moyenne des précédents.
Si, au final, la somme est un nombre entier,
Le contenu du sinistre plateau,
Sera changé en or bel et beau.
Inutile de dire que Jacquouille n'entend rien à ce charabia.
Tout ce qu'il comprend, c'est qu'il faut poser un objet sur le plateau de gauche et qu'il risque de se transformer en or quand on pose successivement tous les poids sur le plateau de droite. Mais dans quel ordre ? Mystère !
En effet, il est impossible de différencier la masse des différents éléments.
En langage mathématique, on notera les poids dans l'ordre où ils sont choisis (l'indice n'indique pas forcément la masse réelle).
Lorsqu'on pose le poids , la balance « enregistre » en réalité le poids
Pour mieux comprendre, prenons un exemple où Jacquouille choisirait par hasard les poids dont les masses sont dans l'ordre de 1 à 8.
Les calculs donneraient les résultats suivants :
Etape 1 :
Etape 2 :
Etape 3 :
Etape 4 :
Etape 5 :
Etape 6 :
Etape 7 :
Etape 8 :
Miracle ! On trouve bien un nombre entier à la fin.
Question : Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat final entier si on place tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance ?
Donnez le résultat exact sous forme d'une fraction irréductible.
Prob = 1 / 4032
10 possibilités sur 40320
12345678
13245678
13572648
13754268
15246378
23564871
32568471
71428653
81637254
81726354
A+
torio
La probabilité cherchée est égale à 1/4032 .
Il y a 10 cas favorables :
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 15
[8, 1, 7, 2, 6, 3, 5, 4] 14
[1, 5, 2, 4, 6, 3, 7, 8] 15
[7, 1, 4, 2, 8, 6, 5, 3] 14
[1, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8] 15
[8, 1, 6, 3, 7, 2, 5, 4] 14
[1, 3, 5, 7, 2, 6, 4, 8] 14
[1, 3, 7, 5, 4, 2, 6, 8] 14
[2, 3, 5, 6, 4, 8, 7, 1] 12
[3, 2, 5, 6, 8, 4, 7, 1] 12
Bonjour,
sauf erreur cela devrait se produire pour les 10 cas suivants:
12345678
13245678
13572648
13754268
21345678
31245678
31572648
31754268
35264871
53264871
soit 10/8! i.e. .
Merci pour la joute.
Salut godefroy,
J'ai un petit soucis dans l'interprétation de ton énoncé "les huit poids ont une masse égale à un nombre entier d'unités (de 1 à 8)",
à savoir : faut-il que les 8 poids soient de masses toutes distinctes ???
Je pense que oui, et dans ce cas je trouve une probabilité de .
Dans le cas où l'on peut avoir des poids de masses égales, je trouve .
Merci.
Bonjour,
Sauf erreur, la probabilité est de : 1/4032.
Explication :
Il existe 8! = 40320 permutations possibles des 8 poids.
Sur ce nombre, seules 10 permutations donnent de l'or.
La probabilité cherchée est donc de 10/40320 = 1/4032.
Pour information, les 10 solutions qui feront la fortune de Jacquouille sont les suivantes :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 2 4 5 6 7 8
1 3 5 7 2 6 4 8
1 3 7 5 4 2 6 8
1 5 2 4 6 3 7 8
2 3 5 6 4 8 7 1
3 2 5 6 8 4 7 1
7 1 4 2 8 6 5 3
8 1 6 3 7 2 5 4
8 1 7 2 6 3 5 4
Merci pour l'énigme .
Bonjour
Je ne sais pas s'il existe un méthode analytique pour résoudre ce problème.
En tout cas, ne l'ayant pas trouvée, j'ai tenté de résoudre la joute par énumération.
Si l'on considère comme équiprobable chacune des permutations possibles des 8 poids, on a donc 8! = 40320 séquences possibles.
