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aire 0<x<2
Bonsoir
Je n'ai pas compris comment faire pour trouver l'air dans un exercice.
J'ai essayé avec une ancienne méthode de 3ème, mais je ne suis pas sûr de mon résultat.
Voici l'énoncé (et mon travail)
Soit ABCD un carré tel que AB=2cm. Le nombre x étant un nombre réel compris entre O et 2, on considère:
-le point M du segment [AB] tel que AM= x (cm)
-le point N du segment [BC] tel que BN= x (cm)
-le point P du segment [CD] tel que CP= x (cm)
-le point Q du segment [DA] tel que DQ= x (cm)
1) Calculer en fonction de x, la mesure, en cm², de l'aire du quadrilatère MNPQ.
Donc en faite,
AB=2cm et ABCD=4cm²
L'air de MNPQ est compris entre 0 < x < 2
donc l'aire de ABCD-x²
(2-x)-4²
2) Montrer que l'aire du quadrilatère est minimale pour une valeur de x que l'on précisera.
Je dois d'abord être sur de l'air MNPQ.
Donner la distance MQ
Là il faut trouver MQ donc
AM²+AQ²=MQ²
MQ²=x²-(2-x)²=x²-(2x²+2*2*x-x²)=x²-(2x²+2x-x²)=x²-x²+2x=2x
Pourriez vous m'aider, s'il vous plait?
Bonsoir
prenez donc l'aire du carré dont on retranche les aires des triangles dans les coins.
Pierre
Bonjour
Ah je comprends.
Mais ça se complique encore plus car il faut toujours trouver la longueur de MN.
On a :
Aire ABCD-(Aire MBN, NCP, QDP, MAQ)= Aire MNPQ
L'aire de ABCD est 4cm²
L'aire de MBN est: MN*MB/ 2
On connait MB=2-xcm mais on ne connait pas MN. Pour cela, il faut utiliser le théorème de Pythagore.
MN²=(AB-AM)²+ (BC-BN)²
=(2-x)²+(2-x)²
Et là que faut-il faire? C'est une identité remarquable alors comme ça fait longtemps, je n'ai pas réussi à la faire:
(2²-2*2*x+x²) + (2²-2*2*x+x²)
=4-4x+x²+4x-4x+x²
=0 et ça va pas.
re : aire 0Bonjour,
pour calculer l'aire du triangle MBN tu n'as pas besoin de MN.... puisque MBN est rectangle en B
Ah, alors on peut choisir le côté opposé à l'angle?
Sa simplifie tout, merci Tilk
Donc:
Aire MNPQ = 4²-(2x-x²/2)4 (puisqu'il y a 4 triangles)
= 4²(8x-4x²/2)
= 16-8x-4x²/2
L'aire est minimale pour x=1 car :
16- 8x4x²/2=16- 8*1-4*1²/2=16- 8-4/2=32/2- 4/2=28/2= 16cm²
MQ=8cm car 16/2=8
re : aire 0Ah, alors on peut choisir le côté opposé à l'angle?
l'aire d'un triangle se calcule par la formule
Côté
Hauteur correspondante/2
tu peux choisir le côté que tu veux mais il faut faire attention que la hauteur corresponde au côté choisi...
pour ce qui est de ton calcul il est curieux....le carré a pour côté 2 cm d'après ton énoncé
Bon
ça donne:
2²-4(x (2-x) /2) = 4-2x(2-x)=4-4x+2x²
si x=0, l'aire du quadrilatère MNPQ est nul
si x=1, MNPQ=2cm²
si x=2, MPNQ=8cm²
l'aire est minimale pour x=1
MN=x²+(2-x)²=x²+ (2²-2*2*x+x²)=x²+4-4x+x²=2x²-4x+4
et MN=MQ
Je ne me suis pas trompée?
re : aire 0si x=0, l'aire du quadrilatère MNPQ est nul
non, si x = 0 MNPQ est confondu avec le carré ABCD donc son aire est 4....
si x=2, MPNQ=8cm²
non si x = 2 MNPQ est confondu avec le carré ABCD donc son aire est encore 4...
l'aire est minimale pour x=1
pour le prouver tu dois étudier la fonction 4 - 2x(2-x) sur l'intervalle {0;2]
MN=x²+(2-x)²=x²+ (2²-2*2*x+x²)=x²+4-4x+x²=2x²-4x+4
non c'est MN² que tu as calculé..
que vaut MQ quand x = 1 ?
Etudier la fonction, donc:
4-2x(2-x)
0
4-2x2-x
42-x-2x
42
x
2/4
l'air est minimale pour x=1 puisque 2/4=0.5 et 0.5²=1
Je crois que c'est la dernière méthode. Mais on peut aussi faire:
0Aire MNPQ2
04-2x(2-x)2
04-2x2(2-x)
04-2x4x-2x
044x-2x+2x
044x
0x4/4=1
L'aire du quadrilatère est minimale pour x=1
MQ=0.5 car 1/2=0.5
re : aire 0je ne sais pas d'où tu sors ces inéquations
la façon dont tu les résous est incorrecte...
Pour étudier une fonction il y a une méthode en utilisant la dérivée...
as-tu étudié les dérivées ?
ou
la forme canonique d'un trinôme du 2nd degré ?
Ah j'ai déjà entendu parler de la forme canonique mais je n'ai jamais su comment on fait. Ce doit être une ancienne méthode.
Biensur que oui j'ai étudié les dérivées. Mais le problème, c'est qu'il n'y a pas de fonction définie (dans cet exercice) pour avoir sa dérivée.
Sinon, j'aurais déjà trouvé une piste.
re : aire 0Mais le problème, c'est qu'il n'y a pas de fonction définie (dans cet exercice) pour avoir sa dérivée.
et la fonction qui permet de calculer l'aire de MNPQ ? qu'est-ce que tu en fais ?
c'est la fonction f: x
4 - 2x(2-x)
tu peux donc en calculer la dérivée et étudier son sens de variation sur l'intervalle [O;2] puisque x varie entre 0 et 2
ah
je ne savais pas.
Mais la fonction 4-2x(2-x) c'est 2x²-4x+4 non ?
Donc f'(x)= 4x-4
Mais si c'est 4-2x(2-x) alors f'(x)=4-2=2
re : aire 0Mais la fonction 4-2x(2-x) c'est 2x²-4x+4 non ?
oui....
Donc f'(x)= 4x-4
oui...
la dérivée s'annule pour x = 1 donc pour x = 1 la fonction passe par un extremum
il faut maintenant que tu étudies le sens de variation de la fonction en étudiant le signe de la dérivée sur {0;2] pour prouver que cet extremum est un minimum.....
Mais si c'est 4-2x(2-x) alors f'(x)=4-2=2
Ah j'ai compris
f'(x)0
4x-404x4 ; x4/4=1
la dérivée s'annule pour x = 1 donc pour x = 1 la fonction passe par un extremum
Que veut dire un extremum
re : aire 0un extremum se produit lorsque la fonction prend une valeur "extrème" : c'est soit un maximum soit un minimum
quand x < 1 alors f'(x)< 0 donc la fonction est décroissante
quand x > 1 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante
ce qui signifie que la fonction est bien minimale quand x = 1
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