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Matrices et suites
Posté le 05-02-12 à 11:50
Posté par 
Ekofisk Ekofisk
Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice dans lequel je bloque dès la première question.
On me donne la matrice A= 0 x x²
1/x 0 x
1/x² 1/x 0
Désolé pour les espacements...
On me demande en première question de montrer qu'il existe deux téels
et 
tels que (A-I3)(A-I3)=0, avec I3 la matrice identité 3x3.
J'ai essayé de prouver cela en disant que A
0, I30, AI30, A²0 et I3²0 et que donc soit et ou les deux étaient égaux à 0.
Merci d'avance pour vos réponses.
Ekofisk EkofiskBonjour, j'ai un petit problème avec un exercice dans lequel je bloque dès la première question.
On me donne la matrice A= 0 x x²
1/x 0 x
1/x² 1/x 0
Désolé pour les espacements...
On me demande en première question de montrer qu'il existe deux téels
et tels que (A-I3)(A-I3)=0, avec I3 la matrice identité 3x3.J'ai essayé de prouver cela en disant que A
0, I30, AI30, A²0 et I3²0 et que donc soit et ou les deux étaient égaux à 0.Merci d'avance pour vos réponses.
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 12:13
Posté le 05-02-12 à 12:13Posté par carpediem carpediem
salut
n'importe quoi
calcule A - aI et A - bI puis leur produit et identifie à la matrice nulle
tu auras alors un système à résoudre d'inconnues a et b ....
carpediem carpediemsalut
n'importe quoi
calcule A - aI et A - bI puis leur produit et identifie à la matrice nulle
tu auras alors un système à résoudre d'inconnues a et b ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 12:55
Posté le 05-02-12 à 12:55Posté par Ekofisk Ekofisk
J'ai réussi, je suis désormais bloqué a une autre question toujours dans le même exercice ou je dois démontrer que An=
nA + 
nI3.
Et je ne vois pas par ou commencer. Merci.
Ekofisk EkofiskJ'ai réussi, je suis désormais bloqué a une autre question toujours dans le même exercice ou je dois démontrer que An=
nA + nI3.Et je ne vois pas par ou commencer. Merci.
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 13:34
Posté le 05-02-12 à 13:34Posté par carpediem carpediem
alors quels coefficients as-tu trouvé ?
en tout cas (A - aI)(A - bI) = 0 <==> A2 = ...
donc par récurrence tu peux montrer que toute puissance de A est combinaison linéaire de A et I
carpediem carpediemalors quels coefficients as-tu trouvé ?
en tout cas (A - aI)(A - bI) = 0 <==> A2 = ...
donc par récurrence tu peux montrer que toute puissance de A est combinaison linéaire de A et I
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 13:40
Posté le 05-02-12 à 13:40Posté par Ekofisk Ekofisk
J'ai A² = (+)AI3 - I3²
Cependant je ne vois pas par ou commencer la récurrence...
Ekofisk EkofiskJ'ai A² = (
+)AI3 - I3²Cependant je ne vois pas par ou commencer la récurrence...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 14:01
Posté le 05-02-12 à 14:01Posté par Ekofisk Ekofisk
Je trouve que le systèmes a une infinité de solutions donc différentes valeurs pour a et b !
Ekofisk EkofiskJe trouve que le systèmes a une infinité de solutions donc différentes valeurs pour a et b !
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 14:24
Posté le 05-02-12 à 14:24Posté par Ekofisk Ekofisk
Pour A-aI je trouve la matrice A avec des -a à la place des 0 et de même pour A-bI avec des -b à la place des 0.
Ekofisk EkofiskPour A-aI je trouve la matrice A avec des -a à la place des 0 et de même pour A-bI avec des -b à la place des 0.
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 14:57
Posté le 05-02-12 à 14:57Posté par carpediem carpediem
et alors ....?
ab = -2
a + b = 1
on cherche donc deux nombres connaissant leur somme et leur produit ....
carpediem carpediemet alors ....?
ab = -2
a + b = 1
on cherche donc deux nombres connaissant leur somme et leur produit ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:04
Posté le 05-02-12 à 15:04Posté par carpediem carpediem
enfin ..... mais c'est toujours faux .....
de toute façon il y a symétrie en a et b .....
carpediem carpediemenfin ..... mais c'est toujours faux .....
de toute façon il y a symétrie en a et b .....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:06
Posté le 05-02-12 à 15:06Posté par Ekofisk Ekofisk
Aide moi dans ce cas car je n'y arrive vraiment pas malgré toute ma bonne volonté...
Ekofisk EkofiskAide moi dans ce cas car je n'y arrive vraiment pas malgré toute ma bonne volonté...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:10
Posté le 05-02-12 à 15:10Posté par carpediem carpediem
résous proprement ce système .... !!!!!! au lieu de vouloir faire sans faire ....
il est temps d'apprendre à travailler avec rigueur et faire les efforts nécessaires pour aller jusqu'au bout ..... et que ce soit exact ...
carpediem carpediemrésous proprement ce système .... !!!!!! au lieu de vouloir faire sans faire ....
il est temps d'apprendre à travailler avec rigueur et faire les efforts nécessaires pour aller jusqu'au bout ..... et que ce soit exact ...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:11
Posté le 05-02-12 à 15:11Posté par carpediem carpediem
ce n'est pas une question de bonne volonté mais de se fatiguer .... si nécessaire !!!!
carpediem carpediemce n'est pas une question de bonne volonté mais de se fatiguer .... si nécessaire !!!!