Parmi toutes ces séquences, je n'en trouve que 10 qui, selon la règle proposée, finissent par donner un nombre entier.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 2 4 5 6 7 8
1 3 5 7 2 6 4 8
1 3 7 5 4 2 6 8
1 5 2 4 6 3 7 8
2 3 5 6 4 8 7 1
3 2 5 6 8 4 7 1
7 1 4 2 8 6 5 3
8 1 6 3 7 2 5 4
8 1 7 2 6 3 5 4
La probabilité de transformer en or le contenu du sinistre plateau sera dans ce cas de 10 / 40320, soit une fraction irréductible de 1 / 4032.
Merci pour la joute !
Bonjour,
on a deux séries de poids possibles: 1,2,3,4,5,6,7,8 et 1,3,2,4,5,6,7,8
comme le nombre de permutations des poids est de 8! soit 40320
la probabilité d'obtenir un résultat final entier si on place tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance vaut 2/40320 soit
1/20160
A bientôt
Bonjour,
Ce problème qui au début semble fastidieux est
finalement trouvable en partant de la dernière
pesée.
Seuls 2 cas sont valables:12345678 et 13245678
soit 2/8! = 1/20160
Bonjour Godefroy,
J'admets d'abord que "placer tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance" revient à l'équiprobabilité de chaque permutation des huit nombres 1 à 8.
Ensuite, il y a peut-être une solution plus élégante que la programmation ... mais je ne l'ai pas trouvée ; je propose, pour répondre à ta question :
Les sept permutations gagnantes sont :
{12345678} , comme tu nous l'a obligeamment montré
{13245678}
{13572648}
{13754268}
{23564871}
{81637254}
{81726354}
Bonjour Godefroy.
La probabilité est 1/4480 soit neuf solutions sur les 40320 ordres possibles.
Solutions et sommes :
12345678 : 15
13425678 : 15
14526378 : 15
15627384 : 16
21345678 : 14
26134578 : 15 (seule solution avec des sommes intermédiaires non entières)
31425678 : 13
41526378 : 12
51627384 : 12
Trouvé avec un programme en Visual Basic assez simple.
Je propose la probabilité suivante :
1/5760
----
Voici l'algorithme utilisé :
import math
poids = []
def misc(poids, lst=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], level=1):
if level > 8:
poids.append(lst[:])
return
for i in range(8):
if lst[i] > 0:
continue
lst[i] = float(level)
misc(poids, lst, level + 1)
lst[i] = 0
misc(poids)
win = 0
for lst in poids:
m = lst[0]
total = m
for i in range(1, 8):
m += i*lst[i]/total
total += lst[i]
if m == math.floor(m):
win += 1
print lst, m
print win , "/", len(poids)
Bonjour,
Je trouve deux solutions pour l'agencement des poids :
1 2 3 4 5 6 7 8 et 1 3 2 4 5 6 7 8
Il y a 8! façons différentes de placer les poids. La probabilité d'avoir un résultat entier est donc
p = 2 / 8! = 1 / (3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8)
Mauvais lecture de l'énoncé
Les deux seules pesées qui donnent à chaque stade un nombre entier sont 12345678 et 13245678
Les autre donnant des décimales à répétition ont été écartées par certains participants qui ont considéré que les calculs intermédiaires auraient été fastidieux (surtout au moyen âge ).
Alors là... je m'inquiétais ! mais me voici rassuré, cela ne vient pas de moi !
à la vue des 10 cas favorables, je me suis replongé dans mon programme VB qui testait toutes les permutations possibles... et qui ne m'en trouvait que 8.
je l'ai donc forcé à analyser un cas qu'il avait laissé passer et je me suis aperçu que mon programme est tout à fait correct... mais que le calculateur est tellement médiocre qu'il engendre une erreur à la 15ième décimale sur les calculs qui fait qu'il m'a loupé 2 valeurs entières (qui pour lui ne l'étaient pas !)
moralité : Il faut toujours se méfier des machines !
Amicalement à vous tous
MM
Oui dans un cas comme celui-ci ça doit être un réflexe systématique de tester non pas directement l'égalité, mais plutot la valeur absolue de l'écart, comparée à un seuil epsilon très faible.
Quelques langages ont une notion un peu "étendue" du test d'égalité, à plus ou moins une valeur seuil qui est paramétrable. Mais si ce n'est pas le cas du langage utilisé, il faut le gérer soi même...
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