Angles orientés

Posté par Marka Marka

Bonjour,
J'ai du mal à faire un exercice:
"Simplifiez l'expression suivante :
A=cos(x+23/6)+sin(x+8/3)"
Bon pour l'instant j'en suis arrivé à :
A=cos(x+4-/6)+sin(x+3-/3) [2]
A=cos(x -/6)+sin(x-/3)  [2]
Et la je bloque je ne sais pas comment simplifier cos(x -/6) et sin(x-/3) puisque je ne sais simplifier que cos(-x) ; cos(+x) ; cos(/2-x) et cos(/2+x)
Et je voudrais savoir si cos(2a)=2cos(a) sinon c'est égale à quoi?
Merci d'avance.

Posté par Priam Priam

Essaie de transformer sin(x - /3) en cosinus.
cos(2a) = cos²a - sin²a.

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

Bonjour Marka

A = cos(x+23/6)+sin(x+8/3)

  = cos(x+4 - /6)+ sin(x+2+ 2/3) ( il faut un multiple pair de )

  = cos( x - /6)+ sin(x + 2/3)

Ensuite , on utilise les formules d'addition

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

et sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

( A l'aide de ces formules , tu pourras montrer que cos(2a) = cos²(a) -sin²(a) )

Posté par Marka Marka

A= cos( x - /6)+ sin(x + 2/3)
=cos(x) x cos(-/6) - sin (x) x sin (-/6) + sin(x)cos(2/3) + cos (x) x sin(2/3)
=3/2 cos(x) +1/2 sin(x)  -1/2 sin(x) +  3/2 cos(x)
=23/2 cos(x)
=3 cos(x)

Posté par Marka Marka

Dois-je connaître toutes les valeurs dans le cercle trigonométrique par exemple ici que cos(-/6)=3/2 ?

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

C'est juste Marka
Bonne soirée !

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

Connaître celles du 1er quart du cercle trigonométrique est indispensable , les autres en découlent assez facilement

Posté par Marka Marka

Merci de votre aide!
Bonne soirée !

Posté par Marka Marka

je n'arrive toujours pas à répondre à la question d'après:
"Soit a un nombre réel de l'intervalle [-/2;0] vérifiant que cos(a)=1/3.Déterminer cos(2a) et sin(2a)."
cos(2a) = cos²(a) -sin²(a) mais ca ne m'aide pas à répondre à la question puisque je resterais bloqué avec le sin²(a)
et je voudrais savoir est ce que cos²(a)= (cos (a) )² ou pas.

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

Je réponds d'abord à ta dernière question : oui , cos²(a)= (cos (a) )²

Donc  on a bien cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)  ( n'oublie pas que sin²(a) + cos²(a) = 1 )

Ainsi , si cos(a) = 1/3  alors cos²(a) = 1/9 et sin²(a) = 1 -1/9 = 8/9


Pour sin(2a) , on aura sin(2a) = 2sin(a)cos(a), mais attention au signe de sin(a) , car a est situé dans [-/2 ; 0]

Posté par Marka Marka

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
cos(2a) = (1/3)² - 8/9 car sin²(a) = 1-1/9=8/9 puisque sin²(a)+cos²(a)=1
cos(2a) = 1/9 - 8/9
cos(2a) = -7/9

sin(a)= (8/9)
      = 8/3 ou -8/3
Mais puisque a [-/2;0] donc sin(a) = -8/3

sin(2a)= 2sin(a) x cos(a)
       = 2 (-8/3) x 1/3
       = -28/3 x 1/3
       = -28/9

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

c'est correct !

Posté par Marka Marka

J'ai une question encore plus dur après
"Montrer que (2 x cos(x+/4))² = 1 - sin (2x) "
J'en suis arrivé à
(2 x (2/2cos(x) - 2/2 sin(x)))²
<=> (cos(x) - sin(x))²
<=> cos²(x) - sin²(x)
<=> cos(2x)
Après je bloque je ne sais pas comment faire pour trouver 1-sin(2x) !

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

Attention , erreur

(cos(x) - sin(x))² cos²(x) - sin²(x)

Utilise la 2ème identité remarquable pour développer (cos(x) - sin(x))²

Posté par Marka Marka

Ah ca change tout (je suis trop bête)
(cos(x) - sin(x))²
<=> cos²(x) - 2 cos(x) x sin (x) + sin²(x)
<=> cos²(x) + sin ²(x) - 2 cos(x) x sin (x)
<=> 1-sin(2x)

Merci !

Posté par Marka Marka

Ensuite j'arrive pas du tout à faire
"Resoudre dans R : sin2x =cos x/2"
??

Posté par Elisabeth67 Elisabeth67

Utilise la propriété sin(a) = cos(/2-a)

Ceci te permet de transformer le membre de gauche, pour obtenir une égalité ne comportant plus que des cosinus

Ensuite , on sait que cos(a) = cos(b) si a = b + 2k ou si a = -b + 2k

Posté par Marka Marka

Bon je vais le résoudre demain je dois y aller .
Merci !

Posté par Priam Priam

Je voudrais juste indiquer que le calcul de A peut être fait de façon plus condensée :
A = cos(x - /6) + sin(x + 2/3) = cos(x - /6) + cos(x +2/3 - /2) = cos(x - /6) + cos(x + /6).
Or   cos(a + b) + cos (a - b) = 2cos a cos b.
Donc   A = 2cos x cos /6 = 3 cos x.

