logo

Fuite mort née

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » licence » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques

« Précédent 1 2 Suivant » +

licenceFuite mort née

#msg3996474 Posté le 26-01-12 à 16:08
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonjour,

Je cherche à montrer que dans , toute suite convergente est bornée.

Soit (Un) n convergente vers l, alors >0, N,n

nN\mid U_n-l\mid\le \epsilon

D'où -\epsilon \le U_n-l \le \epsilon

et  l-\epsilon \le U_n \le l+\epsilon  ce qui prouve si je ne m'abuse que la suite est bornée.

Mais j'aimerais arriver à quelque chose de plus "élégant" du style  \mid U_n\mid\le \mid M\mid

Quelqu'un aurait-il l'astuce ?

Merci
re : Fuite mort née#msg3996478 Posté le 26-01-12 à 16:21
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour Leo

Quel curieux titre!

C'est vraiment l'argument à utiliser! mais si tu y tiens, tu peux commencer par \varepsilon=1

et prendre M=\sup(|U_0|,...,|U_N|,|\ell|+1)
re : Fuite mort née#msg3996479 Posté le 26-01-12 à 16:23
Posté par ProfilDHilbert DHilbert

Très rapidement, en prenant M=\max \{\vert l-\epsilon\vert,\,\vert l+\epsilon\vert\}, n'a-t-on pas \vert U_n\vert \leq M ?

A +
re : Fuite mort née#msg3996481 Posté le 26-01-12 à 16:26
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonjour Camelia,

Oui curieux titre  (suite bornée-fuite mort née ...).
Comme je donne le biberon en même temps que je travaille, je m'amuse à toutes sortes de vocalises ...

Quand tu parles d'argument, veux-tu dire par là que ce que j'ai utilisé est correct ?

Pourquoi prendre =1  ?  (du moins pourquoi le prendre spécifiquement ainsi ?)
re : Fuite mort née#msg3996483 Posté le 26-01-12 à 16:28
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonjour DHilbert,

Mais oui, mais c'est bien sûr !!!

Effectivement.

Merci
re : Fuite mort née#msg3996490 Posté le 26-01-12 à 16:35
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Mais, non, l
re : Fuite mort née#msg3996492 Posté le 26-01-12 à 16:36
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah ....  

Peux-tu m'expliquer si tu veux bien ?
re : Fuite mort née#msg3996495 Posté le 26-01-12 à 16:40
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Désolée, départ intempestif!

La formule de DHilbert n'est pas correcte, U_1 pourrait être beaucoup plus grand que l+\varepsilon

Ensuite, c'est des manies de matheuse. Tu as commencé par \forall \varepsilon, (donc lettre muette) puis tu as donné une majoration qui contient \varepsilon qui n'est certainement pas vraie pour TOUT \varepsilon. Alors, ou tu écris en toute lettres "soit \varepsilon", ou, comme tu demandais vraiment un M tu en fixes un une fois pour toutes. Tu peux prendre 1, 1000, ou 1/4, peu importe!

Areuh!
re : Fuite mort née#msg3996496 Posté le 26-01-12 à 16:40
Posté par ProfilDHilbert DHilbert

Je n'ai considéré que les termes de ta suite pour lesquels n\geq N. Il faut aussi considérer les autres. Donc, même sans avoir la réponse de Camélia, je sais qu'elle a raison !

A +
re : Fuite mort née#msg3996501 Posté le 26-01-12 à 16:44
Posté par ProfilDHilbert DHilbert

@Leonegres : Je me suis aperçu de mon erreur trop tard. Cependant, ayant posté mon message presque en même temps que Camélia, tu constates que je sais rédiger ma propre autocritique. C'est essentiel en Maths pour bien avancer ! Pourtant, ta question est un classique en Analyse.

Je suis désolé.

A +
re : Fuite mort née#msg3996503 Posté le 26-01-12 à 16:46
Posté par Profilferenc ferenc

car (u_n) converge vers \ell...
Mais puisque elle converge vers \ell, \exists N:|u_n-\ell|<1,\forall n\geq N. Donc sur [N,\infty[, |u_n|\leq 1+|\ell|.
De même, sur [0,N-1] tu as que |u_n|\leq \max_{0\leq j\leq N-1}|u_j|. Donc si tu poses
M=\max\{1+|\ell|,|u_0|,|u_1|,...,|u_{N-1}| (qui existe), tu as bien que |u_n|\leq M,\forall n\in\N
En fait, peut importante le \epsilon que tu utilises puisque pour tout \epsilon>0 tu as un rang N à partir du quel |u_n-\ell|<\epsilon si n\geq N
re : Fuite mort née#msg3996511 Posté le 26-01-12 à 16:53
Posté par Profilferenc ferenc

juste une toute petite colle que penses tu de la réciproque ?
re : Fuite mort née#msg3996512 Posté le 26-01-12 à 16:54
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ouh là là là là là là ............
Entre les Areuh et les couches, vous ne me laissez rien passer ...

