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Niveau Licence Maths 1e ann
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Lemme de Gronwall

Posté par
axlaxlaxlaxl
01-02-12 à 02:52

Bonjour, je suis bloqué dans un exo où on doit utiliser Lemme de Gronwall pour resoudre

Soient q:[0,+inf[ -> ]0,+inf[ une fonction de C1 et croissante.
On considere (E): y'' + q(t)y = 0
On suppose y solution de (E)

a. Mq il existe k tq:
t 0
[0,t] (qy'y)(s)ds k
b. Mq y est bornee

Pouvez vous m'aider
Merci d'avance

Posté par
iahim
re : Lemme de Gronwall 03-02-12 à 00:03

Bonjour,

Il me semble que a.) peut se montrer avec l'integration par parties:
Compte tenue de  y'' = -qy on a
\int \limits_0^t qy'y = -\int \limits_0^t y'y'' = -(y')^2 |_0^t + \int \limits_0^t y''y'
Alors \int \limits_0^t qy'y'' = -\frac12 (y')^2 |_0^t et l'inegalitée est evidente du fait que
(y')^2 \geq 0

Les proprietés de q ne sont pas encore utilisées.
Je soupçonne que a.) avec le Lemma Gronwall servent à montrer b.) qui est en effet la beauté de l'exo.
Hélas, je n'y suis pas arrivé. Lemma Gronwall est un résultat rémarcable avec des trés riches implications. Peut-être il y a quelqu'un là qui peut nous aider.



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