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Suites numériques.
Posté le 05-02-12 à 15:02
Posté par 
anit anit
Bonjour j'ai un exercice à faire et je bloque dès la première question si quelqu'un pourrait m'aider à me débloquer je pourrai poursuivre l'exo...
Voici l'énoncé:
Pour n
* on note (En) l'équation d'inconnue x
*+
(En) x+ln(x)= n
1.Montrer que pour
n*, l'équation (En) a une unique solution. Cette solution sera notée xn.
2.Montrer que la suite (xn)est strictement croissante.
3.Montrer que lim xn=+
.
4.Montrer que xn équivalent à n.
5.Montrer que xn=n-ln(n)+o(ln(n)).
Pourriez vous m'aider pour la question 1. pour que je puisse démarrer et me donner des indication pour les autres questions...Merci.
anit anitBonjour j'ai un exercice à faire et je bloque dès la première question si quelqu'un pourrait m'aider à me débloquer je pourrai poursuivre l'exo...
Voici l'énoncé:
Pour n
* on note (En) l'équation d'inconnue x*+(En) x+ln(x)= n
1.Montrer que pour
n*, l'équation (En) a une unique solution. Cette solution sera notée xn.2.Montrer que la suite (xn)est strictement croissante.
3.Montrer que lim xn=+
.4.Montrer que xn équivalent à n.
5.Montrer que xn=n-ln(n)+o(ln(n)).
Pourriez vous m'aider pour la question 1. pour que je puisse démarrer et me donner des indication pour les autres questions...Merci.
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 15:05
Posté le 05-02-12 à 15:05Posté par carpediem carpediem
salut
étudie (les variations de) la fonction f(x) = x + ln(x) - n et utilise le TVI ....
carpediem carpediemsalut
étudie (les variations de) la fonction f(x) = x + ln(x) - n et utilise le TVI ....
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 15:45
Posté le 05-02-12 à 15:45Posté par anit anit
donc je trouve que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est égale à - et limite de f(x) quand x tend vers + est égale à + or 0]-,+[ donc d'après le corollaire des valeurs intermédiaires, on peut affirmer qu'il y a existence d'une seule solution l pour l'équation f(x)=0..
C'est bien ça? donc l qui est ma solution doit s'exprimer en fonction de n alors...comment je fais pour cela?
anit anitdonc je trouve que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est égale à -
et limite de f(x) quand x tend vers + est égale à + or 0]-,+[ donc d'après le corollaire des valeurs intermédiaires, on peut affirmer qu'il y a existence d'une seule solution l pour l'équation f(x)=0..C'est bien ça? donc l qui est ma solution doit s'exprimer en fonction de n alors...comment je fais pour cela?
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 15:51
Posté le 05-02-12 à 15:51Posté par carpediem carpediem
après 2) et 3) 4) devient trivial car
x + ln(x) = n <==> x(1+ln(x)/x) = n
et lim ln(x)/x --> ? quand x --> +oo
carpediem carpediemaprès 2) et 3) 4) devient trivial car
x + ln(x) = n <==> x(1+ln(x)/x) = n
et lim ln(x)/x --> ? quand x --> +oo
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 16:09
Posté le 05-02-12 à 16:09Posté par carpediem carpediem
donc x
n
... je ne mets pas l'indice....
tu dois trouver un équivalent
tu n'auras pas d'expression ...
carpediem carpediemdonc x
n... je ne mets pas l'indice....
tu dois trouver un équivalent
tu n'auras pas d'expression ...
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 16:13
Posté le 05-02-12 à 16:13Posté par anit anit
ah ok, je pensais qu'on allait une expression de xn et qu'à partir de ça l'étudier pour trouver qu'elle croissante et sa limite...
anit anitah ok, je pensais qu'on allait une expression de xn et qu'à partir de ça l'étudier pour trouver qu'elle croissante et sa limite...