Bon, je vous livre cela en vrac.

Pour ma part, je pensais qu'il était suffisant de raisonner à partir d'un rang N ...

Or, d'après ce que je comprends, il faut aussi considérer les autres ...

Pourtant, en changeant les termes par un nombre fini d'indices (disons ceux avant N), on ne change pas la nature d'une suite.

Néanmoins, les "manies de matheuses", et bien disons que j'aimerais bien aussi les contractées.( Je n'essaye pas d'apprendre les maths pour faire de l'à peu près.)

Donc je cherche à comprendre ce que m'a mis Camélia, car si elle l'a mis, ce n'est pas un hasard ... mais je ne comprends pas.

Je suis pourtant parti de la définition même de la convergence.

Vous serait-il possible de m'éclairer s'il vous plaît ?
re : Fuite mort née#msg3996514 Posté le 26-01-12 à 16:57
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonjour Ferenc pour la réciproque, si tu veux bien je verrai après coup, là je cherche déjà à faire le chemin dans un sens, et avec un petit dans les bras c'est pas du gâteau ...
re : Fuite mort née#msg3996527 Posté le 26-01-12 à 17:13
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bon... Ta démonstration initiale était suffisante, en ajoutant peut-être que les premiers termes étant en nombre fini, ne change pas la "bornitude". Tu demandais un majorant, je t'en ai donné un, et DHilbert aussi. La rédaction de ferenc set correcte.

Ce que j'ai critiqué, c'est ta rédaction. Tu ne peux pas commencer par "pour tout epsilon" et finir par un résultat qui contient epsilon.
re : Fuite mort née#msg3996543 Posté le 26-01-12 à 17:30
Posté par Profilferenc ferenc

ok pour la récipque

En fait, ça n'a aucune importance de quel \epsilon tu prend car par définition de la convergence pour tout les \epsilon>0, il existera un rang N\in\N à partir du quel tout les termes de la suite seront contenue dans l'intervalle ]|\ell|-\epsilon,|\ell|+\epsilon[, donc nécessairement si tu poses M=\sup]|\ell|-\epsilon,|\ell|+\epsilon[=|\ell|+\epsilon, tu auras que ta suite (u_n) sera bornée dans [N,\infty[. Maintenant ce qui est important est de savoir ce qu'il se passe dans l'intervalle [0,N-1]. On est bien d'accord que le nombre de termes de ta suite (u_n) si n\in[0,N-1] est fini !! et l'ensemble S=\{|u_0|,|u_1|,...,|u_{N-1}|\} comportera exactement N éléments. Ainsi, il te suffit de prendre la plus grand élément de S (posons M=\max S), et tu bien que tout les éléments de S seront inférieur à M. C'est à dire que \forall n\in[0,N-1] on a que |u_n|\leq M. On a donc que (u_n) est aussi bornée sur [0,N-1]. On en conclu que (u_n) est bornée pour tout n\in\N.

Maintenant si tu veux expliciter ce maximum, tu poses juste P=\{\max{S,|\ell|+\epsilon\} et tu auras que |u_n|\leq P,\forall n\in\N.


Mais en soit que tu prennes \epsilon_1=1 ou \epsilon_2=7 ou \epsilon_3=4563.43, il existera toujours un rang N(\epsilon) telle que ]|\ell|-\epsilon,|\ell|+\epsilon[ contiendra tout les termes de la suite si n\geq N(\epsilon) et \{|u_0|,|u_1|,...,|u_{N(\epsilon)}|\} sera toujours majoré par \max\{|u_0|,...,|u_{N(\epsilon)}|\}, la seule différence est que on aura pas forcément N(\epsilon_1)=N(\epsilon_2)... mais on s'en fou, puisque ce qu'on cherche c'est juste un rang N à partir du quel ]|\ell|-\epsilon,|\ell|+\epsilon[ contiendra tout les termes de la suite si n\geq N car \{|u_0|,..,|u_r|\} sera toujours borné...