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:12
Posté le 05-02-12 à 15:12Posté par Ekofisk Ekofisk
J'aimerais résoudre ce système sauf que je n'y arrive pas, ce qui est évident pour toi ne l'est pas forcément pour les autres, nous ne sommes pas tous des Dieux en Maths, je demande juste un commencement si je suis venu sur le forum c'est pour avoir de l'aide et pas pour que l'on joue les pères avec moi !
Ekofisk EkofiskJ'aimerais résoudre ce système sauf que je n'y arrive pas, ce qui est évident pour toi ne l'est pas forcément pour les autres, nous ne sommes pas tous des Dieux en Maths, je demande juste un commencement si je suis venu sur le forum c'est pour avoir de l'aide et pas pour que l'on joue les pères avec moi !
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:26
Posté le 05-02-12 à 15:26Posté par carpediem carpediem
c'est un système de niveau lycée !!!
il n'est pas question d'être un dieu il est question de se fatiguer !!!!!!!!!!!!!!
ce que tu n'as pas l'air de vouloir faire et ce depuis le début de l'exercice ....
il n'ai que de voir ta phrase "j'ai essayé ...." qui est du grand n'importe quoi et montre que tu n'es pas près à faire le moindre effort pour obtenir un résultat correct
alors mets toi au travail sérieusement !!
carpediem carpediemc'est un système de niveau lycée !!!
il n'est pas question d'être un dieu il est question de se fatiguer !!!!!!!!!!!!!!
ce que tu n'as pas l'air de vouloir faire et ce depuis le début de l'exercice ....
il n'ai que de voir ta phrase "j'ai essayé ...." qui est du grand n'importe quoi et montre que tu n'es pas près à faire le moindre effort pour obtenir un résultat correct
alors mets toi au travail sérieusement !!
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:34
Posté le 05-02-12 à 15:34Posté par Ekofisk Ekofisk
J'ai donc a+b=1 qui me donne a=(1-b) en remplaçant dans b(1-b)=-2 j'obtiens -b²+b+2=0 je trouve donc b=2 ou b=-1 c'est bon ?
Ekofisk EkofiskJ'ai donc a+b=1 qui me donne a=(1-b) en remplaçant dans b(1-b)=-2 j'obtiens -b²+b+2=0 je trouve donc b=2 ou b=-1 c'est bon ?
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:39
Posté le 05-02-12 à 15:39Posté par carpediem carpediem
excuse moi en fait de t'avoir induit (e) en erreur ....
oui c'est bon ....
donc (A -2I)( A + I) = 0 et A2 = ....
carpediem carpediemexcuse moi en fait de t'avoir induit (e) en erreur ....
oui c'est bon ....
donc (A -2I)( A + I) = 0 et A2 = ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:42
Posté le 05-02-12 à 15:42Posté par Ekofisk Ekofisk
Ce n'est pas grave...
Oui mais il faut que je prenne b=2 ou b=-1 car si après je remplace dans l'équation a=1-b j'ai soit a=1-2=-1 soit a=1-1=2 mais le second ne serait pas cohérent.
Ekofisk EkofiskCe n'est pas grave...
Oui mais il faut que je prenne b=2 ou b=-1 car si après je remplace dans l'équation a=1-b j'ai soit a=1-2=-1 soit a=1-1=2 mais le second ne serait pas cohérent.
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:47
Posté le 05-02-12 à 15:47Posté par carpediem carpediem
ça n'est pas génant car
ab = ba et a+b = b+a
donc c'est comme tu veux ....
a et b sont les deux solutions de l'équation x2 - x - 2 = 0 tout comme 2 et -1 le sont .....
carpediem carpediemça n'est pas génant car
ab = ba et a+b = b+a
donc c'est comme tu veux ....
a et b sont les deux solutions de l'équation x2 - x - 2 = 0 tout comme 2 et -1 le sont .....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:52
Posté le 05-02-12 à 15:52Posté par Ekofisk Ekofisk
Merci ça me rassure !
Je trouve donc A²= AI3 + 2I3 mais après au niveau de la récurrence je ne sais pas par ou commencer !
Ekofisk EkofiskMerci ça me rassure !
Je trouve donc A²= AI3 + 2I3 mais après au niveau de la récurrence je ne sais pas par ou commencer !
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 15:57
Posté le 05-02-12 à 15:57Posté par carpediem carpediem
hyppothèse de récurrence :::
P(n) :: "An = anA + bnI"
A = 1A + 0I et A2 = 1A + 2I
donc P(1) (et P(2)) est vraie
calcule alors An+1 = A * An en remplaceant An par l'hypothèse de récurrence ....
carpediem carpediemhyppothèse de récurrence :::
P(n) :: "An = anA + bnI"
A = 1A + 0I et A2 = 1A + 2I
donc P(1) (et P(2)) est vraie
calcule alors An+1 = A * An en remplaceant An par l'hypothèse de récurrence ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:06
Posté le 05-02-12 à 16:06Posté par Ekofisk Ekofisk
J'ai donc An+1=A(anA + bnI3) mais je ne vois pas comment je peux avancer et prouver que la propriété est vraie au rang n+1...
