Exercice sur les fonctions

Posté par Leadu13 Leadu13

J'ai un exercice à faire plutôt complexe sur les fonctions je ne comprends rien du tout a part on va dire la 1ere ligne.

Soit f la fonction définie sur par f(x)=2x²-x-11/8
On pose =(1+23)/4 et =(1-23)/4

1/ a.Montrer que f(x)=2(x-1/4)²-3/2
   b.En utilisant la question précédente montrer que f(x)=2(x-)(x-)
   c.En déduire que et sont les antécédents de 0 par la fonction f.

2/ a.Calculer f(1/4)
   b.Comparer f(x)et f(1/4)
   c.Interpréter ce résultat en termes d'extremums pour la fonction f.

3/ Démontrer que tout a et pour tout b alors f(a)-f(b)=(a-b)(2a+2b-1)

4/Etudier,soigneusement,le sens de variation de f.
a.sur l'intervalle [1/4;+[  considérer 1/4a < b
b.sur l'intervalle ]-;1/4]  considérer a < b 1/4

Au point ou j'en suis jsuis prenante de tout et Merci d'avance.

Posté par Priam Priam

1/ Il s'agit de mettre le trinôme donné sous la forme canonique. N'as-tu pas appris à le faire ?

Posté par Leadu13 Leadu13

Non je n'ai pas appris pour tout vous dire je ne sais meme pas ce qu'est la forme canonique

Posté par Priam Priam

La forme canonique permet de factoriser aisément un trinôme du second degré  ax² + bx + c .
Pour le mettre sous cette forme, on commence par mettre  a  en facteur, soit  a(x² + b/a x + c/a) , et on considère le trinôme entre parenthèses.
Puis on utilise un binôme dont le carré, développé, a ses deux premiers termes identiques à ceux du trinôme.
Ce binôme est  x + b/2a , car (x + b/2a)² = x² + b/a x + (b/2a)².
On a donc  x² + b/a x =  (x + b/2a)² - (b/2a)².
Il suffit alors de remplacer, dans le trinôme entre parenthèses, les deux premiers termes de celui-ci par cette dernière expression pour obtenir la forme canonique.
Essaie de faire cela sur le trinôme de l'énoncé.

Posté par Leadu13 Leadu13

Si je suis ce que vous m'avez dit cela fait:
2(x²-1/2x-11/16)
x+1/4, car (x+1/4)²=x²+1/2x+(1/4)²
on a donc x²+1/2x=(x+1/4)²-(1/4)²

Mais je ne vois pas à quelle question je réponds car pour la question 1a il faut trouver 2(x-1/4)²-3/2

Posté par Priam Priam

Les deux premiers termes étant  x² - 1/2 x , le binôme n'est pas x + 1/4.

Posté par Leadu13 Leadu13

Je n'ai pas tout a fait compris le fonctionnement de la forme canonique .

Posté par Priam Priam

Ce que tu as fait est bien, mais il fallait prendre  x - 1/4  et non  x + 1/4 .

Posté par Leadu13 Leadu13

Si je suis ce que vous m'avez dit on a:
2(x^2 -1\2x-11/16)
X-1/4 car (x-1/4)^2 =x^2-1/2x+(1/4)^2
On a donc x^2-1/2x=(x-1/4)^2-(1/4)^2

Posté par Priam Priam

Oui. Remplace maintenant cette expression de x² - 1/2 x dans la 1ère ligne.

Posté par Leadu13 Leadu13

Donc cela fait:
2[(x-1/4)^2-(1/4)^2-11/16]
2[(x-1/4)^2-1/8-11/16]
2[(x-1/4)^2-13/16]

Posté par Leadu13 Leadu13

J'ai fait une erreur de calcul a la 2eme ligne je m'en suis rendu compte après ce n'est pas 1/8 mais 1/16

Posté par Priam Priam

Oui, et tu trouves bien ainsi la formule à démontrer.

Posté par Leadu13 Leadu13

Merci beaucoup et tu ne serais pas la methode pour faire le 1b et 1c

Posté par Priam Priam

1b Comme je te l'ai dit, la forme canonique d'un trinôme du second est facile à factoriser.
Alors, fais-le (pense aux identités remarquables).

Posté par Leadu13 Leadu13

Merci je vais essayer et je te dirais si j'y arrive. Merci pour ton aide

Posté par Leadu13 Leadu13

Mais une forme canonique est sous la forme ax^2+bx+c et l'expression que nous avons trouver a la question précédente n'est pas sous cette forme.

Posté par Priam Priam

Tu as écrit la forme canonique du trinôme à 20h58 (à une correction près).
C'est elle que tu peux maintenant factoriser.

