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Joute n°61 : Tourne-triangle

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
04-02-12 à 10:13

Bonjour à tous,

Pour réchauffer vos neurones en cette froide journée d'hiver, je vous propose de faire un peu de géométrie.

Prenons un cercle de centre O dans lequel on dessine un triangle isocèle OIJ rectangle en O comme sur la figure ci-dessous.

Joute n°61 : Tourne-triangle

On fait ensuite pivoter le triangle OIJ dans le sens horaire d'un angle x compris entre 0 et 90°, ce qui engendre le triangle ABC (colorié en vert).

Question : Pour quel angle de rotation le triangle ABC aura-t-il une surface maximale ?
Donnez l'angle en degrés, arrondi au centième le plus proche.

Posté par
totti1000
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 10:46

gagnéSalut Godefroy,

Je propose un angle d'environ 30,00°.

Merci.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 11:07

gagnéJe trouve un angle x = 30°.

Posté par
manpower
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 11:32

gagnéBonjour,

vite fait mal fait, je propose un angle de 30° (pour un rapport d'aire avoisinant 1/10 (approximativement 0,0980762114).

Merci pour l'enigmo que je concède avoir bâclé !

Posté par
manpower
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 11:33

gagnéOoops. Merci pour la joute !

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 12:02

gagnéBonjour,

Je dirais 30,00 °

MM

Posté par
pdiophante
joute n°61 04-02-12 à 12:11

gagnéBonjour,
réponse: 30°

Posté par
geo3
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 15:35

gagnéBonjour
Je pense bien que x = 30°.00
A+

Posté par
LeDino
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 15:41

gagnéBonjour,

Sauf erreur, l'angle cherché vaut 30°.

Merci pour l'énigme .

Posté par
Gryfo
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 17:31

gagnéBonjour godefroy,
je trouve que le triangle ABC aura une aire maximale (qui est environ égale à 1,23) pour un angle de rotation d'environ 30,00°.

Merci pour cette énigme

Posté par
Gryfo
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 17:33

gagnéEnfin 1,23 pour la configuration que j'ai prise, sinon ce n'est évidemment pas générale

Posté par
akub-bkub
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 21:15

gagnéSlt à tous, slt godefroy_lehardi

Je propose 30°.

Merci pour la joute.

Bien à vous tous.

Posté par
edlecoch
Re : Joute n° 61 : Tourne-triangle 04-02-12 à 23:48

perduBonjour.

x  =  24,17 degrés

Posté par
Gryfo
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 00:55

gagnéBon, maintenant je vais faire la démonstration.

Déjà il faut déterminer l'aire de ABC en fonction de l'angle x. Ce n'est vraiment pas évident du tout mais bon c'est faisable. Alors il faut d'abord choisir une configuration. C'est nécessaire sinon on aura plusieurs variables dans l'expression finale. Mais de toutes façons l'angle maximale sera pareil pour toutes les configurations.

Donc moi je vais considérer que le rayon du cercle est de 1 (on va pas se compliquer la vie). Ce qui veut dire que IO=AO=JO=1. Je trace ainsi une figure en bas du message.

Commençons par calculer les angles de ABC.

Je défini D comme étant l'intersection entre la perpendiculaire de [AO] passant par O et le cercle. On sait que OAD est un triangle rectangle isocèle : les deux angles à la base font 45°. C'est la même chose pour OIJ. Donc \widehat{OAD}=\widehat{ADO}=\widehat{OIJ}=\widehat{IJO}=\boxed{\widehat{BAC}=45°}.

Dans IBO, \widehat{IBO}=180-\widehat{BOI}-\widehat{OIB}=180-x-45=-x+135

Comme [IC] et [OA] sont sécants en un point B, alors \widehat{IBO}=\boxed{\widehat{ABC}=(-x+135)°}.

Donc dans le triangle ABC, \boxed{\widehat{BCA}=180-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}=180-45-(-x+135)=135+x-135=x}

Maintenant que nous tenons tous les angles de ABC, intéressons-nous aux longueurs de celui-ci. Calculons AB pour commencer :

À présent posons OIE le triangle rectangle en E (tel que E[IJ]).

\widehat{OBE}=180-(-x+135)=180+x-135=x+45
 \\ 
 \\ \sin(\widehat{OIE})=\dfrac{OE}{IO}
 \\ \sin(45)=\dfrac{OE}{1}
 \\ OE=\sin(45)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Dans le triangle OBE :

\sin(\widehat{OBE})=\dfrac{OE}{OB}
 \\ 
 \\ \sin(x+45)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{OB}
 \\ 
 \\ \sin(x+45)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{OB}
 \\ 
 \\ OB=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sin(x+45)}
 \\ 
 \\ OB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{\sin(x+45)}
 \\ 
 \\ OB=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin(x+45)}

Et comme AO=1 :

BA=AO-OB
 \\ \boxed{BA=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin(x+45)}}

Posons BF la hauteur du triangle ABC issue de B.

