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Fuite mort née

   
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re : Fuite mort née#msg3998433 Posté le 28-01-12 à 10:43
Posté par Profilferenc ferenc

ligne 3-5: tu supposes que f,g sont continue uniforme, ce qui n'est pas nécessairement le cas !!
L'gne 6-7: d'où: 2|x-x_0|<...\Rightarrow ah bon ?? c'est un peux tordu !!

Pour le: poser \eta=\max\{\eta_f,\eta_g\} non, c'est plutôt \eta=\min\{\eta_f,\eta_g\}

En règle générale, il serait plus adéquat de prendre un seul et même \epsilon tu ne crois pas ?

Aller, je me lance aussi (essaye de bien comprendre le cheminement de la démonstration)
___________________________________________________
Soit \epsilon>0 et soit x_0\in I (qui est fixé lui aussi !!)

\bulletPuisque f continue sur I, f est continue en x_0. Ainsi, \exists\eta_1>0:\forall x\in I,|x-x_0|<\eta_1\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\\frac{epsilon}{2}

\bullet De même, g est continue en x_0 donc \exists\eta_2>0,\eta_2<\eta_1:\forall x\in I,|x-x_0|<\eta_2\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}

\bullet Ainsi, si |x-x_0|<\eta_2, on a que:
|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|=|f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)|\leq |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon, d'où le résultat...
_________________________________________________________

Voici quelques commentaire qui vont t'aider à la compréhension de la démo

2) Pourquoi utiliser \frac{\epsilon}{2} ? Tout simplement, \forall\epsilon>0,\exists\delta>0... alors, en particulier, si tu prends un \epsilon>0 quelconque, puisque \frac{\epsilon}{2}>0 et bien il existera aussi un \eta>0 tel que |x-x_0|<\eta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}

2) Pourquoi je dis que \exists\eta_2<\eta_1. Si il existe un \eta_3>\eta_1 tel que |x-x_0|<\eta_3\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2} alors, nécessairement, \exists\eta_2<\eta_1 tel que |x-x_0|<\eta_2\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}, puisque en fait, si pour tout les |x-x_0|<\eta_2\Rightarrow |x-x_0|<\eta_3 et surtout, majorer |x-x_0| par \eta_2 permet également de dire que si |x-x_0|<\eta_2 alors |x-x_0|<\eta_1 et donc |f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2} également.

3) Tu voulais utiliser \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\} tu peux également, et du coup tu n'as plus besoin de la condition \eta_2<\eta_1, et tu auras également que si |x-x_0|<\eta alors |f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2} et |g(x)-g(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}

-----------------
Si t'as des questions, n'hésites pas !! surtout essaye de bien comprendre cette démo, et je t'en donnerais un autre dans le même genre (en un peu plus dur !!)
re : Fuite mort née#msg3998435 Posté le 28-01-12 à 10:45
Posté par Profilferenc ferenc

petite erreur, dans la première ligne de ma démonstration c'est |f(x)-f(x_0)|<\frac{\epsilon}{2}
re : Fuite mort née#msg4000144 Posté le 29-01-12 à 01:09
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Pourquoi dis-tu que j'ai jamais supposé f et g continûment uniformes ?
re : Fuite mort née#msg4000235 Posté le 29-01-12 à 10:29
Posté par Profilferenc ferenc

ta question n'est pas très clair...
mais au post de 10:16 tu dis que Soit \epsilon>0 ainsi, \exists\eta>0:\forall x,x_0\in I,|x-x_0|<\eta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon et ça c'est ce qui définie la continuité uniforme !!!
re : Fuite mort née#msg4000291 Posté le 29-01-12 à 10:57
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Effectivement, elle n'était pas très claire ...

Je voulais dire :

"Pourquoi dis-tu que j'ai supposé f et g continûment uniformes ?"