Posté par Leadu13 Leadu13

C'est 2[(x-1/4)^2-(1/4)^2-11/16] ?

Posté par Priam Priam

Oui. Combine d'abord les deux termes constants qui suivent le carré.

Posté par Leadu13 Leadu13

Cela fait:
2[(x-1/4)^2-(1/4)^2-11/16]
2[(x-1/4-1/4)(x-1/4+1/4)-11/16]
2[(x-2/4)x-11/16]
2[x^2-2/4 x-11/16]
Mais a partir de cette etape je bloque je ne sais plus quoi faire.

Posté par Leadu13 Leadu13

Mais peut-on partir de 2[(x-1/4)^2-3/4]
2[(x-1/4)^2-(3/2)^2]
2[(x-1/4-3/2)(x-1/4+3/2)]
2[(x-(1-23)/4)(x-(1+23)/4)]

Posté par Leadu13 Leadu13

Et pour la question 1c j'ai fait le produit nul et je trouve bien que les antécédents de f sont alpha et beta.

Posté par Leadu13 Leadu13

Pour la question 1a on trouve -3/2 mais je ne comprends pas comment l'interprétez en termes d'extremums

Posté par Priam Priam

Au vu de l'expression de la première ligne de 10h16, peux-tu dire pour quelle valeur de  x  cette expression passe par son minimum ?

Posté par Leadu13 Leadu13

Ah d'accord donc le minimum de la fonction est -1.5 atteint pour x=0.25 mais pour la question 3 il faut que j'utilise la fonction de départ ou non ?

Posté par Priam Priam

Oui, la première forme de f(x) dans l'énoncé me paraît commode.

Posté par Leadu13 Leadu13

F(a)-f(b)=2a^2-a-11/8-(2b^2-b-11/8)
         =2a^2-a-2b^2+b
Mais après cette etape je ne sais que faire .

Posté par Priam Priam

Cherche le facteur commun dans cette dernière expression.

Posté par Leadu13 Leadu13

Si on prend 2 pour facteur commun cela fait :
2(a^2-b^2)-a+b
C'est cela qu'il faut faire ?

Posté par Priam Priam

Oui, mais ce n'est pas tout.  a² - b² = . . . .

Posté par Leadu13 Leadu13

Donc c'est égal à 2(a+b)(a-b)-a+b

Posté par Priam Priam

Alors, tu le tiens maintenant, ce facteur commun ! Quel est-il ?

Posté par Leadu13 Leadu13

Ah Oui merci cela fait avec le facteur commun (a+b) : (a+b)(2a-2b-1)

Posté par Priam Priam

C'est presque ça . . . .

Posté par Leadu13 Leadu13

Mais je ne comprend pas pourquoi c'est (a+b)(2a+2b-1) et non ce que j'ai écrit au dessus

Posté par Priam Priam

Le facteur commun n'est pas  a + b .

Posté par Leadu13 Leadu13

Oui le facteur est a-b mais pourquoi ??

Posté par Priam Priam

Parce que c'est lui que tu peux mettre en facteur. Essaie.

Posté par Leadu13 Leadu13

2(a^2-b^2)-(a+b)=2(a+b)(a-b)-a-b=(a-b)(2a+2b-1)
Est ce cela ?

Posté par Priam Priam

Pourquoi mets-tu  -(a + b) ? Regarde à 18h00.

Posté par Leadu13 Leadu13

2(a^2-b^2)-a+b=2(a+b)(a-b)-a+b=(a-b)(2a+2b-1)

Posté par Priam Priam

Voilà. C'est bien l'égalité qu'il fallait démontrer.

Posté par Leadu13 Leadu13

TPour la question 4 comment peut on dèterminer le sens de variation de f sur les intervalles donnés avec si peu d'élément dans l'énoncé

Posté par Priam Priam

Tu peux le faire en étudiant le signe de  f(a) - f(b) dans les deux intervalles indiqués.
Comme, par hypothèse,  on a  a < b , le premier facteur (a - b) est toujours négatif. Examine donc le signe du second.

Posté par Leadu13 Leadu13

D'accord je crois que j'ai compris le principe je vais essayer de le faire.

Posté par Leadu13 Leadu13

Excusez moi mais est ce que pour la question 1c un produit nul suffit:(x-)(x-)=0
Donc x= et x=
Et alpha et beta sont les antecedents de 0 par la fonction f.

Posté par Priam Priam

Oui. Plus précisément,  x = ou x = .

Posté par Leadu13 Leadu13

La question 4a ne me pose aucun soucis mais la question 4b je n'arrive vraiment pas a poursuivre un raisonnement logique je ne trouve pas le resultat attendu

Posté par Priam Priam

Qu'as-tu fait pour cette question ?