Juste pour que tu n'est aucune ambiguïté, ton \epsilon est fixé, donc |\ell|+\epsilon est fixé, c'est donc un nombre !!! Il ne varie pas !!

Sur ce, je te laisse à tes occupations paternelles... ^^
re : Fuite mort née#msg3997527 Posté le 27-01-12 à 08:58
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bon .....
Je commence à entrevoir la "subtilité" soulevée par Camelia (du moins je pense).
En attendant de tout bien essayer de comprendre (Vite, bébé dort ....) , pourquoi mettez-vous :

]\mid l\mid-\epsilon,\mid l\mid +\epsilon[

et non pas :

]l-\epsilon,l +\epsilon[

encore une question qui va paraître à la noix sûrement ...

Merci

Fuite mort née
re : Fuite mort née#msg3997530 Posté le 27-01-12 à 09:18
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Petit aparté :

Citation :
Ce que j'ai critiqué, c'est ta rédaction. Tu ne peux pas commencer par "pour tout epsilon" et finir par un résultat qui contient epsilon.


C'est justement le fait d'apprendre à tenir compte de ce genre de "petit détail" qui a mon avis fait (ou fera à terme) la différence en terme de rigueur.
re : Fuite mort née#msg3997543 Posté le 27-01-12 à 10:25
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Et bien merci à tous, je pense que je commence à saisir cette fois-ci.

2 choses pour conclure avant de regarder la réciproque :

- il aurait fallu bâtir mon raisonnement ainsi, si je ne m'abuse :

U_n converge vers l,
donc il existe un rang N
à partir duquel, pour tout n\geq N,
on a (et non pas on ait)  \mid U_n-l \mid\le \epsilon
et le epsilon peut-être n'importe quoi, pourvu qu'il soit supérieur strict à 0.

et non pas dire :

U_n converge vers l,
donc pour tout \epsilon, il existe un rang N tel que ....

- la seconde chose :

J'aimerais comprendre le pourquoi concernant ma remarque ci-dessus dans mon post de 08:58

Vous remerciant tous (DHilbert compris).
re : Fuite mort née#msg3997654 Posté le 27-01-12 à 14:07
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Pour 8:58. On voulait un majorant de la valeur absolue, donc il doit au moins être positif, ce qui n'est pas forcément le cas de l+\varepsilon...

Je reviens sur ta rédaction de 10:25... Ce n'est toujours pas vraiment convaincant! On COMMENCE par fixer un epsilon, PUIS on dit il existe N ...
re : Fuite mort née#msg3997658 Posté le 27-01-12 à 14:15
Posté par Profilferenc ferenc

j'ai pas dit pour tout \epsilon, j'ai pris l'exemple avec \epsilon=1.

En effet, puisque ça marche pour tout \epsilon>0, ça marche aussi pour \epsilon=1, et j'ai pris mon N tel que |u_n-\ell|<1, mais je n'ai pas pris N tel que pour tout \epsilon>0,|u_n-\ell|<\epsilon si n\geq N. Car de toute façon un tel N n'existe pas à priori !!
re : Fuite mort née#msg3997665 Posté le 27-01-12 à 14:27
Posté par Profilferenc ferenc

pour 10:25...  dans Et non pas dire..., si si c'est correcte, c'est une condition nécessaire à la convergence de (u_n) vers \ell...

Pour Il aurait fallu batir...
Je ne suis pas d'accord, je t'ai mis dans mon précedent post (14:15) qu'un tel N n'existe pas à priori... Il te faut d'abord prendre un \epsilon>0, et, et la converge de (u_n) vers \ell implique l'existence d'un tel N

Pour 8:58

|u_n-\ell|<\epsilon\Rightarrow \ell-\epsilon<u_n<\ell+\epsilon mais ce que tu veux majorer c'est |u_n| et donc |u_n|<\max{|\ell-\epsilon|,|\ell+\epsilon|}\leq |\epsilon|+|\ell|=\epsilon+|\ell|
re : Fuite mort née#msg3997666 Posté le 27-01-12 à 14:28
Posté par Profilferenc ferenc

* c'est \max\{|\ell-\epsilon|,|\ell +\epsilon|\}
re : Fuite mort née#msg3997667 Posté le 27-01-12 à 14:28
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

J'ai l'impression qu'on tourne en rond.
Tant pis, à mon grand regret, j'abandonne.

