Vérification et probléme pour la fin

Posté par destocaz destocaz

Bonjour, j'ai deux exercice que j'aimerais faire vérifié et j'ai un petit problème a quelque question, pourriez vous m'aider ?
Voici le sujet :
1) On considère dans l'ensemble des complexes l'équation (E) : z³+8=0
a. Déterminer les nombres réels a,b,c tels que z³+8=(z+2)(az²+bz+c) pour tout complexe z.
   -La j'ai trouvé : a=1, b=-2, c=4

b. Résoudre l'équation (E) (on donnera les solutions sous la forme x+iy, avec x et y réels).
   -J'ai trouvé 3 solution : z=-2; z'=\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} et
z"=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}

c. Écrire ces solutions sous forme exponentielle.
   z= sa je ne sais pas, sa fait z= e^-2 ?
   z'= e^i\frac{5}{3}
   z"= e^i\frac{2}{3}

2) On considère  les points A,B,C d'affixe respectives -2; 1-i\sqrt{3} et 1+i\sqrt{3}, le point D milieu de [OB] et la rotation R de centre O et d'angle \frac{2}{3}.

a. Montrer que R(A)=B, R(B)=C et R(C)=A.En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
Placer A,B,C,D dans le plan.
     J'ai trouvé R(A) = 2e^i\frac{2}{3} =B
                 R(B) = 2e^i\frac{2}{3} =C
                 R(C) = 2e^i\frac{2}{3} =A
                 ABC est équilatéral car B=C=A

b. Déterminer l'affixe Z_L du point L, image du point A par la translation T de vecteur \vec{OD}
Déterminer un argument de \frac{Z_L}{Z_D}
En déduire que le vecteur \vec{OL}  est orthogonal au vecteur \vec{OD} et au vecteur \vec{AL}.
Montrer que L est sur le cercle de diamétre [AO]
Placer L sur la figure.

J'ai trouvé l=a+d = \frac{-3+\sqrt{3}}i{2}
        ensuite \frac{l}{d}= -\sqrt{3}I
        On a d un imaginaire pur donc arg (d) = \frac{}{2} ou -\frac{}{2} mais d est positive donc arg d = \frac{}{2} Donc le vecteur \vec{OL}  est orthogonal au vecteur \vec{OD} et au vecteur \vec{AL}
     Montrer que L est sur le cercle ? je n'ai pas trouvé....

Exercice 2

On appelle B le point d'affixe i et M₁ le point d'affixe : Z₁= \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)

1. Déterminer le module et un argument de Z₁.
J'ai trouvé module z₁=1 et cos=sin=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
Pour l'argument je ne sais pas, ?

2. Soit M₂ le point d'affixe Z₂, image de M₁par la rotation de centre O et d'angle \frac{}{2}
Determiner lee module et un argument de z₂
Montrer que le point M₂ est un point de la droite (D) d'équation y=x.

      J'ai trouvé module de Z₂= 1 et arg Z₂= arg Z₁ mais je n'ai pas trouvé arg Z₁
Je ne sais pas comment montrer que le point M₂ est un point de la droite (D) d'équation y=x.

3. Soit M₃ le point d'affixe Z₃ image de M₂ par l'homothétie de centre O et de rapport 3+2
a. Montrer que Z₃= \frac{3+1}{2}(1+i).
          
       Pour cette question j'ai simplifié l'homothétie et je ne trouve pas sa, je trouve : Z₃= \frac{3i-1}{2}

b. Montrer que les points M₁ et M₃ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon 2.

Pour cette question je supose que l'on doit utiliser les résultat précédent mais je ne voi pas du tous comment....

4. c'est une construction a faire.

5. A tout point M du plan d'affixe z (distinct de B), on associe le point M', d'affixe Z telle que Z= \fraq{1}{i-z}
Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que M' appartienne au cercle de centre O et de rayon 1

Je n'ai pas compris comment faire pour cette question.


Merci d'avoir pris le temps de lire ce message et de bien vouloir m'aider pour les question qu'il me reste a faire ( que je ne trouve pas ) et pour me dire ci se que j'ai fait est bon.

Posté par destocaz destocaz

Désolé pour l'écriture je vien de voire que j'ai mal rentré le LaTex....

Posté par Ragadorn Ragadorn

Bonjour,
1)b) je ne suis pas d'accord avec les solutions que tu donnes de l'équation, tu as une erreur de signe.

Posté par destocaz destocaz

En effet merci, j'ai trouvé sa :
Pour Z'=
Pour Z"=
Et Z=-2


Pour le reste ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Je ne suis toujours pas d'accord, tu as aussi une erreur de calcul. Dis-toi que dans un problème, les réponses aux premières questions sont souvent données au cours de l'exercice. Les solutions de cette équation sont les abscisses des points A, B et C^^. Quand tu calcules les 2 solutions de l'équation du second degré, tu fais une erreur de calcul avec la fraction.

Posté par destocaz destocaz

Ah oui merci j'ai vu mon erreur, et pour la suite tu peux m'aider ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

1)c) Il faut donc que tu recalcules tes formes exponentielles. Pour z=-2, étant donné qu'il n'a pas de partie imaginaire (il est donc réel), son argument est nul.

Posté par destocaz destocaz

Donc si z= -2 ; arg z = 0,
ok merci

La suite ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Tu as recalculé les formes exponentielles de z' et z" ?