Dans le triangle FBA :

\sin(\widehat{BAF})=\dfrac{BF}{BA}
 \\ 
 \\ \sin(45)=\dfrac{BF}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin(x+45)}}
 \\ 
 \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{BF}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin(x+45)}}
 \\ 
 \\ 2BF=\sqrt{2}\times(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin(x+45)})
 \\ 
 \\ 2BF=\sqrt{2}-\dfrac{2}{2\sin(x+45)}
 \\ 
 \\ BF=\dfrac{\sqrt{2}-\dfrac{2}{2\sin(x+45)}}{2}
 \\ 
 \\ BF=(\sqrt{2}-\dfrac{2}{2\sin(x+45)})\times\dfrac{1}{2})
 \\ 
 \\ \boxed{BF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)}}

Ensuite \widehat{FBA}=180-\widehat{AFB}-\widehat{FBA}=180-90-45=45

Donc FBA est un triangle isocèle rectangle, FB=\boxed{AF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)}}

Je commence à craquer là, mais hors de question que j'arrête si près du but ! Donc avec la trigo :

\tan(\widehat{BFC})=\dfrac{BF}{FC}
 \\ 
 \\ \tan(x)=\dfrac{BF}{FC}
 \\ 
 \\ FC=\dfrac{BF}{\tan(x)}}
 \\ 
 \\ FC=BF\times\dfrac{1}{\tan(x)}
 \\ 
 \\ FC=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)})\times\dfrac{1}{\tan(x)}
 \\ 
 \\ \boxed{FC=\dfrac{\sqrt{2}}{2\tan(x)}-\dfrac{2}{(4\sin(x+45))\tan(x)}}
 \\ 
 \\ AC=AF+FC
 \\ 
 \\ \boxed{AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)}+\dfrac{\sqrt{2}}{2\tan(x)}-\dfrac{2}{(4\sin(x+45))\tan(x)}}

On connait la hauteur, on connait la base, on peut calculer l'aire :

A_{(ABC)}=\dfrac{(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)}+\dfrac{\sqrt{2}}{2\tan(x)}-\dfrac{2}{(4\sin(x+45))\tan(x)})\times(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{4\sin(x+45)})}{2}

Je continuerai demain... J'suis complètement HS là

Joute n°61 : Tourne-triangle

Posté par
edlecoch
Re : Joute n° 61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 01:50

perduRe-bonjour.

RECTIFICATION suite à une erreur d'encodage d'une colonne dans mon tableau Excel.

x  =  30,00 degrés

Posté par
masab
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 10:45

gagnéLe triangle ABC aura une surface maximale pour un angle de 30 degrés.

Pour le prouver, on calcule l'aire du triangle ABC en fonction de x.
On trouve S(x)=\frac{(1-\cos x-\sin x)^2}{4\sin x(\sin x+\cos x)}
La dérivée s'annule en x=\pi/6 ce qui correspond à un maximum de S(x).

Posté par
brubru777
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 11:05

perduBonjour,

Je trouve 30,02°.

Posté par
rschoon
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 12:48

gagnéBonjour.
Ma réponse : 30,00 degrés.
Cordialement

Posté par
Gryfo
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 13:46

gagnéBon, et donc pour finir, j'ai tapé tout ce joyeux bazar sur la calculatrice puis j'ai tout simplement déterminé l'aire maximale grâce à un tableur. Puis j'ai regardé l'angle correspondant : 30,00°. Voilà voilà

Posté par
kioups
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 13:48

gagnéSauf erreurs, je trouve un angle de 30°.

Posté par
dpi
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 15:36

perduBonjour,

Avec les sinus on arrive à X= 34°75

Posté par
The-S
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 19:07

perduBonsoir,

Bon allez, je tente... sans être sûr du résultat....

Je pense que l'aire ABC est au max pour x=45°

Bonne semaine !!

Posté par
torio
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 19:41

gagné30°

A+
torio

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 05-02-12 à 20:03

gagnéBonjour Godefroy,

Je te propose :  30,00°
et te remercie.

Posté par
leofofe
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 06-02-12 à 07:32

gagné    En considerant le repere orthonormee (O,J,I), on ecrit les equations des droites (IJ), (AD) et (OA), puis on determine les coordonnees des points B et C et du projete orthogonal H du point A sur (BC). on calcule alors la surface que l'on derive pour avoir les extremums
    On trouve enfin de compte que l'angle x vaut environ 30,00 degres

Posté par
dpi
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 06-02-12 à 09:49

perduRepenti

Une erreur dans ma réponse que je corrigerai

X=24.5048 arrondi à 24 ° 50

Posté par
ksad
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 06-02-12 à 10:55

gagnéBonjour
Je pense que la surface maximale pour le triangle ABC s'obtient pour une rotation de 30° exactement.
Sauf erreur de calcul, oeuf corse.
A bientôt

Posté par
sephdar
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 07-02-12 à 19:44

gagnéBonsoir ,

je pense qu'il faut faire une rotation de 30°

Posté par
dpi
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 08-02-12 à 15:38

perduTrigonométrie et esthétisme

En faisant cette énigme ,je suis resté sur une
mauvaise impression de trouver des angles quelconques
alors qu'il devrait y avoir une certaine symétrie.

