Univers en expansion

Posté par J-P J-P

En 17 mars 1804, 3 étoiles, Alpha, Beta et Cara accupaient respectivement les positions A, B et C.
Les astronomes ont observé que ces étoiles s'éloignaient les unes des autres tout en restant cependant toujours dans un même plan.
Leurs trajectoires sont rectilignes dans les directions et sens indiqués sur le dessin.

Leurs vitesses respectives sont constantes et telles que :
Alpha parcourt une distance égale à CA tous les 10 ans.
Beta parcourt une distance égale à AB tous les 10 ans.
Cara parcourt une distance égale à BC tous les 10 ans.

A la dernière observation par les astronomes, les 3 étoiles occupaient les sommets A', B' et C' d'un triangle dont l'aire valait 1261 fois l'aire du triangle ABC.

En quelle année cette dernière observation a-t-elle eu lieu ?
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Bonne chance à tous.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Tout d'abord rappelons une formule qui va être essentielle :
L'aire d'un triangle est égale à où et sont les longueurs des 2 côtés adjacents à l'angle .

Revenons au problème.
Notons k = (durée depuis l'avant-dernière observation)/(10 ans).
On pose classiquement a = BC, b = AC, c = AB
Alors, on a AB' = (k+1)*AB=(k+1)c et CC' = k*BC = k*a

Soit s la surface du triangle ABC.
Alors , avec theta l'angle en B.
Appliquons cette même formule au triangle BC'B' en B, d'aire S :
.

Il en est bien sûr de même pour les triangles A'CC' et A'AB'.
Alors l'aire du triangle total est S' = 3*(k*(k+1))*s + s
Or l'énoncé dit que 3k(k+1)+1 = 1261.
D'où k = 20.

La dernière observation a eu lieu 20*10 = 200 ans après le 17 mars 1804.
Cette observation a donc eu lieu en 2004.

Posté par piepalm piepalm

Si l'observation a lieu après n fois 10 ans AA'=nAC, BB'=nBA, CC'=nCB.
Si S est l'aire de ABC, l'aire de AA'B, BB'C et CC'A est nS, celle de A'BB', B'CC' et C'AA' n^2S
donc l'aire de A'B'C' est S(1+3n+3n^2)
donc 1+3n+3n^2=1261 , n(n+1)=420 et n=20
Il s'était écoulé 200 ans entre les deux observations, donc la dernière observation a eu lieu en 2004

Posté par borneo borneo

Bon allez, je tente le coup. J'ai fait un exemple chiffré dans un repère orthonormé, et je me suis servie du théorème d'Heron....

je trouve 2050.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Solution proposée : 17 mars 2004

Merci pour cette très belle énigme, (avec ou sans poisson )

Philoux

Posté par philoux (invité)

Re

Ma démo, pour voir s'il n'y a pas plus simple :

Je note k le rapport entre la distance parcourue par chaque étoile par rapport à la distance qui sert d'étalon; ainsi :

A s'éloignera de kb, b étant la distance AC,
B s'éloignera de kc, c étant la distance AB,
C s'éloignera de ka, a étant la distance BC,

Notons tout de suite que les notations et raisonnements sont circulaires : tout ce qui est écrit/démontré pour a,A,A' peut l'être pour b,B,B' et c,C,C' par permutation circulaire.

L'aire de A'CC' peut être donnée par (1/2)CC'.CA'.sin(A'C,CC') = (1/2).(ka).((k+1)b).sint

or l'aire de ABC, en considérant l'angle ACB, vaut (1/2)AC.BC.sin(BC,AC)

Les deux angles étant supplémentaires, leur sinus est identique.

