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Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle

Posté par
jamo Moderateur
01-02-12 à 13:30

Bonjour tout le monde,

on se place dans un réseau de points à mailles carrées.

On s'intéresse aux triangles dont les sommets sont situés sur des points de ce réseau, et tels qu'aucun point ne se situe sur leurs côtés (attention, cette condition est importante, ne l'oubliez pas en cours de route).

J'ai représenté ci-dessous trois exemples de tels triangles, et j'ai colorié les points se situant à l'intérieur.

Question : trouver un triangle (qui vérifie les conditions données ci-dessus) qui contient uniquement 4 points non alignés à l'intérieur.

Vous pourrez donner la réponse en image, ou en utilisant un système de coordonnées dans un repère.

Bonne recherche !

Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 258 : Quatre points non alignés dans un triangle 01-02-12 à 15:06

gagnéJe ne trouve aucune solution...
Je répondrai donc "problème impossible".. A moi le !!!

Posté par
manpower
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 01-02-12 à 16:30

gagnéBonjour,

le théorème de Pick (A=i+b/2-1) nous assure que l'aire est de 4,5 unités.

En revanche, après une petite recherche, je n'arrive qu'à 3 ou 5 points non alignés ou 4 points alignés.
Sans certitude, je pense que la condition d'alignement est rédhibitoire; il faudrait des points dans l'une des configurations suivantes (à symétrie près):
x__  _x_  x..  
xxx  xxx   xxx

xx  xx_
xx  _xx

x_  x..
x_  x..
xx  xx
(je ne sais pas si c'est compréhensible!)

Par ailleurs, la recherche sur un "grand" triangle (de si petite aire, ce qui aurait tendance à l'aplatir) me semble vaine.

Enfin, le peu de réponses à cette heure penche en faveur de l'impossibilité !!

Je propose donc une réponse (sans image): impossible !

Merci pour l'énigmo.

Posté par
LeDino
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 01-02-12 à 19:30

gagnéBonsoir,

Je pense que le problème est impossible.

Bravo à ceux qui trouveront une solution si elle existe ...

Posté par
carambole
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 01-02-12 à 23:00

perduUn triangle formé des point de coordonnées (0;0), (6;11), et (7;11) convient.
Il contient les 4 points (3;5), (4;7), (5;9) et (6;10), non alignés.

Posté par
LeDino
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 02-02-12 à 01:36

gagnéMaintenant c'est sûr que c'est impossible...
Sinon totti1000 aurait trouvé depuis longtemps !!!

Posté par
dpi
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 02-02-12 à 09:04

perduBonjour,

La tentation de répondre impossible est d'abord
très forte mais on y arrive.

Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle

Posté par
brubru777
Enigme 261 02-02-12 à 15:31

gagnéBonjour,

Voici ma solution : il n'existe pas de triangle ayant ces propriétés. Si un triangle contient exactement 4 points (et aucun sur ses bords), ceux-ci sont forcément alignés.

Posté par
ksad
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 02-02-12 à 17:47

gagnéBonjour,

Après avoir longuement cherché (et de façon totalement infructueuse, je le crains), je me lance en espérant avoir bien lu l'énoncé.
Je crois qu'un tel triangle n'existe malheureusement pas.

Et mon impression est quelque peu confortée par le très petit nombre de réponses enregistrées jusqu'à présent.

Merci pour l'Enigmo et à bientôt !

Posté par
kotaryu
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 02-02-12 à 20:06

perdu


Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle

Posté par
calypso7
réponse de l'énigme 03-02-12 à 14:41

perdu

j'ai pas sue comment répondre mais j'ais la réponse

Posté par
Asap
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 03-02-12 à 15:32

gagnéBonjour,

Je pense qu'il n'y a pas de solution.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 03-02-12 à 16:19

gagnéSalut jamo,

Je propose problème impossible...

Posté par
Noems
Solution ! 03-02-12 à 18:51

perduBonjour,

Après quelques essais ratés, j'ai fini par trouver la solution et elle parraît très simple.

Il faut prendre un point (disons A) au hasard.