Posté par destocaz destocaz

}{3} \\          Z" = Z' \\          Et pour -2 ... ? 2e ? " alt="Oui donc Z'= 2e^i\frac{2}{3} \\          Z" = Z' \\          Et pour -2 ... ? 2e ? " class="tex" />

Posté par destocaz destocaz

J'ai trouvé je te le remet en normal... z'= 2e^i2/3
                                        z" = z'
                        et pour -2 ; z= 2e ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Il y a un problème avec ton écriture, écris normalement je peux très bien comprendre. Tu trouves combien pour cos_z' et sin_z' ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Alors, si _z=0, c'est la forme exponentielle de z ?
z' et z" ne sont pas du tout égaux, donc leur forme exponentielle ne le sera pas. Que trouves-tu pour cos_z' et sin_z" déjà ?

Posté par destocaz destocaz

Oui j'ai voulu allez vite Z" c'est 2e^i/3

Posté par destocaz destocaz

cos_z'= 1/2
sin_z'= -3/2

cos_z"= 1/2
sin_z"= 3/2

Posté par Ragadorn Ragadorn

Les cosinus et sinus sont bon, donc _z'= ? et _z"= ?

Posté par destocaz destocaz

z'= 2/3
et z"= /3

Posté par Ragadorn Ragadorn

_z' est faux, l'autre est juste. Trace le cercle trigonométrique pour t'aider. Puis donne-moi les formes exponentielles.

Posté par destocaz destocaz

z'= 5/3 ?

z'= 2e^i5/3
z"= 2e^i/3
z = 2e² ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

z" et z' sont justes. Si _z=0, alors e^i_z= ?

Posté par destocaz destocaz

e⁰= 1 donc la forme expo de -2 est 2 ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui c'est ça. Pour la question 2, maintenant que tu as les bonnes formes exponentielles pour chaque point, détaille-moi le calcul R(A)=B.

Posté par destocaz destocaz

R(A) = e^i2/3(2-0)+0

z" n'est pas plutôt égale à  2e^i2/3 ? ...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Non il faut que tu transformes. e^i2/3=cos(2/3)+isin(2/3) et z=2, tu devrais pouvoir retrouver z' en trasnformant les cos et sin.

Posté par destocaz destocaz

Ok merci, je vais manger je continu aprés manger, tu seras toujours la ? merci de ton aide.

Posté par destocaz destocaz

J'ai remplacé sa me fait cos 2/3 + isin 2/3 = -1/2 +i3/2 .... comment j'arrive a B = 1-i3 ...?

Posté par Ragadorn Ragadorn

La formule de la rotation c'est R(A)=z.eⁱ. Sachant que z=-2, tu trouve bien B non ?

Posté par destocaz destocaz

On a apris cette formule de la rotation : R(A) = eⁱ(z-z)+z

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui, j'ai raccourci car ici le centre est le point O d'affixe 0. Tu arrives à retrouver B alors ?

Posté par destocaz destocaz

= 2/3 donc R(A) = -2e^i2/3

c'est pas égale à B ...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Faut que tu décomposes e^i2/3 comme tu l'as fait tout à l'heure.

Posté par destocaz destocaz

Ah ouiiiii

e^i2/3 = cos 2/3 +isin 2/3 = (-1/2 +i3/2)

on multiplie sa par -2 ( le module ) ce qui nous donne 1-i3 = B

Posté par destocaz destocaz

Pour la suite.... ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Pour les 2 autres rotations, c'est le même principe. Je ne suis pas d'accord avec ton l, ce n'est pas égal à -3+i3/2.

Posté par Ragadorn Ragadorn

Pardon, ce n'est pas égal à (-3+i3)/2. Il y a une erreur de signe.

Posté par destocaz destocaz

Oui éxacte c'est (-3-i3)/2

Posté par destocaz destocaz

Pour la suite...?

Posté par Ragadorn Ragadorn

C'est ça. Je ne comprends pas comment tu calcules l'argument de z_l/z_d, mais sa valeur est de -/2. Refais tes calculs.

Posté par destocaz destocaz

Zl/Zd = 1-i3/((1-i3)/2)
      = 1-i32/(1-i3)
      = 2 ... erreur mais ou ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

z_l n'est pas égal à 1-i3, regarde plus haut ce que tu avais trouvé.

Posté par destocaz destocaz

Zl/ZD = (-3-i3)/2 2/(1-i3)

sa fait (-3-i3)/(1-i3)

Encore une erreur...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Non, développes de manière à avoir la partie réel et la partie imaginaire.

Posté par destocaz destocaz

Je développes a partir de ce que j'ai trouvé ? mais comment sa ? je vois pas du tous comment faire...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Ben tu développes, tu multiplies terme à terme quoi. Tu trouveras ainsi un nombre complexe, et tu pourras calculer son module et son argument.

Posté par destocaz destocaz

Sa me donne (-6-2i3)/(2-2i3)
Je ne peux pas simplifier...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Les 2 se simplifient déjà. Ensuite pour pouvoir séparer en partie réelle et en partie imaginaire, il faut supprimer le i au dénominateur. Pour cela, il faut que tu multiplies en haut et en bas par la partie conjuguée du dénominateur. Est-ce que tu comprends ?

Posté par destocaz destocaz

Je trouve -2i3 je suis pas sur du -
Mais vu que c'est un imaginaire pur, l'argument est /2

Merci, ensuite ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Je ne trouve pas ça. Je trouve -i3/2. Comme il est négatif, le sinus est négatif, par conséquent c'est -/2 et non /2.

Posté par destocaz destocaz

J'ai refait le calcul et je trouve -i3 ... tu est sur ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui c'est -i3. Dans tous les cas c'est négatif. Pour montrer qu'ils sont perpendiculaires, il suffit de calculer le produit scalaire, comme l'angle est de -/2, le cosinus est nul donc le produit sclaire l'est aussi. Pour montrer que L appartient au cercle, tu sais que le triangle OAL est ..., or tout triangle ... est inclus dans ..., donc L apaprtient au cercle.