S(A'CC') = (1/2).(ka).((k+1)b).sint = (k(k+1))S, S étant la surface de ABC

de même,

S(A'AB') = (k(k+1))S, S étant la surface de ABC
et
S(B'BC') = (k(k+1))S, S étant la surface de ABC

La surface S' est la somme des aires des 4 triangles : S'= S(A'CC')+S(A'AB')+S(B'BC')+S

S'=(3k(k+1)+1)S

S'/S = 1261 = 1+3k(k+1) = 3k²+3k+1

3k²+3k-1260 = 3(k-20)(k+21)

k>0 => k=20

chaque étoile s'est donc éloignée de 20 fois sa distance de référence parcourue en 10 ans.

Il leur a fallu 20*10 ans => 200 ans => 17 mars 2004

Très jolie énigme, merci J-P

Philoux

Posté par jugo jugo

Bonjour,

J'ai trouvé la relation suivante (de manière peu avouable, mais bon) :

S(d) = 3d² + 3d + 1

avec S(d) la surface de A'B'C' au bout de d décennies

Il reste à résoudre 3d² + 3d + 1 = 1261, soit d = 20
20 décennies après le 17 mars 1804, on était le 17 mars 2004.


La dernière observation a donc eu lieu en 2004

Posté par bzh (invité)

bonjour à tous,
en 10 ans la surface a doublé.
en 20 ans la surface a été multipliée par 9 .
pour que la surface soit multipliée par 1261 fois, il faut attendre 345 ans. l'observation serait donc faite en l'an 2149.
ma réponse ne me satisfait pas beaucoup, mais je n'en trouve pas d'autre.

Posté par Razibuszouzou (invité)

Très joli problème. Bravo.

Sa difficulté vient de ce qu'il n'y a pas de point fixe dans l'expansion du triangle. On ne peut pas écrire, par exemple, que la longueur AB, au bout d'un nombre N d'années, devient A'B' = AB (1 + N/10), car le point B bouge pendant que A bouge.

Etudions donc de plus près cette fameuse expansion du triangle ABC. Pour faciliter les choses, j'ai fait ci-dessous un dessin avec un triangle rectangle, mais le raisonnement serait le même avec un triangle quelconque (Il faudrait simplement rajouter des hauteurs partout).

Au départ, l'aire du triangle ABC est S = AB*BC/2

Pour passer de ABC à A'B'C', il fait rajouter au triangle ABC de départ :

-1°) le triangle rouge A'CC', dont l'aire est BC (N/10) * AB (1 + N/10)/2
-2°) le triangle bleu A'AB', dont l'aire est BC (N/10) * AB (1 + N/10)/2
-3°) le triangle vert BB'C', dont l'aire est AB (N/10) * BC (1 + N/10)/2

La somme de ces trois triangles (d'aires égales) donne :
3/2 AB*BC (N/10)(1 + N/10) = 3 S (N/10)(1 + N/10)

L'aire S' du triangle A'B'C' est donc égale à S (1 + 3 (N/10)(1 + N/10))

Ainsi, au bout de 10 ans, il faut multiplier par 7 l'aire initiale, au bout de 20 ans par 19, au bout de 30 ans par 37, etc...

Il nous faut maintenant calculer N pour que S'/S = 1261
1 + 3 (N/10)(1 + N/10) = 1261
(N/10)(1 + N/10) = 420
Et donc N = 200 ans tout pile.
La nouvelle observation a eu lieu en 2004, sans doute le 17 mars, si la précision des observations est parfaite !

Posté par levrainico (invité)

Au bout de 10 ans, l'aire du triangle AB'A' vaut 2 fois l'aire du triangle ABC
Au bout de 20 ans, l'aire du triangle AB'A' vaut (3*2) fois l'aire du triangle ABC
...
Au bout de n*10 ans, l'aire du triangle AB'A' vaut (n*(n+1)) fois l'aire du triangle ABC
il est de meme pour les triangles BC'B' et CA'C'

