Dérivée Seconde dans une étude de fonction

Posté par kurtangle kurtangle

Bonjour à tous,
Notre prof de maths nous a donné l'exercice suivant:
Etudiez la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par f(x)= (1/x) + x ln x.
Représentez graphiquement f.
Il a aussi ajouté la consigne suivante:

"Cherchez l'utilité de la dérivée seconde dans une étude de fonction, et l'utiliser ici".

Donc voilà, j'ai peur de trop m'avancer dans l'étude de fonction sans passer par la dérivée seconde..
Donc pour l'instant, j'ai juste fait les limites aux bornes et la dérivée première..

Quelqu'un pour m'aider sur l'utilité de cette fameuse dérivé seconde? Merci

Posté par malou malou

Bonsoir

le problème est que tu ne vas pas savoir étudier le signe de ta dérivée f'

donc tu vas calculer f", étudier son signe, et en déduire les variations de f', et alors tu pourras obtenir le signe de f', et là tu pourras étudier les variations de f

Posté par kurtangle kurtangle

D'accord, ca marche.
Je crois avoir fais une erreur sur ma dérivée :

f'(x) = (1/x)-(1/x²)(x ln (x))
f'(x) = 1/x - (x ln x)/x²
f'(x) = (x- x ln x)/ x²

Posté par malou malou

attention effectivement, tu n'as pas dérivé le 1/x du début
et la suite est un produit que tu dois dériver comme tel....

à revoir donc, réessaie

Posté par kurtangle kurtangle

f'(x) = -(1/x²) +  x ln x? :S

J'ai dérvié x ln x comme uv, mais je suis pas sur la non plus :X

Posté par malou malou

OK pour le début

mais pas pour xlnx

(UV)'=U'V+UV'

pose U=x
et V = lnx

Posté par kurtangle kurtangle

Ah oui, j'avais laissé trainer un x...

Donc, f'(x) = -(1/x²) + Ln (x) + 1 ?

Posté par malou malou

très bien

et là tu vois que tu ne sais pas étudier son signe

donc, tu vas calculer f"(x)

je vais devoir t'abandonner....
je viens voir demain la suite..;tu peux poster....

Posté par kurtangle kurtangle

Merci malou. Bonne soirée à toi.

Donc, f''(x)=  (2x/x^4) + 1/x ?

Soit, sur ]0; + infini[, f''(x) strictement positif, donc f'(x) strictement croissante?

Et.. ?

Posté par Hadrian Hadrian

Bonsoir,

(-1/x²)'=2/x³
(lnx)'=1/x

f''(x)=2/x³+ 1/x

Bien, maintenant, on sais que, f'' est positive sur 0;+inf, donc  f' est strictement croissante sur 0;+inf, comme on sais que f' est strictement croissante sur 0;+inf et quelle est continue sur cette intervalle, l'équation f'(x)=0 n'a qu'une seule et unique solution.
Tu pourras en déduire les intervalles sur lesquels f' est négatif et positif, et donc lorsque f est croissante/décroissante.(par la même occasion tu auras la valeurs minimum que prend f).

J'espère avoir été assez clair, bonne chance.

Posté par kurtangle kurtangle

Les explications sont très claires, merci beaucoup.
Juste, j'ai du mal à comprendre pourquoi doit-on passer par la dérivée seconde pour poser f'(x)=0? Ne peut-on pas le faire avant?

Plus besoin de la dérivée seconde pour le reste de l'étude de la fonction? Je devrais arriver à faire le reste si c'est le cas.

Posté par Hadrian Hadrian

Le problème, c'est que :
tu as f(x), tu dérive, et tu trouve le x pour lequel f'(x)=0. Cela ne t'avance a rien du tout, alors que grâce a la dérivée seconde, tu déduit le sens de variation de f'(x), puis grâce a f'(x)=0 tu connais le signe de f'(x), grâce auquel tu peux enfin connaître le sens de variation de f(x), et dans ce cas précis également son minimum.

Posté par Hadrian Hadrian

pour mon message précédent, cela rejoins exactement la première réponse a ton topic, qui a été donné par malou.

Posté par Hadrian Hadrian

Bon, je vais encore réexpliquer, car mes réponses a t'es questions ne sont pas assez claire a mon goût .


On ne passe pas par la dérivée seconde pour posé f'(x)=0, simplement c'est un complément au vu de ce que l'on a déduit de la dérivée seconde.
Pour résumer clairement:
-On cherche a étudier f(x)
-On dérive f(x) => f'(x)
-On ne sais pas trouver le signe de f'(x) pour avoir les variations de f(x).. Crotte alors!
-On dérive f'(x) => f''(x)
-On étudie le  de f''(x), on remarque que c'est positif sur 0;+inf, plus qu'a remonter notre cheminement !

-Maintenant, on sais que f'(x) est strictement croissante sur 0;+inf ! mais on voulais son signe... ah ben il suffit de connaître la valeurs pour laquelle f'(x) s'annule comme f'(x) est strictement croissante !
-On a maintenant les variations de f(x) grâce au signe de f'(x), et en bonus, celà tombe bien on remarque que l'on peux calculer le minimum de la fonction.

Posté par kurtangle kurtangle

Tout va bien. Merci du temps accordé à mes questions. Bonne nuit

Posté par malou malou

parfait !
la vraie raison pour laquelle on cherche f", comme l'a dit très bien hadrian dans son message
c'est que je ne sais pas résoudre f'(x) = -(1/x²) + Ln (x) + 1 = 0, car cette équation mélange du log et du polynôme....
on a les mêmes problèmes quand on mélange de l'exponentielle et du polynôme;...

bonne journée à vous deux !

Posté par kurtangle kurtangle

Bonjour,
"la vraie raison pour laquelle on cherche f", comme l'a dit très bien hadrian dans son message
c'est que je ne sais pas résoudre f'(x) = -(1/x²) + Ln (x) + 1 = 0, car cette équation mélange du log et du polynôme...."

Du coup ca m'as refait bloqué au niveau de la compréhension, ahah.
J'ai bien compris que f''(x) servait à prouver qu'il existe une seule solution alpha, tel que f'(alpha)=0. Ca c'est bon.
Mais en quoi ca nous aide à savoir résoudre l'équation f'(x) = -(1/x²) + Ln (x) + 1 = 0, qui reste un mélange de log et de polynome?

Posté par malou malou

ben...le fait d'étudier le signe de f", va me donner les variations de f'

et j'espère que les variations de f' seront telles que je puisse donner le signe de f'

mais il faut savoir qu'on peut très bien ne pas obtenir la solution même comme ça...

ça t'éclaire ?

Posté par kurtangle kurtangle

Bah.. Si je dis pas de bêtises, on à f'(x) strictement croissante, et les images de f' aux bornes du domaine de définition de signes contraires. Donc, il existe f'(x) = 0.
Ensuite je voit que 1 est une solution remarquable, et que donc pour x<1, f'(x) négatif et pour x>1 f'(x) positif, mais ca , j'aurais pu le faire sans la dérivée seconde, non?

Posté par malou malou



tu n'aurais pas su par exemple qu'elle ne s'annulait qu'une seule fois sans ta dérivée seconde
OK ?

Posté par kurtangle kurtangle

Ah, ok.
Donc c'est la notion d'unicité de la solution qu'apporte la dérivée seconde?
C'est clair. Merci