Posté par Marka Marka

sin2x =cos x/2
<=> sin (2x)= cos(/2-2x)

Donc:
cos(/2-2x)=cos(x/2)
<=> /2-2x = x/2 +2k ou /2-2x = -x/2 +2k ; k
<=> -2x = x/2 +2k - /2 ou -2x= -x/2 +2k -/2 ; k
<=> -5/2x = -/2 + 2k ou -3/2x= -/2 +2k ; k
<=> -5x= - +4k ou -3x= - +4k ; k
<=> x= /5 -4/5k ou x= /3 -4/3k ; k

S={/5 -4/5k;/3 -4/3k;k }

J'espère déjà que le résultat est juste et je voudrais savoir si la rédaction (notamment au niveau des k et S ) est bonne.

Posté par Marka Marka

C'est bizarre quand même que j'ai des -4k/5 et des -4k/3 non?

Posté par Marka Marka

( c'est le moins qui me dérange)

Posté par Priam Priam

Je n'ai pas trouvé de fautes dans ton calcul.
Le signe " - " ? Mais k peut être positif ou négatif.

Posté par Marka Marka

Ok merci dans la question d'après je bloque (alors que normalement c'est facile) :
"C est un cercle trigonométrique de centre O et ABCDEF est un héxagone régulier .Quelle est la mesure principale de :
a) (OA;AF) ?
b) (AB;CD) ?
c) (OF;CB) ?"
Vous devez aussi savoir que le cercle est sur de sens direct et que les lettres sont disposées ainsi:
                                    C           B


                                D        O         A


                                    E           F
Voilà et je ne sais pas comment faire déjà pour la première (OA;AF) ??

Posté par Priam Priam

Je dirais : (0A; AF) = (AO; AF) - = /3 - = - 2/3.

Posté par Marka Marka

J'ai pas compris tes calculs Oo

Posté par Marka Marka

C'est bon j'ai compris !

Posté par Marka Marka

Ah non tu t'es trompé (OA;AF) = (AO;AF) + et non -

Posté par Marka Marka

Oh lala je ne vois vraiment pas comment faire avec (AB;CD)

Posté par Priam Priam

En fait, c'est   (AO; AF) + + 2k.
J'ai pris k = - 1 pour que le résultat soit compris dans l'intervalle [- , + ] (mesure principale).

Posté par Marka Marka

Oula je sais pas faire ca moi moi j'aurais écrit:
(0A; AF) = (AO; AF) +   [2]
         = /3 + [2]
         = 4/3 [2]
c'est juste?

et j'ai trouvé pour (AB;CD) je crois :
(AB;CD)= (AB;OA) + (OA;OC) + (OC;CD) [2]
       = (AB;AO) + + (OA;OC) + (CO;CD) + [2]
       = /3 + + 2/3 - (CD ; CO) [2]
       = /3 + + 2/3 - /3 [2]
       =5/3 [2]

c'est juste?

Posté par Priam Priam

Oui, c'est juste, mais ce n'est pas la mesure principale, car hors de l'intervalle [-  , + ].

Posté par Marka Marka

4/3= 2 -2/3
                = -2/3 [2]

5/3 = 2 -1/3
                 =-1/3 [2]

Posté par Priam Priam

Oui, c'est ça.
Mais ici, il est inutile d'ajouter [2].

Posté par Marka Marka

Notre professeur nous demande de l'écrire à chaque ligne !

Posté par Priam Priam

Je dis cela, car la mesure principale d'un angle est unique.

Posté par Marka Marka

Oki bon je passe à la troisième

Posté par Marka Marka

(OF;CB) =  (OF; OB) + (OB;CB)
        =  2/3 +  (BO;BC)
        = 2/3 - (BC;BO)
        = 2/3 - /3
        = /3
        
c'est ca non,?

Posté par Priam Priam

Oui, c'est ça.

Posté par Marka Marka

Ok merci je t'avise si j'ai encore un problème !

Posté par Marka Marka

Est ce que sin²(x) = sin(x) x sin(x) ?

Posté par Priam Priam

Oui (je suppose que "x" au centre n'est pas un x . . . . ).

Posté par Marka Marka

Une autre question :
"1 (P) est la proposition : "sin (2x) = 2 cos(x)" et (Q) est la proposition: "sin (x) = 1 "
L'implication (Q) -> (P) est-elle vraie?
Justifiez votre réponse."
Je n'arrive pas à partir de sin(x) à arriver  à sin (2x) pour commencer

Posté par Marka Marka

Euh je n'ai pas compris ce que tu as écris "(je suppose que "x" au centre n'est pas un x . . . . )"

Posté par Priam Priam

Entre les deux sin(x) . . . .
Si sin(x) = 1, que vaut  x  ?

Posté par Marka Marka

x = /2

Posté par Priam Priam

Oui, et que peux-tu en déduire pour la première égalité ?

Posté par Marka Marka

Bah qu'on a sin() = 2 cos( /2)
non?

Posté par Priam Priam

Oui, c'est-à-dire . . . . = . . . .

Posté par Marka Marka

Euh oui c'est bon j'avais trouvé
0=0 donc Q -> P
Je bloque à une autre question