Ainsi, au bout de n*10 ans,
l'aire du triangle A'B'C'= aire ABC+ aire AB'A'+ aire BC'B'+ aire CA'C'
-> aire A'B'C'= aire ABC * (1+ n*(n+1) + n*(n+1) + n*(n+1))
-> aire A'B'C'= aire ABC * (1+ 3*n*(n+1))

A la dernière observation par les astronomes, les 3 étoiles occupaient les sommets A', B' et C' d'un triangle dont l'aire valait 1261 fois l'aire du triangle ABC.
ainsi, 1261=1+ 3*n*(n+1)
donc n=20
la dernière observation a eu lieu 20*10 ans apres la première soit 200 ans apres.
elle a eu lieu en 2004

Posté par Spaceman20 (invité)

en 1912

Posté par sof (invité)

cette observation a eu lieu en 2009.

Posté par la_brintouille la_brintouille

cette mesure a eu lieu en 2004

Posté par elda elda

en 1999

Posté par paulo paulo

bonjour,

cela fait 2 jours que je retrouve le meme resultat mais ce qui me perturbe c'est que dans votre question vous demandez  : en quelle année cette derniere observation  "a-t-elle eu lieu?

et moi je touve qu'elle aura lieu plus tard

si n est le nombre de dizaine d'années on trouve avec un raisonnement par recurence de la surface qui est racine du demi perimetre et des cotes

         (n+1)²=1261

cequi donne n=34,511
le nombre d'annees set donc de 345
ce qui nous donne comme resultat final

               annee  2149

exactement le 26 avril 2149 à 4 H 20 minutes du matin


allez , merci pour le poisson , mais quand meme avec quelquechose autour des aretes


encor merci pour cette enigme

salutations

Paulo

ue

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée:

Solution.

Soit n le nombre de tranches de 10 ans entre les 2 mesures.

CC' = n.BC
H = (n+1).h

-> aire(A'CC') = n.(n-1)*Aire(ABC)

On démontre de manière analogue:
aire(B'BC') = n.(n-1)*Aire(ABC)
aire(A'AB') = n.(n-1)*Aire(ABC)

On a donc aire(A'B'C') = 3*n.(n-1)*Aire(ABC) + Aire (ABC)

Aire(A'B'C')/Aire(ABC) = 3n(n+1) + 1

Et on a donc: 3n(n+1) + 1 = 1261

3n²+3n - 1260 = 0
dont la solution positive est n = 20

Il y a donc 10*20 = 200 ans entre les deux mesures.

La dernière a donc eu lieu en 1804 + 200 = 2004
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Posté par elda elda

zut tanpis.
c'est dommage pour ceux qui ont répondu une date après 2005 car étant donné que c'était "a eut lieu" c'était forcément avant.

Posté par paulo paulo

bonsoir, je ne comprends pas ou est la faute dans mon raisonnement; C'est long a ecrire  surtout en latex.


soit s la surface initiale

on a : ou p est le demi perimetre
jusque la rien a dire je suppose

donc :
        
        

appelons S la surface prise par le triangle aux periodes decennales.




      
        
        
faisons de meme pour n=2

(je l'ai fait meme pour 3 et 4 mais en faisant un copier coller je l'ai effacé)




on peut en deduire que pour


      
        
        

on peut alors faire le rapport :




donc

donc

et n=34,511 est la racine >0 de n²+2n-1260=0


voila je fait et refait car je trouvais un resultat > 2004 mais je ne vois pas ou est mon erreur

a plus tard et merci de me lire

Paulo

Posté par J-P J-P

Salut paulo,

Si je regarde tes formules de S et de S10, tu considères que le triangle correspondant à S10 a des cotés 2 fois plus grands que ceux du triangle qui correspond à S.

C'est faux.

On a bien |BC10| = 2.|BC| mais on n'a pas |B10C10| = 2.|BC|

Posté par paulo paulo

bonsoir J-P


en fait j'ai raisonne sur une formule de surface sans faire de figure et effectivement je me suis completement plante.
excuses pour le derangement
Paulo