Bonjour,
Voici un problème que je ne comprends pas très bien :
On considère le cercle trigonomètrique associé au repère orthonormé direct (O;I;J), le point k de coordonnées (-1;0) et un réel x
On place sur le cercle le point A tel que (KI,KA)=x
Le but de ce problème est de démontrer l'égalité :
sin2x=2sinx.cosx
1/ On suppose dans cette question que x appartient [0;pi/2]
La perpendiculaire à [OA] passant par I coupe la droite (OA) en H.
a.Démontrer que (OI;OA)=2x
b.Démontrer que sin2x = IH
c.Démontrer que l'aire du triangle rectangle AKI est égale à 2sinxcosx
d.Démontrer que les triangles AKO et AOI ont la même aire égale à IH/2 (la premiere partie est faite)
2/On suppose dans cette question que x appartient [pi/2;pi]
On pose x'= x-pi/2
a.Démontrer que : sin2x'=2sinx'cosx'
b.En déduire que l'on a encore: sin2x=2sinxcosx (la deuxième partie est faite)
3/On suppose dans cette question que x appartient [-pi;0] et on pose x''=-x (à partir de là j'aurai besoin d'aide)
a.Démontrer que : sin2x''=2sinx''cosx''
b.En déduire que l'on a encore: sin2x=2sinxcosx
On a ainsi démontré que cette égalité est vraie pour tout réel x de l'intervalle [-pi;pi]
4/Démontrer que pour tout réel x, on a :
sin2x=2sinxcosx
Merci d'avance.
bonjour;
il me semble que la fonction sin est impaire et que la fonction cos est paire
donc quel que soit x: sin(-x)=-sinx et cos(-x)=cosx
Applique le ici!
Bonjour, j'ai alors fait sin2(-x)= 2sin(-x).cos(-x)
-sin2x=2(-sinx).cosx
===} sin2x=2cosx.sinx
Mais surtout, je voudrai savoir savoir comment démontrer l'égalité sin2x"= 2sinx"cosx" faut-il démontrer quelque chose ?
je pensais que c'était démontré par la question 1 sur [0;pi/2] puis qu'avec la question 2 tu montrais que c'était aussi vrai sur [pi/2;pi]
et enfin le trois te permet de vérifier que c'est aussi vrai sur [-pi;0] !
oui je sais c'est le principe de cette démonstration "par parties".
j'essayais juste de te faire réaliser que
je ne vois pas ce qui te bloque
dans le 1) tu démontres que sin2x=2sinx.cosx lorsque x appartient à [0;pi/2]
dans le 2 tu montres que si sin2x=2sinx.cosx lorsque x appartient à [0;pi/2] alors c'est aussi vrai si x appartient à [pi/2;pi]; c'est donc vrai lorsque x appartient à [0;pi].
Enfin dans le trois tu montres que si sin2x=2sinx.cosx lorsque x appartient à [0;pi] alors c'est aussi vrai si x appartient à [-pi;0]; c'est donc vrai lorsque x appartient à [-pi;pi]
a l'issue de la 3 tu as démontré que c'est vrai quel que soit x qui appartient à [-pi;pi];
Pour la 4 tu vas devoir dire que tes fonctions sin et cos sont cycliques/récurrentes (je ne sais plus comment cela s'appelle) de période 2pi (périodique était peut être le terme cherché!) et donc qu'on peut étendre cette formule à l'ensemble R
Ok merci beaucoup.
J'ai une autre question : comment démontre-t-on que a.Démontrer que : sin2x'=2sinx'cosx' ?
en remplacant ce qui est au dessus (sachant qu'il y a un signe - qui a du passer à la trappe; je regarde sur un dessin sinx'= -cosx !!!)
donc sin2x' =-sin2x et
2sinx'cosx'=2(-cosx)sinx
or sin2x = 2 cosxsinx donc -sin2x = - 2 cosxsinx d'où sin2x' = 2sinx'cosx'
Aussi simple que cela!
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