Mais manifestement tu y as répondue.
re : Fuite mort née#msg4000312 Posté le 29-01-12 à 11:08
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

C'est l'ordre des quantificateurs qui me "met dedans" très souvent ...
re : Fuite mort née#msg4000316 Posté le 29-01-12 à 11:10
Posté par Profilferenc ferenc

mais tu comprend pourquoi ??

Dans la continuité, tu as que:
\forall x_0\in I,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0:\forall x\in I,|x-x_0|<\eta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)<\epsilon|

Dans la continuité uniforme:
\forall\epsilon>0,\exists\eta>0:\forall x,x_0\in I,|x-x_0|<\eta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)<\epsilon|

Donc dans la continuité, \eta dépend de \epsilon et x_0 alors que dans la continuité uniforme, \eta ne dépend que de \epsilon !

En gros, dans la continuité uniforme tu as le même \eta pour tout les x\in I et x_0\in I alors que dans la continuité (simple) pour chaque x_0 ton \eta est à priori différent...

Sinon, tu veux que je te pose un problème dans le même genre ? (si tu as le temps bien sûr )
re : Fuite mort née#msg4000376 Posté le 29-01-12 à 11:41
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

J'aimerais surtout comprendre une fois pour toute.
re : Fuite mort née#msg4000384 Posté le 29-01-12 à 11:45
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'ordre des quantificateurs change à ce point le sens de ce que l'on écrit.

Dans les 2 définitions ci-dessus, on retrouve pourtant les mêmes expressions : Pour tout x0, quelque soit epsilon, il existe eta etc. etc. etc.

et le sens n'est pas le même.

Tant que je n'arriverais pas à comprendre pourquoi, je bloquerai ...
re : Fuite mort née#msg4000419 Posté le 29-01-12 à 11:55
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Est-ce comme cela que je dois le lire (le comprendre )  ?

Continuité :

Soit x0 I
Soit >0
Alors il existe >0, tel que :
Quelque soit xI,
\mid x-x_0\mid<\eta \Rightarrow\mid f(x)-f(x_0)\mid<\epsilon


Uniforme continuité :

Soit >0
Alors il existe >0, tel que :
Quelque soit xI,
Quelque soit x0I
\mid x-x_0\mid<\eta \Rightarrow\mid f(x)-f(x_0)\mid<\epsilon
re : Fuite mort née#msg4000439 Posté le 29-01-12 à 12:02
Posté par Profilferenc ferenc

si tu veux lorsque tu dis par exemple \forall x, tu as que x est un variable indépendante. Donc x ne dépend de rien...

Si tu dis \exists x, tu as toujours que l'existence est définie par rapport à quelque chose (c'est à dire que x dépend de quelque chose). En gros, si tu as que:
\forall n\in\N,\exists m\in\N: m>n

Donc tu vois dans ce cas que n est indépendante alors que m dépend de n.

Regarde plutôt, si tu prend n=2, et bien est forcément m\geq 3
Si tu prends n=250 et bien m\geq 251 donc tu vois que m dépend bien de n.

Tu sais, si tu as du mal avec les notation mathématique, repasse par la définition en français:
Pour la continuité:
Pour tout x_0 et pour tout \epsilon, il existe \eta>0 tel que pour tout x, si |x-x_0|<\eta alors |f(x)-f(x_0)|<\epsilon

Pour la continuité uniforme:
Pour tout \epsilon, il existe \eta tel que pour tout x et x_0,  si |x-x_0|<\eta alors |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.  
re : Fuite mort née#msg4000444 Posté le 29-01-12 à 12:02
Posté par Profilferenc ferenc

oui pour le post de 11:55
re : Fuite mort née#msg4000480 Posté le 29-01-12 à 12:13
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Je commence à comprendre ...
Merci beaucoup.

Afin de bien éclairer ma démarche :

Plusieurs points :

- pourquoi "mon"  \mid x-x_0\mid<\eta_f+\eta_g  semble si tordu que ça ? Cela ne me semble pas si incongru que cela dans ma démarche.

