**Annulateur de A (E*)**

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Annulateur de A (E*)

Posté le 21-01-12 à 12:46

Posté par Astriel

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire pour Lundi ...
Seulement, je sèche COMPLETEMENT !

Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main ?

Merci à tous !

** image supprimée **
_{* Océane > Astriel si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *}

re : Annulateur de A (E*)

Posté le 21-01-12 à 17:30

Posté par raymond

Bonjour

1°)

{O_E}°

(O_E) = 0

Tout élément de E* possède cette propriété donc, {O_E}° = E*

2°)

E°

(x) = 0

Seule la forme nulle répond à cette propriété. Donc, E° = {O_E*}

3°) Reprend la définition d'un sev.

re : Annulateur de A (E*)

Posté le 21-01-12 à 22:53

Posté par DHilbert

1. L'on a :

$\{0_E\}^{0}=\{\phi\in E^*\vert\,\forall\,u\in\{0_E\},\,\phi(u)=0\}=\{\phi\in E^*\vert\,\phi(0_E)=0\}=E^*$

Désignons par $0_{E^*}$ la forme nulle. L'on a donc :

$E^{0}=\{\phi\in E^*\vert\,\forall\,u\in E,\,\phi(u)=0\}=\{0_{E^*}\}$

2. Montrons par exemple que $A_2^0 \subset A_1^0$ . Soit alors $\phi$ dans $A_2^0$ . Il est alors clair que, pour tout $u$ dans $A_2$ , l'on a $\phi(u)=0$ , identité également vérifiée pour tout $u$ dans $A_1$ , vu que $A_1 \subset A_2$ . Autement dit, $\phi$ est bien dans $A_1^0$ . D'où le résultat attendu. Le reste est immédiat.

3. Pour tous $\alpha$ , $\beta$ dans $A^0$ , $a$ et $b$ dans $\K$ , l'on a, pour tout $u$ dans $A$ , $(a \,\alpha+b \,\beta)(u)=a\,\alpha(u)+b\,\beta(u)=0$ . Autrement dit, l'on a $a \,\alpha+b \,\beta$ dans $A^0$ .

D'autre part, vu que $A \subset \mathrm{Vect}(A)$ , alors, d'après le point 2, l'on a $\big(\mathrm{Vect}(A)\big)^0 \subset A^0$ . Montrons (sic) l'autre inclusion. Soit $\phi$ dans $A^0$ . Par définition, tout élément $u$ de $\mathrm{Vect}(A)$ est combinaison linéaire d'éléments de $A$ , si bien que l'on a clairement $\phi(u)=0$ . Autrement dit, $\phi$ est bien dans $(\mathrm{Vect}(A)\big)^0$ ; d'où $A^0 \subset \big(\mathrm{Vect}(A)\big)^0$ .

4. Je vais me coucher !!!!

A +

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