En vérifiant une seconde fois ,je me suis apperçu qu'en
interpolant,javais recopié une formule en inversant
deux angles...

Aussi pour l'honneur je suis satisfait d'avoir cette
fois  x = 30 °00 ,ce qui est beaucoup plus exthétique

Posté par
gloubi
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 08-02-12 à 16:23

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Ma réponse: pile-poil 30 degrés.

A+  

Posté par
Barney
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 08-02-12 à 23:53

gagnéBonsoir,

30°

Posté par
tb57
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 09-02-12 à 16:37

gagnéRéponse proposée par un groupe d'élèves du LP ANDRE CITROEN - MARLY

Merci Géogebra

l'angle est de 30°

Joute n°61 : Tourne-triangle

Posté par
Stalker
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 09-02-12 à 18:26

perduJe dirais aucun vu que le triangle est isocèle rectangle et que le cercle est concentrique, que l'on pivote le trianlge de 1° ou de 90° ça change rien.

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 09-02-12 à 21:36

perduBonsoir godefroy_lehardi,

Le triangle ABC aura une surface maximale avec un angle de rotation de34,21°.

Merci pour cette joute géométrique.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 10-02-12 à 17:09

gagnéPour un angle de 30,00°.

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 12-02-12 à 13:21

perduBonjour Godefroy.
L'aire du triangle ABC est maximum quand l'angle de rotation IOA mesure 29,27 degrés.

Soit H le pied de la hauteur du triangle fixe. L'unité de longueur sera cette hauteur.
Soit d la distance IB
Les triangles OIB et CAB sont semblables et leur rapport de similitude est BI/BA.
OB² = OH²+BH² = 1+(1-d)² ou 1+(d-1)² = d²-2d+2
BA = OA-OB = √2-√(d²-2d+2)
aire du triangle OIB : d/2
aire du triangle CAB : d/2 * (√2-√(d²-2d+2))² / d² = (d²-2d+4-√(8d²-16d+16)) / 2d

Cette aire est maximum pour une valeur de d comprise entre 0,732 et 0,7321.
L'angle de rotation est 45 degrés moins l'angle dont la tangente est 1 moins cette valeur de d.

Posté par
dagwa
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 15-02-12 à 21:12

gagnéBonsoir,

je propose un angle de 30°.

Posté par
Chatof
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 19-02-12 à 02:58

gagné30°

Merci

Posté par
jonjon71
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 19-02-12 à 11:37

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

Le triangle ABC a une surface maximale pour x = 30°.

Merci!

Posté par
dakane
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 24-02-12 à 21:04

perdu31.83°

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°61 : Tourne-triangle 25-02-12 à 17:52

Clôture de l'énigme :

Pas de grandes difficultés cette fois-ci.

J'ai été moi-même surpris que ça tombe sur une valeur remarquable.
Comme l'a fait remarquer dpi , l'esthétique n'est jamais très loin de la vérité.

Posté par
lee
Exact 29-02-12 à 14:29

Salut,la réponse est 30°.

Posté par
LO_RV
Démonstration 02-03-12 à 13:43

Juste pour le fun, et parce que j'aurai bien aimé faire cette énigme quand elle est sortie, je propose une démonstration possible de ce résultat.

Pour les notations, je me suis appuyé sur ce que d'autres ont fait, juste j'ai remarqué la symétrie par rapport à l'axe (OC) et j'ai noté y la valeur des angles JOC et COB.

On obtient assez rapidement x = 90 - 2y donc cos(x) = sin(2y) et sin(x) = cons (2y)

Pour les aires, AireOCJ + AireOCI = 1/2 d'où OC*OJ*sin(y) + OC*OI*sin(90-y) = 1 donc OC*sin(y) + OC*cos(y) = 1 qui donne OC = \frac{1}{sin(y)+cos(y)}

De même, AireOBJ + AireOBI = 1/2 d'où OB*OJ*sin(90-x) + OB*OI*sin(x) = 1 donc OB*cos(x) + OB*sin(x) = 1 qui donne OB = \frac{1}{sin(x)+cos(x)}

Grâce à la symétrie on donne l'aire cherchée par la formule :
AireABC = AireOCJ - AireOBC
AireABC = OJ*OC*sin(y) - OB*OC*sin(y)
AireABC = OC*sin(y)*(1-OB)
AireABC = \frac{sin(y)}{sin(y)+cos(y)}(1 - \frac{1}{sin(x)+cos(x)})
AireABC = \frac{sin(y)}{sin(y)+cos(y)}(1 - \frac{1}{cos(2y)+sin(2y)})

On trouve y = 30° pour maximiser cette fonction. Donc x = 30° aussi.

Posté par
ming
tourne triangle 07-03-12 à 18:24

bonjour

Godefroy ayant écrit IOJ est isocèle et rectangle, j'ai considéré un triangle isocèle dont l'angle IOJ est 2a.
J'ai trouvé une aire mini de ABC quand x = 2a/3 ce qui fait bien 30° quand il est rectangle isocèle.

Est-ce exact?

AA+

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 90:03:51.


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