- pourquoi prendre \eta =min{\eta_f,\eta_g} ?  Plus je réfléchis, et plus je me dis que c'est le max qu'on devrait prendre, car le max des 2 convient pour f et g, et pas le min. (du moins me semble t-il ...)

- affreux doute : a t-on bien :  f(x)+g(x)=(f+g)(x)   ?

- doit-on dans la démarche ci-dessus, passer par le fait que  \mid a+b\mid \le \mid a\mid + \mid b\mid  ?

- oui je veux bien que tu me donnes un autre problème, dans la mesure où j'aurais bien compris celui-là déjà.

- serait-il possible de te solliciter hors forum (rarement) en te laissant mon mail par rapport à quelques questions que je rencontre ?

Te remerciant.
re : Fuite mort née#msg4000483 Posté le 29-01-12 à 12:14
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Erratum :

- pourquoi "mon"  2\mid x-x_0\mid<\eta_f+\eta_g  semble si tordu que ça ? Cela ne me semble pas si incongru que cela dans ma démarche.
re : Fuite mort née#msg4000651 Posté le 29-01-12 à 13:04
Posté par Profilferenc ferenc

1) Le problème numéro 1 est que en utilisant ton \epsilon_f et \epsilon_g tu n'obtient aucune relation entre f et g !! Tu l'as bien compris ça ?? Donc, à supposer que tu prennes le même \epsilon, si tu prend 2|x-x_0|<\eta_f+\eta_g c'est à dire que |x-x_0|<\frac{\eta_f+\eta_g}{2}, et donc que tu poses \eta=\frac{\eta_f+\eta_g}{2}, tu as que \min\{\eta_f,\eta_g\}<\eta <\max\{\eta_f,\eta_g\}, donc si par exemple \min\{\eta_f,\eta_g\}=\eta_g et \max\{\eta_f,\eta_g\}=\eta_f, tu auras que si |x-x_0|<\eta, on aura bien |f(x)-f(0)|<\epsilon mais pas |g(x)-g(0)|<\epsilon (j'ai détaillé tout ça dans la partie 2)

2) Tu as que |x-x_0|<\eta_1\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon ensuite tu as que |x-x_0|<\eta_2\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\epsilon !! Supposons maintenant que tu prends \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\} et on va dire (sans perte de généralité) que celui ci vaut \eta_2 Ainsi, si tu prend |x-x_0|<\eta=\eta_2 tu auras que |x-x_0|<\eta_2<\eta_1 et donc que |g(x)-g(x_0)|<\epsilon mais aussi que |f(x)-f(x_0)|<\epsilon (car nécessairement |x-x_0|<\eta_1), mais si tu te contente de prendre la \max\{\eta_1,\eta_2\}=\eta_1, tu auras certes que |f(x)-f(x_0)|<\epsilon mais pas |g(x)-g(x_0)|.

Grossièrement... si tu prend ton \epsilon=1, que tu considères les fonctions f(x)=x^2 et g(x)=2x^2, et que tu prends x_0=0.
Tu as que |f(x)-f(0)|<1 si x\in ]0-1,0+1[ mais que pour que |g(x)-g(0)|<1 il te faut que x\in ]0-\frac{1}{\sqrt 2},0+\frac{1}{\sqrt 2}[. Donc si |x|>\frac{1}{\sqrt 2} tu auras que |g(x)-g(0)|>1, alors que si |x|<\frac{1}{\sqrt 2} tu as non seulement que |g(x)-g(0)|<1 mais en plus que |f(x)-f(0)|<1 car si |x|<\frac{1}{\sqrt 2} tu auras que |f(x)-f(0)|<\frac{1}{2} qui est bien inférieur à 1.

