Complexes et transformations

Posté par monette1967 monette1967

Bonjour à tous ! J'aurais besoin d'une petit coup de pouce pour un petit exo s'il vous plaît. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance !

énoncé : On considère l'homothétie h de rapport 3 et de centre I(3;0) et l'homothétie h' de rapport 2 et de centre J(1;2).

a) Donner l'écriture complexe de h, de h' et de hoh'.

b) Démontrer que hoh' est une homothétie dont on précisera le centre, noté K, et le rapport.

c) Démontrer que les points K, I et J sont alignés.

Voilà, merci si vous pouvez m'aider un peu.

Posté par monette1967 monette1967

Pour la question a), comment je dois faire avec les coordonnées ? Est-ce que l'affixe de Omega ici est 3 ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Bonjour, c'est quoi la formule de la transformation par une homothétie ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

C'est quoi le centre de l'homothétie ici ?

Posté par monette1967 monette1967

Bonjour ! Alors je pars de M = kM' (vecteurs)

Posté par monette1967 monette1967

Désolée, inversion M et M'. Ici on prend I au lieu d'Omega.

Posté par Ragadorn Ragadorn

Voilà, si tu prends z et z', tu auras l'écriture de h, puis de h'.

Posté par monette1967 monette1967

avec z = 3 + 0i = 3 ? Dans ce cas que vaut z' ?

Posté par monette1967 monette1967

z' = k(z-z) + z... avec z = 3 ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oulà, en partant de l'expression avec les vecteurs, tu as z-3=k(z'-3).

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui, c'est ça, et k=combien ?

Posté par monette1967 monette1967

Et le point z, comment je peux  le déterminer ici ?

Posté par monette1967 monette1967

k = 3 (le rapport)

Posté par Ragadorn Ragadorn

On te demande juste l'expression de l'homothétie, pour l'instant on te demande pas de trouver z. z et z' sont des points abstraits subissant la transformation.

Posté par monette1967 monette1967

On a z-3 = k(z'-3)

avec k = 3

on arrive à z=3z'-6

Posté par monette1967 monette1967

Il n'y a pas eu une inversion entre z et z' ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Si, c'est parce que sans faire attention je suis parti de ton expression vectorielle alors qu'elle était fausse, normalement c'est IM'=kIM, donc z'-3=3(z-3).

Posté par monette1967 monette1967

Donc l'écriture complexe de h c'est z' = 3z - 6.
Pour h' même raisonnement. Sauf que oméga ici vaut 1 + 2i c'est bien ça ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui c'est ça.

Posté par monette1967 monette1967

Pour h' on a comme écriture complexe z' = 2z-2i -1.

Posté par Ragadorn Ragadorn

C'est ça.

Posté par monette1967 monette1967

Après pour hoh' comment est-ce que je peux mettre en relation les deux résultats précédents ? C'est la première fois que je vois ce genre de question...

Posté par monette1967 monette1967

J'ai trouvé. Pour hoh' on a comme écriture complexe hoh' =

Posté par monette1967 monette1967

Désolée, souci de PC... on a hoh' = 6z - 2i - 13.

Posté par Ragadorn Ragadorn

Hum, c'est bizarre je trouve pas ça. Vérifie tes calculs.

Posté par monette1967 monette1967

J'ai fait h(x) = 3z-6 et h'(x) = 2z-2i-1
hoh' = h[h'(x)] = h(2z-2i-1) = 2(3z-6)-2i-1 = 6z - 2i - 13.

Posté par Ragadorn Ragadorn

C'est bon jusqu'à h(2z-2i-1), mais après tu inverses je sais pas pourquoi xD.

Posté par monette1967 monette1967

J'inverse le -2i et le - 13 ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Regarde, si tu écris h(2z-2i-1), ça veut que dans la transformation h, tu introduit 2z-2i-1, or la transformation h c'est 3z-6, donc au final on a : 3(2z-2i-1)-6, et non pas l'inverse.

Posté par monette1967 monette1967

Oui ! Et on trouve le rapport ! C'est égal à 3(2z-2i-3) donc rapport = 3 (j'anticpe un peu sur la question 2 non?)

Posté par Ragadorn Ragadorn

Non, je te signale que pour montrer qu'il y a homothétie, le z doit être sans chiffre devant, et que le nombre complexe à l'intérieur de la parenthèse doit être égal au nombre complexe à l'extérieur de la parenthèse, comme dans la formule z'=k(z-w)+w. Là pour la question 1, développes et tu auras terminé, on pourra passer à la question 2.

Posté par monette1967 monette1967

Donc si je laisse sous la forme z' = 6z - 6i - 9, ça va ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui, maintenant faut transformer cette expression pour montrer que c'est une homothétie. D'après toi déjà, quel sera le rapport ?

Posté par monette1967 monette1967

Une homothétie de rapport 3.

Posté par Ragadorn Ragadorn

Pourquoi ?

Posté par monette1967 monette1967

Désolée, je n'ai pas détaillé. Je remarque les les coefficients peuvent être simplifiés par 3 (6 =3*2 et 9 = 3*3).

Posté par Ragadorn Ragadorn

Je te l'ai dit, pour montrer que c'est une homothétie, il faut trouver une écriture de la forme k(z-w)+w, or comme tu le vois il n'est pas censé y avoir de nombre devant z. Là si tu factorises par 3 qu'est-ce qui va se passer ?

Posté par monette1967 monette1967

Pour le "pas de nombre devant la formule" ça ok, je sais pas pourquoi je veux absolument factoriser... j'ai un résultat sous la forme z' = k(z-w)+w...

Posté par Ragadorn Ragadorn

Tu as trouvé que z'=6z-9-6i, est-ce que ça ressemble à la forme z'=k(z-w)+w ?

Posté par monette1967 monette1967

Je suis désolée mais je ne vois vraiment pas... ça doit être bête non ?

Posté par monette1967 monette1967

Non, on doit avoir z' =

Posté par Ragadorn Ragadorn

Non il y a du calcul à faire. Tu as trouvé que z'=6z-9-6i, on te demande de prouver que c'est une homothétie, donc il faut qu'on puisse transformer z' en quelque chose de la forme k(z-w)+w, tu comprends là ou pas ?

Posté par monette1967 monette1967

Z' = k(z-w)+w
z' = k(6+9+6i) + 9+6i ?

Posté par monette1967 monette1967

(Désolée j n'avais oublié de recharger la page))

Posté par Ragadorn Ragadorn

Déjà, si on a z'=6z-9-6i, et que l'on veut avoir z'=k(z-w)+w, par quoi doit-on factoriser z ?

Posté par monette1967 monette1967

z sera factorisé par 6.

Posté par Ragadorn Ragadorn

Oui, donc le rapport k est égal à ?

Posté par monette1967 monette1967

Le rapport k =6.

Posté par monette1967 monette1967

En fait je ne dois pas redémontré ce qu'est une homothétie, je dois juste partir de l'écriture et montrer qu'on peut écrire sous cette forme ?

Posté par Ragadorn Ragadorn

Voilà. Maintenant que tu connais le rapport, ça veut dire qu'on a :
z'=6z-9-6i=6(z-w)+w. Il faut montrer qu'il existe un permettant de passer d'une forme à l'autre. Si on part de 6(z-w)+w, alors on peut écrire 6z-6w+w. Ca veut dire qu'il faudrait que 6z-6w+w=6z-9-6i, donc que -6w+w=-9-6i. De là tu peux en déduire le w qui sera le centre, et de quelle manière tu pourras décomposer -9-6i pour obtenir l'écriture de l'homothétie. Tu as compris jusque là ?