A partir de ce point A, il faut aller vers la gauche de 3 cases et remonter d'une case. Placer à cette intersection le point B.

Revenez au point A. A partir du point A, descendez de 3 cases, puis allez vers la droite d'une case. Placez-y le point C.

Si vous reliez les points A, B et C, vous obtiendrez un triangle, avec aucun somment alignés, et à l'intérieur 4 points non alignés.

Merci pour cette bonne énigme, qui m'a bien occupé sans toutefois trop de difficultés.

Posté par
rschoon
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 05-02-12 à 22:37

gagnéBonjour.
Pas de solution.
Cordialement.

Posté par
kioups
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 09-02-12 à 13:40

gagnéAllez, on va dire que c'est impossible.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 10-02-12 à 11:36

gagnéBonjour Jamo,

C'est impossible (pour moi, en tous cas).

Merci pour ce problème curieux.

Posté par
LittleFox
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 10-02-12 à 16:47

gagnéIl n'existe pas de tel triangle.

Du moins il est impossible d'en construire un sur un quadrillage de moins de 5000 mailles de côté.

Posté par
masab
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 12-02-12 à 16:51

gagnéCette énigme n'admet pas de solution.

Il n'existe pas de triangle entier, n'ayant pas de points entiers sur ses côtés autres que ses sommets, et contenant exactement 4 points intérieurs non alignés.

Posté par
Chatof
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 17-02-12 à 17:39

gagnéImpossible
Pas de solution pour 4 points
(ni pour 7 points)  

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 19-02-12 à 11:21

gagnéBonjour,

Allez j'me lance :

Problème impossible.

Voilà!

Merci.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 20-02-12 à 13:38

gagnéBonjour,

Le triangle recherché n'existe pas.

Par contre, il y en a une tripotée avec quatre points alignés à l'intérieur et aucun point sur les côtés, tous de même aire (4,5 carrés)  

Posté par
torio
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 22-02-12 à 12:00

gagnéIl n'y pas de triangle vérifiant cette propriété

A+
Torio

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 11:23

Clôture de l'énigme

En effet, je vous avais proposé un petit problème impossible pour cette énigme !

Il faudrait que je retrouve où j'ai pioché ce problème, mais il me semble bien que c'est démontrable.

Posté par
geo3
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 13:47

Bonjour
Je vais tenter : impossible => bon pour 1
A+

Posté par
geo3
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 13:50

Re
Pas de chance : 25min trop tard
A+

Posté par
Gryfo
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 16:19

J'EN ÉTAIS SÛR !

Non sérieux, pendant 3 heures non-stop j'ai recherché intensivement, j'ai essayé des centaines de configurations différentes, mais rien à faire, pas moyen de remplir toutes les conditions...

Après j'ai craqué, ça m'énervais trop et j'étais à deux doigts de proposer problème impossible... Mais je me suis retenu à la dernière seconde, en me disant que jamo aurait précisé que le problème était peut-être impossible. C'est ça qui m'a retenu. Je me suis dit que forcément il y avait une configuration correcte, et qu'entre avoir un poisson et ne rien avoir du tout, il valait mieux ne rien avoir du tout. Et donc j'ai abandonné.

J'ai eu tord, si je ne m'étais pas retenu j'aurais eu un smiley. Ça m'apprendra pour la prochaine fois : l'auteur de l'énigme n'est pas obligé de dire que le problème est peut-être impossible.

Je reste néanmoins dégoûté

Posté par
LeDino
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 17:58

gagné
J'avais bien une preuve "relativiste" du résultat.
La démonstration n'est pas strictement mathématique...
... mais je la pensais assez fiable, surtout à mesure que le temps passait...

Cette preuve la voici :
Sachant que totti1000 et Nofutur2 se tiennent généralement d'assez près sur le temps de réponse,
sachant aussi que Nofutur2 "aime bien" tenter un rush de type "problème impossible",
et attendu que Nofutur2 a répondu en 1h30...