Merci à tous néanmoins.
re : Fuite mort née#msg3997669 Posté le 27-01-12 à 14:30
Posté par Profilferenc ferenc

j'ai dis un truc qu'il ne fallait pas ?? Ou bien peut-être n'était-ce pas ta question ??
re : Fuite mort née#msg3997671 Posté le 27-01-12 à 14:36
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Non non Ferenc.  (et je n'avais pas lu tes 2 derniers posts, merci).

Mais là je n'en peux plus.

Je fixe un epsilon, après je crois comprendre qu'il ne fallait pas le fixer, mais ensuite je comprends qu'il fallait le fixer quand même ....

J'essaye de bâtir UN cheminement, qu'il soit faux ou bon, mais qu'il soit surtout le socle des remarques afin que je sache comment avancer.
re : Fuite mort née#msg3997672 Posté le 27-01-12 à 14:44
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Si, si, il faut dire clairement que tu l'as fixé, avant de commencer à raisonner sur N, tout simplement parce que N DEPEND de epsilon.
re : Fuite mort née#msg3997674 Posté le 27-01-12 à 14:52
Posté par Profilferenc ferenc

regarde un truc,
tu veux montrer que \forall x\in\R^+,\sqrt{x^2}=x, comment va tu t'y prendre ??

Tu va dire:
soit x_0>0 (donc ton x_0 est fixé !!). Clairement, \sqrt{x_0^2}=x_0.
Puisque notre x_0>0 est quelconque, on peut généraliser au fait que pour tout x\in\R, on a bien \sqrt{x^2}=x...

Pour tes suites, c'est le même principe, le but est de montrer que (u_n) est bornée. Ainsi, tu prends un \epsilon>0 quelconque (qui est fixé !!)... Tu montre que ça marche avec cet \epsilon, et si c'est le cas, puisque ton \epsilon est quelconque, tu peux généraliser la propriété avec tout les \epsilon...

Par exemple, si tu as le temps, (pour faire un flash-back sur la continuité) démontre moi (avec les \epsilon et \eta) le fait que si f:I\to\R et g:I\to\R sont deux fonctions continues sur I alors la somme f+g est continue sur I...

Je pense que si tu arrives à bien le faire, tu auras déjà fait un GRAND pas
re : Fuite mort née#msg3997675 Posté le 27-01-12 à 14:53
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Dois-je comprendre que
\forall \epsilon
ne veut absolument pas dire qu'on a fixé un   ?
re : Fuite mort née#msg3997676 Posté le 27-01-12 à 14:53
Posté par Profilferenc ferenc

* 5ème ligne, c'est pour tout x\in\R^+
re : Fuite mort née#msg3997679 Posté le 27-01-12 à 14:54
Posté par Profilferenc ferenc

oui pour ton post de 14:53..., cela signifie juste que pour tout les \epsilon>0 ça marche, donc en particulier si a>0 (fixé) ça marchera aussi
re : Fuite mort née#msg3997680 Posté le 27-01-12 à 14:55
Posté par Profilferenc ferenc

pour a
re : Fuite mort née#msg3997683 Posté le 27-01-12 à 14:59
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Citation :
Ainsi, tu prends un >0 quelconque (qui est fixé !!)... Tu montres que ça marche avec cet , et si c'est le cas, puisque ton est quelconque, tu peux généraliser la propriété avec tout les ...



Mais c'est justement ce que je pensais avoir fait ...

Mais j'ai lu plus haut que ça ne marchait pas, vu qu'on pouvait avoir un U_1 beaucoup plus grand que " alt="l+" class="tex" />
re : Fuite mort née#msg3997685 Posté le 27-01-12 à 15:00
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Citation :
Dois-je comprendre que
\forall \varepsilon
ne veut absolument pas dire qu'on a fixé un \varepsilon ?


En effet. Ce n'est vraiment pas pareil dire qu'un truc est vrai pour tout le monde, ou faire une construction à partir de l'un des éléments.
re : Fuite mort née#msg3997687 Posté le 27-01-12 à 15:01
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Donc "Pour tout epsilon", ce n'est pas pareil que "Soit un epsilon"  ?
re : Fuite mort née#msg3997693 Posté le 27-01-12 à 15:08
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Non, ce n'est pas pareil...
re : Fuite mort née#msg3997700 Posté le 27-01-12 à 15:17
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah ......