Ekofisk EkofiskJ'ai donc An+1=A(anA + bnI3) mais je ne vois pas comment je peux avancer et prouver que la propriété est vraie au rang n+1...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:11
Posté le 05-02-12 à 16:11Posté par carpediem carpediem
tu développes et tu remplaces A2 par son expression ... et tu auras
An+1 = an+1A + bn+1I
et an+1 et bn+1 en fonction de an et bn
...donc P(n+1)sera vraie ...
et tu peux conclure ....
carpediem carpediemtu développes et tu remplaces A2 par son expression ... et tu auras
An+1 = an+1A + bn+1I
et an+1 et bn+1 en fonction de an et bn
...donc P(n+1)sera vraie ...
et tu peux conclure ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:17
Posté le 05-02-12 à 16:17Posté par Ekofisk Ekofisk
Donc si j'ai bien compris j'ai An+1=an(A + 2I) + bnAI mais je n'arrive pas du tout a faire apparaître la propriété au rang n+1
Ekofisk EkofiskDonc si j'ai bien compris j'ai An+1=an(A + 2I) + bnAI mais je n'arrive pas du tout a faire apparaître la propriété au rang n+1
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:24
Posté le 05-02-12 à 16:24Posté par carpediem carpediem
c'est quoi ce AI....
c'est quoi cet indice n+2 ....
et inutile de" t'embeter avec un indice 3 à I ....
reprend proprement les calculs
pour avoir An+1 = (...)A + (...)I
et détermine proprement ces deux coefficients
carpediem carpediemc'est quoi ce AI....
c'est quoi cet indice n+2 ....
et inutile de" t'embeter avec un indice 3 à I ....
reprend proprement les calculs
pour avoir An+1 = (...)A + (...)I
et détermine proprement ces deux coefficients
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:30
Posté le 05-02-12 à 16:30Posté par Ekofisk Ekofisk
Je reprends,
An+1=AxAn d'ou An+1=A(anA+bnI) je développe mon A ce qui donne An+1=anA²+bnAI ce qui me donne ensuite An+1=an(A+2I) + bnAI ...
Ekofisk EkofiskJe reprends,
An+1=AxAn d'ou An+1=A(anA+bnI) je développe mon A ce qui donne An+1=anA²+bnAI ce qui me donne ensuite An+1=an(A+2I) + bnAI ...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:46
Posté le 05-02-12 à 16:46Posté par Ekofisk Ekofisk
Dans mon expression j'ai toujours des an et b[sub][/sub]n c'est rageant surtout que c'est la dernière question de l'exercice...
Ekofisk EkofiskDans mon expression j'ai toujours des an et b[sub][/sub]n c'est rageant surtout que c'est la dernière question de l'exercice...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:53
Posté le 05-02-12 à 16:53Posté par carpediem carpediem
c'est normal mais as-tu lu l'avant dernière ligne de mon dernier postv??
développe ton expression et factorise par A ce que tu peux et par I ce que tu peux ...
ensuite il serait bien de lire les questions suivantes de ton exercice ....
carpediem carpediemc'est normal mais as-tu lu l'avant dernière ligne de mon dernier postv??
développe ton expression et factorise par A ce que tu peux et par I ce que tu peux ...
ensuite il serait bien de lire les questions suivantes de ton exercice ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 16:59
Posté le 05-02-12 à 16:59Posté par Ekofisk Ekofisk
Sauf qu'une fois développé j'ai An+1=anA +an2I + bnAI et je n'a pas beaucoup de possibilité pour factoriser...
Ekofisk EkofiskSauf qu'une fois développé j'ai An+1=anA +an2I + bnAI et je n'a pas beaucoup de possibilité pour factoriser...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 17:12
Posté le 05-02-12 à 17:12Posté par carpediem carpediem
C'EST QUOI CE AI !!!!!
relis ce qui précède et reprend calmement le tout ....
carpediem carpediemC'EST QUOI CE AI !!!!!
relis ce qui précède et reprend calmement le tout ....
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 17:34
Posté le 05-02-12 à 17:34Posté par Ekofisk Ekofisk
La matrice identité n'est pas nulle donc je ne vois pas comment transformer le AI...
Ekofisk EkofiskLa matrice identité n'est pas nulle donc je ne vois pas comment transformer le AI...
re : Matrices et suites Posté le 05-02-12 à 17:45
Posté le 05-02-12 à 17:45Posté par Ekofisk Ekofisk
Je retourne cette récurrence dans tous les sens et je n'arrive décidément pas a trouver la relation avec n+1...
Ekofisk EkofiskJe retourne cette récurrence dans tous les sens et je n'arrive décidément pas a trouver la relation avec n+1...
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