... au bout de combien de temps de silence de totti1000 ne devient-il pas évident que celui-ci cherche en vain une réponse qui n'existe pas, tout en répugnant à poster "impossible" tant qu'il n'en a pas une solide démonstration, et tant qu'il lui reste ne serait-ce qu'un mince espoir de renverser la situation chronométrique en trouvant l'introuvable ?

mon bonjour aux deux artistes !

Posté par
torio
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 23-02-12 à 21:21

gagnéBien analysé LeDino !!!!

Posté par
totti1000
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 00:02

gagnéSalut LeDino

J'ai en effet hésité à poster une réponse rapide "problème impossible", mais cela me paraissait trop risqué, car j'étais loin d'être sûr de moi...

Et pour ton raisonnement, le mien fut inverse !
- Premièrement le fait que Nofutur2 poste aussi rapidement, je me suis dis, il y a forcément une solution.
- Puis, le fait que pour une fois jamo n'ait pas indiqué le fameux "si vous pensez que le problème est impossible alors vous répondrez problème impossible..."
- Puis, ton double post ! Je me suis dis, il a peut-être trouvé une solution, après coup...

Enfin plus le temps passait et plus je savais que je devais trouver une solution si je voulais garder un espoir... Mais j'ai finis par me résigner à poster "problème impossible" (tuant ainsi les espoirs de février)...

En tout cas, une sacrée énigme comme on les aime, et je serai quand même curieux d'en voir la démonstration... Je m'étais arrêté, au théorème de Pick comme l'a soulevé manpower.

Bonne soirée !

Posté par
masab
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 10:44

gagnéL'énigme ne se limitait pas il me semble à une grille 10x8, mais supposait la grille infinie.
Il n'est donc pas possible d'affirmer qu'il n'y a pas de solution sans en avoir une preuve !
Pour ma part j'ai examiné une grille 2000x2000 et j'ai montré en examinant tous les cas qu'il n'y a pas de solution pour une telle grille.
Je suis même allé au-delà en vain...
Il y a peut-être une astuce simple montrant l'impossibilité d'une telle solution.

Posté par
LeDino
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 12:23

gagnéBonjour totti1000,

C'est assez amusant d'imaginer les stratégies de chacun.

Cette énigme avait le mérite de créer une situation particulièrement intéressante pour ceux qui jouent (ou qui suivent) la bagarre pour le titre mensuel. C'est pour ça que je suis intervenu .

Et comme le dit masab, ce problème "non borné" entrait dans la catégorie de ceux où exclure plein de solutions ne permet pas d'affirmer qu'il n'y en a pas. Il faut donc une vraie démonstration mathématique. Et elle semble délicate. L'intuition décrite par manpower, qui a probablement touché également la plupart de ceux qui ont répondu "impossible", ne semble pas facile à formaliser pour une démonstration...

Posté par
dpi
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 13:00

perduAllons jamo,

Je pensais que mon humour aurait été récompensé
En effet c'est impossible,mais mon dessin parait
être une solution border line

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 13:53

Je possède la démonstration qu'il n'existe pas de tel triangle.

La démonstration est un peu longue et pas forcément évidente, je ne peux pas la résumer comme ça.

Si vraiment certains sont intéressés, je peux toujours leur scanner les quelques pages et leur envoyer par e-mail.

Posté par
Gryfo
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 14:02

Moi j'aimerais bien s'il-te-plaît jamo.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 14:11

Citation :
Moi j'aimerais bien s'il-te-plaît jamo.


Je viens de voir sur ton profil que tu es en 2nde, et tu risques de ne rien y comprendre, car dans la démonstration, on trouve les choses suivantes : groupe des applications affines, des matrices, déterminant de vecteurs, relation d'équivalence, et pas mal de raisonnements en arithmétique ...

Posté par
Gryfo
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 14:29

Je m'en doutais un peu. Ce n'est pas grave

Posté par
masab
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 15:03

gagnéLe  mieux serait de mettre la preuve en pièce jointe dans ce fil, de façon à ce que tout ceux qui s'y intéresse puisse la regarder !

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 15:07

Citation :
Le mieux serait de mettre la preuve en pièce jointe dans ce fil, de façon à ce que tout ceux qui s'y intéresse puisse la regarder !