Donc ton \eta sera bien le \min\{1,\frac{1}{\sqrt 2}\}


3) Oui c'est la définition de l'addition de deux fonction

4) Je l'ai utiliser pour montrer que la somme de deux fonctions continue était continue

5) Pour la sollicitation hors forum, c'est avec joie ^^, mais je doute être à la hauteur de répondre  à toutes tes questions mais sinon, avec PLAISIR !!!
re : Fuite mort née#msg4002980 Posté le 29-01-12 à 20:23
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonsoir,

1) Le problème numéro 1 est que en utilisant ton  et  tu n'obtient aucune relation entre  et  !! Tu l'as bien compris ça ??

Et bien non, je ne l'avais pas compris.
Maintenant que tu le dis ...

Pour le reste de ta remarque, mon idée n'était pas d'encadrer comme tu l'as indiqué ci-dessus le tel que min(f,g)<<max(f,g), mais de poser :

\eta =max(\eta_f,\eta_g)

D'où le fait que : \mid x-x_0\mid <\frac{\eta_f+\eta_g}{2}<\frac{2max(\eta_f,\eta_g)}{2}<\eta

A partir du moment où ce que je viens d'écrire ci-dessus se tient, et compte tenu des précisions que tu m'as apportées aux 3 et 4, je ne vois plus vraiment ce qui bloquerait.

Es-tu d'accord ?

Pour ce qui est du 5, c'est très sympa de ta part. Je remets mon adresse mail apparente dans mon profil, si tu as la gentillesse de m'envoyer un mail, ainsi je te répondrais.

Te remerciant.
re : Fuite mort née#msg4003071 Posté le 29-01-12 à 21:11
Posté par Profilferenc ferenc

j'ai pas bien compris... tu as compris pourquoi on prend \eta=\min\{\eta_f,\eta_g\ ou pas encore ??
re : Fuite mort née#msg4003072 Posté le 29-01-12 à 21:11
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah oui ....

a la lumière de ton exemple avec x2 et 2x2, c'est bien le max qu'il faut prendre.

Donc ça ne marche pas ce que j'ai fais, j'en ai bien l'impression.
re : Fuite mort née#msg4003085 Posté le 29-01-12 à 21:14
Posté par Profilferenc ferenc

si oui, je t'ai promis un pb dans le même genre...
Supposons (u_n)_{n=0}^\infty et (v_n)_{n=0}^\infty deux suites convergentes telles que \lim_{n\to\infty}u_n=\ell et \lim_{n\to\infty}v_n=\ell'. Montre (si tu as le temps bien sûr ^^) que \lim_{n\to\infty}u_nv_n=\ell\ell'
re : Fuite mort née#msg4003092 Posté le 29-01-12 à 21:15
Posté par Profilferenc ferenc

juste pour en revenir à mon exemple...
si |x>|\frac{1}{\sqrt 2}| as-tu vraiment |2x^2|<1 ??
re : Fuite mort née#msg4003094 Posté le 29-01-12 à 21:16
Posté par Profilferenc ferenc

pour faire simple...
si x>\frac{1}{\sqrt 2} as tu bien 2x^2<1 ?
re : Fuite mort née#msg4003371 Posté le 30-01-12 à 05:51
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

YES YES YES !!!!!!!  

ça y est, j'ai compris cette histoire de min et non pas de max.

Oh là là , c'est tout simple en plus !!!

Mille merci.
re : Fuite mort née#msg4034901 Posté le 19-02-12 à 09:53
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Oufffffff .....
ça y est, j'ai enfin compris l'ensemble des posts de Camelia et celui de Ferenc Posté le 26-01-12 à 16:46.



3 semaines pour comprendre quand même ...

Un très grand merci à Ferenc et Camelia.

re : Fuite mort née#msg4037555 Posté le 20-02-12 à 14:16
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

re : Fuite mort née#msg4046221 Posté le 24-02-12 à 18:31
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Merci pour las Clap clap

Ce n'est pas encore acquis ....

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