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 16:25
Posté le 05-02-12 à 16:25Posté par anit anit
oui, d'accord. Donc je dois prendre l'expression x+ln (x) =n et montrer qu'elle est croissante?
anit anitoui, d'accord. Donc je dois prendre l'expression x+ln (x) =n et montrer qu'elle est croissante?
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 16:50
Posté le 05-02-12 à 16:50Posté par carpediem carpediem
tu sais que f est strictement croissante
calcule y = fn+1(xn sachant que fn(xn) = 0
si y < 0 alors xn < xn+1 puisque f est croissante
si y> 0 alors ....
bien évidemment ici on doit tomber sur le premier cas .....
carpediem carpediemtu sais que f est strictement croissante
calcule y = fn+1(xn sachant que fn(xn) = 0
si y < 0 alors xn < xn+1 puisque f est croissante
si y> 0 alors ....
bien évidemment ici on doit tomber sur le premier cas .....
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 17:07
Posté le 05-02-12 à 17:07Posté par anit anit
donc j'ai fn(x)=x+ln(x)-n
donc fn(xn)=xn+ln(xn)-n=0
fn+1(xn)=xn+ln(xn)-(n+1)
c'est bien ça?
anit anitdonc j'ai fn(x)=x+ln(x)-n
donc fn(xn)=xn+ln(xn)-n=0
fn+1(xn)=xn+ln(xn)-(n+1)
c'est bien ça?
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 17:15
Posté le 05-02-12 à 17:15Posté par anit anit
comme j'ai y<0 donc xn<xn+1 car f est croissante donc la suite xn est croissante.
anit anitcomme j'ai y<0 donc xn<xn+1 car f est croissante donc la suite xn est croissante.
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 17:29
Posté le 05-02-12 à 17:29Posté par carpediem carpediem
... même si tu n'as pas tord
xn = x(n) ...
x est donc fonction de la variable n ....
carpediem carpediem... même si tu n'as pas tord
xn = x(n) ...
x est donc fonction de la variable n ....
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 17:58
Posté le 05-02-12 à 17:58Posté par anit anit
comme on a f(xn)=xn+ln(xn)-n=0,
donc cela nous fait xn+ln(xn)=n
or n doit tendre vers l'infini...donc xn tend forcement vers l'infini...
Je sais pas si on peut dire ça...
anit anitcomme on a f(xn)=xn+ln(xn)-n=0,
donc cela nous fait xn+ln(xn)=n
or n doit tendre vers l'infini...donc xn tend forcement vers l'infini...
Je sais pas si on peut dire ça...
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 19:02
Posté le 05-02-12 à 19:02Posté par carpediem carpediem
donc quel est le signe de fn(n/2) ...
or f est croissante et fn(xn) = 0 donc ....
carpediem carpediemdonc quel est le signe de fn(n/2) ...
or f est croissante et fn(xn) = 0 donc ....
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 19:05
Posté le 05-02-12 à 19:05Posté par anit anit
c'est négatif...comme f est croissante et f n(xn)=0, lim x[sub]n=+
...
c'est bien ça?
anit anitc'est négatif...comme f est croissante et f n(xn)=0, lim x[sub]n=+
...c'est bien ça?
re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 19:21
Posté le 05-02-12 à 19:21Posté par anit anit
ok...comme xn=+ et est strictement croissante on a x(1+lnx/x)=n
donc comme lim lnx/x quand x tend vers +inf=0 on x0...
anit anitok...comme xn=+
et est strictement croissante on a x(1+lnx/x)=ndonc comme lim lnx/x quand x tend vers +inf=0 on x
0...re : Suites numériques. Posté le 05-02-12 à 20:02
Posté le 05-02-12 à 20:02Posté par carpediem carpediem
ben ... c'est ce qu'on veut montrer
pour l'instant x = n + o(n) est un équivalent à l'ordre 0
et on veut aller plus loin ...
carpediem carpediemben ... c'est ce qu'on veut montrer
pour l'instant x = n + o(n) est un équivalent à l'ordre 0
et on veut aller plus loin ...
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