"Pour tout epsilon" en langage formel, cela donne

Mais "Soit un epsilon", ça s'écrit comment en langage formel ?
re : Fuite mort née#msg3997701 Posté le 27-01-12 à 15:18
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Ca s'écrit pas... Ca se dit! et c'est toujours Soit epsilon tel que...
re : Fuite mort née#msg3997705 Posté le 27-01-12 à 15:21
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

... et donc "Soit tel que >0"

ce n'est donc pas pareil que "Pour tout tel que >0"

Je ne comprends pas la différence au départ d'une démonstration, sincèrement.
re : Fuite mort née#msg3997758 Posté le 27-01-12 à 16:07
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Ca dépend de ce que tu veux faire... et comment tu l'écris... dans ce que tu as écrit au début, on lisait

(\exists N)(n\geq N \Longrightarrow (l-\varepsilon < U_n < l+\varepsilon )

Cette inégalité ne peut pas être vraie pour tout \varepsilon
re : Fuite mort née#msg3997770 Posté le 27-01-12 à 16:23
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ce que je voulais dire, c'était que :

"Comme la suite est convergente vers l, alors quelque soit l'epsilon positif choisi, on avait à partir d'un rang N l'encadrement de
<Un-l<-"

D'après ce que je comprends, cela n'est pas possible.


Or, d'après la définition de la convergence d'une suite, je lis :

"Quelque soit >0 donné, il existe N, tel que nN entraîne \mid U_n-l\mid<\epsilon "

J'aimerais sincèrement comprendre où est mon erreur ?
re : Fuite mort née#msg3997791 Posté le 27-01-12 à 16:46
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Je t'ai déjà dit que ta première rédaction était acceptable... C'est à partir du moment ou on a commencé à chercher un majorant explicite, que ça n'allait plus... On pourrait corriger en écrivant N_\varepsilon plutôt que N
re : Fuite mort née#msg3997802 Posté le 27-01-12 à 16:57
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Alors là, d'accord.
Merci
re : Fuite mort née#msg3998089 Posté le 27-01-12 à 20:34
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ferenc,

Je n'ai pas fait la démonstration concernant la réciproque.
A vrai dire, j'imagine bien qu'une suite bornée n'est pas forcément convergente, comme par exemple U_n=(-1)^n

Mais la démo générale, j'aimerais la connaitre.
re : Fuite mort née#msg3998199 Posté le 27-01-12 à 22:14
Posté par Profilferenc ferenc

tu l'as démontré toi même puisque tu as trouver un contre exemple....
re : Fuite mort née#msg3998216 Posté le 27-01-12 à 22:23
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah ....  Et c'est une démo le fait de trouver un contre exemple ?
Bon.


Par contre, il reste maintenant  à démontrer la continuité pour la somme de 2 fonctions continues f et g ...
re : Fuite mort née#msg3998262 Posté le 27-01-12 à 23:30
Posté par Profilferenc ferenc

pour ta première remarque... oui... trouver un contre exemple montre que l'assertion est fausse !!!

deuxième... essaye, c'est vraiment pas compliqué... franchement fait le, même si tu te trompes au moins, je serais convaincu que les \epsilon sont acquis !!!
re : Fuite mort née#msg3998272 Posté le 27-01-12 à 23:43
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Je vais essayer de le faire, et poster ensuite.
Merci
re : Fuite mort née#msg3998395 Posté le 28-01-12 à 10:16
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bon, je me lance.

f continue sur I, donc :

Soit \epsilon_f>0, \exists \eta_f>0 tel que xI, x0I, \mid x-x_0\mid <\eta_f \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid < \epsilon_f

g continue sur I, donc :

Soit \epsilon_g>0, \exists \eta_g>0 tel que xI, x0I, \mid x-x_0\mid <\eta_g \Rightarrow \mid g(x)-g(x_0)\mid < \epsilon_g

D'où :

2\mid x-x_0 \mid<\eta_f+\eta g\Rightarrow\mid f(x)-f(x_0)\mid + \mid g(x)-g(x_0)\mid<\epsilon_f+\epsilon_g
re : Fuite mort née#msg3998404 Posté le 28-01-12 à 10:23
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ensuite, je pensais poser :

Soit \eta=max {\eta_f,\eta_g}

D'où : \mid x-x_0\mid <\eta

et poser :

Soit \epsilon=\epsilon_f+\epsilon_g

Ferenc, suis-je sur le bon chemin ?

« Précédent 1 2 Suivant » +

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

    * analyse en post-bac
    15 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » licence » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths - prof de maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012