Non, je ne peux pas mettre un scan de document comme ça.
Il faudrait que je le retape, et cela me prendrait bien 2 heures.

Posté par
frenicle
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 16:04

Bonjour jamo,

Si tu scannes la démo, j'en veux bien une copie.

Posté par
dakane
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 24-02-12 à 21:10

idem stp!

Posté par
frenicle
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 26-02-12 à 09:40

Bonjour,

Jamo m'ayant fait suivre la démonstration, j'en donne un résumé (un peu arrangé à ma sauce ) pour ceux que ça intéresse.

Considérons un triangle répondant aux conditions posées par l'énoncé. Il s'agit de montrer que les quatre points entiers intérieurs à ce triangle sont alignés.
Plaçons-nous dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}).

Sans perte de généralité, on peut supposer qu'un des sommets de ce triangle est placé en O, origine du repère. Soient M(x_1,y_1),N(x_2,y_2) les autres sommets du triangle.

Le théorème de Pick nous dit que son aire est égale à 9/2  (nombre de points intérieurs plus la moitié du nombre de points sur les côtés moins 1, soit 4 + 3/2 - 1 = 9/2).

Au signe près, cette aire est aussi égale à \frac{1}{2}(x_1y_2-x_2y_1). Quitte à échanger M et N pour avoir le bon signe on peut donc supposer que x_1y_2-x_2y_1=9.

Comme x_1 et y_1 sont premiers entre eux (car il n'y a aucun point entier autre que les extrémités sur [OM]), ils ne sont pas simultanément divisibles par 3.
Supposons par exemple que x_1 ne soit pas divisible par 3. Il existe alors un entier k compris entre 1 et 9 tel que x_2=kx_1 [9].
En reportant dans la relation x_1y_2-x_2y_1=9, on en déduit qu'on a aussi y_2=ky_1 [9].

Considérons alors la transformation linéaire du plan qui au point P(X,Y) fait correspondre le point P'(X',Y') donné par les formules suivantes :

\large  \left\lbrace\begin{array}l X'=\frac{y_2 - ky_1}{9}X+\frac{kx_1 - x_2}{9}Y \\Y'=-y_1X+x_1Y \end{array}

Comme cette transformation est linéaire, elle conserve l'alignement.
Comme elle est à coefficients entiers, elle transforme un point à coordonnées entières en un point à coordonnées entières.
Il en est de même de la transformation réciproque.

Un calcul facile montre qu'elle laisse invariant le point O et transforme le point M en A(1,0) et le point N en B_k(k,9).

Par conservation de l'alignement, il n'y a pas de point entier autre que les extrémités sur [OB_k] ni sur [AB_k], donc 9 doit être premier avec k et avec k-1.
Le nombre k est donc égal à 2, 5 ou 8.

Par cette transformation, le triangle OMN a donc pour image l'un des trois triangles OAB_2, OAB_5 ou OAB_8 de la figure ci-dessous.
Les quatre points entiers intérieurs au triangle OMN sont transformés en les quatre points entiers intérieurs au triangle image.
Or on constate que dans ces trois triangles les quatre points entiers sont alignés.
Donc, par conservation de l'alignement, les points entiers du triangle OMN sont aussi alignés, CQFD.

Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle

Posté par
masab
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 26-02-12 à 14:18

gagnéUn scan de la démo m'intéresserait aussi beaucoup !

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 26-02-12 à 18:07

Citation :
Un scan de la démo m'intéresserait aussi beaucoup !


Alors mets ton adresse e-mail visible dans ton profil, où écris-moi et je te répondrai.

Posté par
Chatof
re : Enigmo 261 : Quatre points non alignés dans un triangle 14-03-12 à 15:06

gagnéBonjour,

Citation :
Enfin plus le temps passait et plus je savais que je devais trouver une solution si je voulais garder un espoir... Mais j'ai finis par me résigner à poster "problème impossible" (tuant ainsi les espoirs de février)...


Et non !
Sauf erreur sur le club 228, notre totti1000 repasse en tête.
Bravo

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 147:45:00.


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