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Position d'une courbe par rapport à une tangente


premièrePosition d'une courbe par rapport à une tangente

#msg4041260#msg4041260 Posté le 22-02-12 à 12:02
Posté par Profildevoir36 devoir36

Bonjour , voici mon DM

F est la fonction définie sur R par :
      f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 7

et C sa courbe représentative dans un repère du plan . T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 .

1- En utilisant les copies d'écran ci-dessous , conjecturer la position relative de C et T . ( voir photo )

2- On se propose de démontrer ce résultat .

a) Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x .

b)En déduire le coefficient directeur de la tangente T .

c) Déterminer une équation de T .

d) Vérifier que , pour tout nombre réel x :
                  f(x) - (3x - 3 ) = (x-1)^2 (x-4)

e) Étudier le signe de ( x-1)^2 ( x-4) .

f) En déduire la position de C par rapport à T .

voici mes réponses :

pour la 1) pour conjecturer j'ai mis que de [ 0 ; 1 ] C > T  et que de
] 1 ; + infini [  T > C   mais je ne suis pas sure

pour les autres je bloque trop

merci à ceux qui passeront du temps à m'aider

Position d'une courbe par rapport à une tangente
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041286#msg4041286 Posté le 22-02-12 à 12:16
Posté par ProfilPriam Priam

1) Ta réponse n'est pas bonne. Il est vrai que le graphique de la photo est nettement insuffisant.
Si tu peux réaliser un meilleur graphique, s'étendant plus vers la droite et vers le haut, je te conseille de le faire.
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re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041307#msg4041307 Posté le 22-02-12 à 12:24
Posté par Profildevoir36 devoir36

merci Priam de m'avoir répondu rapidement

à ] 3 ; + infini [  

T est plus grand que C
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041445#msg4041445 Posté le 22-02-12 à 13:46
Posté par ProfilPriam Priam

D'où sort cette réponse ?
As-tu obtenu un bon graphique ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041454#msg4041454 Posté le 22-02-12 à 13:51
Posté par Profildevoir36 devoir36

comment peut-on répondre à cette question , on est vraiment obliger de tracer le graphique
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041467#msg4041467 Posté le 22-02-12 à 13:57
Posté par ProfilPriam Priam

Au 1. il est indiqué "voir photo". Mais la photo est mauvaise !
Un graphique n'est cependant pas indispensable pour la suite.
2. Qu'as-tu fait ? La dérivée, au moins ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4041602#msg4041602 Posté le 22-02-12 à 14:44
Posté par Profildevoir36 devoir36

pour la 2) a. comment je peut calculer f'(x) ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4042357#msg4042357 Posté le 22-02-12 à 18:34
Posté par ProfilPriam Priam

f(x) se compose de la somme de puissances de  x .
Je te rappelle que la dérivée de  xn  est  nxn-1 .
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4043166#msg4043166 Posté le 23-02-12 à 11:18
Posté par Profildevoir36 devoir36

vous pouvez plus développer car je viens juste de commencer le chapitre des dérivée et je suis complètement perdu
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4043242#msg4043242 Posté le 23-02-12 à 12:02
Posté par ProfilPriam Priam

x³ correspond à n = 3. La dérivée de x³ est donc 3x².
Pour la fonction de l'énoncé :
f(x) = x³ - 6x² + 12x - 7
f '(x) = 3x² - 6*2x + 12.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4043744#msg4043744 Posté le 23-02-12 à 15:24
Posté par Profildevoir36 devoir36

merci

pour la 2.b) pour le coefficient directeur il faut prendre des points sur la courbe ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4044463#msg4044463 Posté le 23-02-12 à 19:01
Posté par ProfilPriam Priam

Non.
On demande de calculer la dérivée f '(x), puis le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 1 , lequel est égal à f '(1).
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4044804#msg4044804 Posté le 23-02-12 à 21:34
Posté par Profildevoir36 devoir36

c'est 0 ???
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4044858#msg4044858 Posté le 23-02-12 à 21:51
Posté par ProfilPriam Priam

Pourquoi 0 ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4044901#msg4044901 Posté le 23-02-12 à 22:25
Posté par Profildevoir36 devoir36

je suis vraiment nul , je ne comprend rien du tout
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4044922#msg4044922 Posté le 23-02-12 à 22:44
Posté par ProfilPriam Priam

f '(x) = 3x² - 12x + 12.
Pour calculer f '(1), il suffit de remplacer  x  par  1  dans la première ligne.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045166#msg4045166 Posté le 24-02-12 à 10:35
Posté par Profildevoir36 devoir36

j'ai remplacé par 1 et j'ai trouvé 3
donc le coefficient directeur c'est 3
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045329#msg4045329 Posté le 24-02-12 à 12:32
Posté par ProfilPriam Priam

Oui.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045405#msg4045405 Posté le 24-02-12 à 13:32
Posté par Profildevoir36 devoir36

pour la 2.c) pour l'équation de T j'ai trouvé :

T: y = f'(1)(x-1) + f(1)
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045420#msg4045420 Posté le 24-02-12 à 13:45
Posté par ProfilPriam Priam

Oui, mais il faut remplacer f(1) et f '(1) par leurs valeurs numériques.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045518#msg4045518 Posté le 24-02-12 à 14:40
Posté par Profildevoir36 devoir36

j'ai remplacé et j'ai trouvé 3x - 3
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4045759#msg4045759 Posté le 24-02-12 à 16:03
Posté par ProfilPriam Priam

