Bonjour,

Réponse proposée : Pas de solution

Il n'y a pas d'autres chevauchements possibles des 3 aiguilles hormis à midi et minuit

Merci pour l'énigme,

Philoux

en fait apres se sera à 1'05''05''' ou 13'05''05'''
2'10'10''' ou 14'10''10'''
etc...
mais si on veut l'heure exacte "pile"
Mais pour une heure exacte pas de solution

pas de solutions

Le problème n'a pas de solution.
En effet, lors de coïncidences de l'aiguille des heures et de celle des minutes, l'aiguille des secondes ne peut être dans la même position.
-première explication: en 12 heures, puisque dans un repère lié à l'aiguille des heures, l'aiguille des minutes fait 11 tours, les coïncidences auront lieu tous les 12/11 d'heure. De même les coïncidences entre l'aiguille des minutes et celle des secondes auront lieu tous les 60/59 de minute donc 1/59 d'heure. Comme 11 et 59 sont premiers entre eux, il n'y aura pas de coïncidence avant 12 heures.
-deuxième explication: si l'on calcule les coïncidences entre heures et minutes, on obtient (en négligeant les 11èmes deseconde):
1h 05min  27sec
2h 10min  55sec
3h 16min  22sec
4h 21min  49sec
5h 27min  16sec
6h 32min  44sec
7h 38min  11sec
8h 43min  38sec
9h 49min  05sec
10h 54min  33sec
Or, pour qu'il y ait coincidence des trois, il faudrait que dans le tableau ci-dessus on ait sur une ligne un même nombre pour les minutes et les secondes, ce qui n'est manifestement pas le cas8

Je suppose que l'heure à trouver est (h,m, s).
Avec :
h le nombre d'heures : entier compris entre 0 et 11
m le nombre de minutes : entier compris entre 0 et 59
s le nombre de secondes : réel compris entre 0 et 60 (exclu).

L'angle que fait la petite aiguille avec la verticale de midi est :
[(h)+ (m/60) + (s /3600)]*360°/12 = 30h +m/2+s/120

L'angle que fait la grande aiguille avec la verticale de midi est :
[(m)+ (s/60)]*360°/60 = 6m + s/10

L'angle que fait l'aiguille des secondes avec la verticale de midi est :
s*360°/60 = 6s

S'il y a coincidence , on doit avoir :
30h +m/2+s/120 = 6m + s/10 = 6s

La première équation donne 60h +m-12m = s/5 -s/60 = 11s/60.
Comme h et m sont a priori entier , on en déduit que s est multiple de 60, donc on est à une minute exacte !!!

s =0, soit 60h =11m, ce qui n'est possible que pour h=m=s=0 (soit minuit) ou h=11 et m=60 et s=0 (soit midi).

Donc, à part midi et minuit, il n'existe pas d'heure à laquelle les aiguilles des heures, minutes et secondes sont superposées.
Donc pas de solution au problème !!!

Les 3 aiguilles d'une montre (heures, minutes et secondes) sont exactement superposées
22 fois par jour, tous les d'heure, soit toutes les 1 h 5 min 27 s 3/11 de s
---------------------------
C'est vrai à :
(0 h)
1 h 5 min 27 s 3/11
2 h 10 min 54 s 6/11
3 h 16 min 21 s 9/11
4 h 21 min 49 s 1/11
5 h 27 min 16 s 4/11
6 h 32 min 43 s 7/11
7 h 38 min 10 s 10/11
8 h 43 min 38 s 2/11
9 h 49 min 5 s 5/11
10 h 54 min 32 s 8/11
(12 h)
13 h 5 min 27 s 3/11
14 h 10 min 54 s 6/11
15 h 16 min 21 s 9/11
16 h 21 min 49 s 1/11
17 h 27 min 16 s 4/11
18 h 32 min 43 s 7/11
19 h 38 min 10 s 10/11
20 h 43 min 38 s 2/11
21 h 49 min 5 s 5/11
22 h 54 min 32 s 8/11

Heures entre parenthèses à supprimer pour répondre à la question ... "autre heure" ...(qui devrait s'écrire autres heures...)

pas de solutions...