C'est une équation de droite. Il faut écrire   y = 3x - 3.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4046657#msg4046657 Posté le 24-02-12 à 21:27
Posté par Profildevoir36 devoir36

pour la d) vu que c'est une égalité j'ai développer (x-1)^2(x-4)
mais j'ai trouvé -1x^2+1+8x  mais je crois que j'ai fais une erreur
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4046733#msg4046733 Posté le 24-02-12 à 22:11
Posté par ProfilPriam Priam

Oui, car il doit y avoir un terme en x³.
Développe en commençant par le carré.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4047197#msg4047197 Posté le 25-02-12 à 12:12
Posté par Profildevoir36 devoir36

j'ai commencé par développer le carré et j'ai trouvé x3-6x²+9x-4
ensuite j'ai développer  f(x)-(3x-3) et j'ai trouvé aussi x3-6x²+9x-4

donc ca vérifie que pour tout nombre réel x
  f(x)-(3x-3) = (x-1)^2(x-4)

pour la e) comment fait-on pour étudier le signe ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4047495#msg4047495 Posté le 25-02-12 à 15:00
Posté par ProfilCecileee Cecileee

excuse moi je fais des exercices pour m'entraîner, j'ai bientôt un contrôle et je suis tombé sur ton DM, peut tu m'expliquer comment tu as réussi à développer f(x)-3x-3 ? Pour la e) il faut que tu fasses un tableau de signe
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4047528#msg4047528 Posté le 25-02-12 à 15:13
Posté par Profildevoir36 devoir36

pour développer voilà ce que j'ai fait :

f(x)-(3x-3)
= x^3-6x^2+12x-7-(3x-3)
= x^3-6x^2+12x-7-3x+3
= x^3-6x^2+9x-4

voilà si tu n'a pas compris quelque chose dit le moi sinon bonne chance pour ton contrôle (et merci pour le tableau de signe )

re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4047884#msg4047884 Posté le 25-02-12 à 17:10
Posté par ProfilPriam Priam

L'expression  (x - 1)²(x - 4) se compose d'un produit de facteurs.
Le premier facteur est un carré. Il est donc toujours positif et n'influe pas sur le signe de l'expression.
Le signe de l'expression est donc celui du deuxième facteur  (x - 4).
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048099#msg4048099 Posté le 25-02-12 à 18:19
Posté par Profildevoir36 devoir36

donc (x-4) est positive
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048130#msg4048130 Posté le 25-02-12 à 18:32
Posté par ProfilPriam Priam

Pourquoi ? Si x = 0, x - 4 = - 4 !
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048328#msg4048328 Posté le 25-02-12 à 19:49
Posté par Profildevoir36 devoir36

donc

Signe de (x-4) :

x - 4 = 0 <=> x = 4
x - 4 > 0 <=> x < 4
x - 4 < 0 <=> x < 4

Signe (x-1)² :

(x-1)² =0 <=> (x-1) = 0 <=> x = 1
(x-1)² > 0 <=> x ≠ 1
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048352#msg4048352 Posté le 25-02-12 à 19:56
Posté par ProfilPriam Priam

Pourquoi parles-tu du signe de (x - 1)² ? C'est un carré, donc jamais négatif.
Signe de (x - 4) :
x < 4 --> négatif
x = 0 --> nul
x > 4 --> positif.
Voilà.
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048379#msg4048379 Posté le 25-02-12 à 20:06
Posté par Profildevoir36 devoir36

pour la f) au-dessus de 4 T est plus grand que C
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4048653#msg4048653 Posté le 25-02-12 à 22:56
Posté par ProfilPriam Priam

Il résulte de ce qui précède que l'expression  f(x) - (3x - 3) a le même signe que (x - 4), et qu'elle est donc négative pour  x < 4 , nulle pour  x = 4  et positive pour  x > 4 .
Grafiquement, f(x) est représenté par la courbe C et  (3x - 3) est représenté par la tangente.
On en conclut que pour x < 4, T est au dessus de C et que, pour x > 4 , T est au-dessous de C.
D'accord ?
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4049239#msg4049239 Posté le 26-02-12 à 12:28
Posté par Profildevoir36 devoir36

oui maintenant j'ai compris ça ma permis de m'entraîner pour mon prochain contrôle ( je pense que je vais recommencer quand même ce DM car il y a des points ou j'ai eu des difficulté )

sinon merci beaucoup Priam pour votre aide précieuse et qui, je suis sure m'a apportée beaucoup.

et j'espère à la prochaine fois

a+
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4049263#msg4049263 Posté le 26-02-12 à 12:38
Posté par ProfilPriam Priam

re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4502580#msg4502580 Posté le 09-01-13 à 15:18
Posté par Profilpauldu62 pauldu62

Vous pouvez redire toutes les réponses en 1 seul messages svp je comprend pas tout
re : Position d'une courbe par rapport à une tangente#msg4555199#msg4555199 Posté le 09-02-13 à 14:07
Posté par ProfilMar26 Mar26

Salut à tous !
J'ai le même DM à faire et je l'ai commencé de mon côté avant de tomber sur ce sujet.
J'ai réussi la quasi-totalité des questions mais je bloque à la quest 1 et aux 2-e) e f)
Comment conjecturer une position relative ?
Et je ne vois pas comment réaliser ce tableau de signe..
Merci d'avance et merci à Priam pour ses réponces précédentes qui m'ont permis de vérifier mes propres réponses !

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