J'ai rencontré quelques "presque" solutions du genre
3 h 16 min 22 sec
8 h 43 min 38 sec
Mais je n'en vois pas d'exactes.
J'espère que Gaston ne commet pas la gaffe en disant :

Pas de solutions

"Pas de solutions"

sans conviction, je dirais qu'il n'y a aucune solution.

Dans le référenciel de la petite aiguille, la grande accomplit 11/12 ème de tour en 1 heure. Les 2 aiguilles sont donc superposées tous les 12/11ème d'heures, soit tous les 720/11 de minutes.

De la même manière, dans le référenciel de la grande aiguille, la trotteuse accomplit 59/60 ème de tour à la minute. Les 2 aiguilles sont donc superposées tous les 60/59 ème de minutes.

Comme il n'y a pas de facteur commun entre 59 et 11, la conjonction des trois aiguilles ne peut jamais se réaliser ailleurs qu'à 0:00:00.

Je prononce donc la phrase magique : "Pas de solutions."

oué ben je ne sait pas
jdiré pas de solution mais bon le doute règne !!!

pas de solutions

Pas de solutions

Il n'y a pas de solution.

en fait les aiguilles sont allignées toutes les 1h 05m 27,27sec

12h / 11

00h00m00.00
01h05m27.27
02h10m54.54
03h16m21.81
04h21m49.09
05h27m16.36
06h32m43.63
07h38m10.90
08h43m38.18
09h49m05.45
10h54m32.72
12h00m00.00
00h00m00.00
13h05m27.27
14h10m54.54
15h16m21.81
16h21m49.09
17h27m16.36
18h32m43.63
19h38m10.90
20h43m38.18
21h49m05.45
22h54m32.72
00h00m00.00

donc 23 fois par jour

pa de solution

Il n'y a pas de solution autre que minuit et midi.
Justification :
1) L'étude du problème s'effectue sur une période de 12h. Si une solution existe, on en obtient une autre en ajoutant 12h.

2) Quel angle parcourt une aiguille en 1 seconde ?
(angle formé entre la position 0 de l'horloge , le centre de l'horloge et le sommet d'une aiguille)
aiguille des secondes : 6° en 1 seconde (360° en 60 secondes)
aiguille des minutes : 1° en 1 seconde (360° en 60 minutes)
aiguille des heures : 1/120° en 1 seconde (360° en 12 heures)

3) Trouver une solution au problème, c'est trouver un temps t tel que :
t . 1/120 = [t] mod 360 = [6t] mod 360 où
- t varie de 0 à 43119 (43119 secondes sur une période de 11h59m59s)  
- mod désigne l'opération modulo (reste de la division entière) ; ceci pour enlever le nombre de tours parcourus par l'aiguille des minutes et des secondes

4) En utilisant un tableur et en posant un test sur le système d'équation on s'apperçoit qu'il n'y a pas de solution autre que t = 0 et donc t = 12h (cfr 1)

Si quelqu'un a une plus belle solution, merci de le dire

Pas de solutions

pas de solution car 719 est premier

Enigme clôturée.

Petite question subsidiaire qui aurait pu valoir une étoile de plus...
Puisque ça n'arrive pas en dehors de midi et minuit, à quelle heure l'angle englobant les trois aiguilles est-il le plus faible?
Mon calcul pour cette énigme semblait indiquer qu'un instant entre 8:43:43 et 8:43:44 est un bon candidat.
Avis aux amateurs

la_brintouille

8h 43m 43s et 3h 16m 16s doivent effectivement tenir la corde, avec un léger avantage pour le premier.....

* image externe expirée *

Bonjour,

et ça correspondrait à un décallage de combien, en seconde(s) ?

Philoux

Si j'étudie uniquement le cas de 8h 43m 43s.
A 8h 43m et 43,64s , l'aiguille des secondes et des heures coincident et elles font avec l'aiguille des minutes un angle de 0,499 degrés.
A 8h 43m et 43,73s, l'aiguille des secondes et des minutes coincident et elles font avec l'aiguille des heures un angle de 0,508 degré.
Il est clair que compte tenu des vitesses relatives des trois aiguilles , 8h 43m et 43,64s est l'instant où l'angle est minimal. En effet, avant cet instant, l'angle ne peut que réduire (l'aiguille des secondes se rapproche très vite de celle des heures) et après il ne peut que s'accroître (l'aiguille des minutes s'éloigne de celle des heures).

merci

Philoux