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Joute n°67 : Les dominos bi-faces

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
24-03-12 à 11:03

Bonjour à tous,

Imaginons un jeu utilisant des plaquettes, semblables à des dominos, mais avec des points sur les deux faces.
Chaque plaquette possède donc 4 zones (2 par face) comportant chacune entre 1 et 6 points (il n'y a pas de zone vierge). Il peut y avoir le même nombre de points sur plusieurs zones.
Les points sont dessinés de la façon suivante :

Joute n°67 : Les dominos bi-faces

En tout, cela devrait donner 64 = 1296 plaquettes différentes.

Mais, en regardant bien, on s'aperçoit que certaines plaquettes sont exactement semblables, en les faisant tourner sur elles-mêmes (en opérant des rotations suivant les 3 axes de symétrie).
Par exemple, on peut fabriquer 4 plaquettes 1-1-1-2 mais on se rend vite compte qu'on ne peut pas les différencier.

Question : Combien ce jeu comporte-t-il de plaquettes véritablement différentes ?

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 11:33

gagnéJe trouve 351 plaquettes de domino véritablement différentes.

Posté par
totti1000
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 12:00

gagnéSalut godefroy,

Je propose un nombre de plaquettes différentes de 351.

Merci.

Posté par
masab
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 12:02

gagnéCe jeu comporte 351 plaquettes véritablement différentes.

Posté par
Tof
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 14:09

gagnéBonjour,

En espérant ne pas avoir fait de bêtise :
351
plaquettes différentes.

Merci pour l'énigme,

Tof

Posté par
rschoon
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 14:09

gagnéBonjour.

Ma réponse : 351

Cordialement

Posté par
dpi
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 15:12

perduBonjour,

Cela me fait penser aux nombres miroirs
(à deux faces....)

Je trouve 231 dominos sur les 1296

Posté par
buck92
Joute 67 24-03-12 à 15:27

perduBonjour,
allez, sans certitude, 660 dominos différents.

Merci pour cette joute !

Posté par
jonjon71
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 19:14

gagnéBonjour,

voici ma réponse :

Le jeu comporte 351 plaquettes véritablement différentes.

Merci!

Posté par
joshua123
Bonjour 24-03-12 à 20:09

perdu1296/4= 324

Posté par
sephdar
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 20:28

perdubonjour,

il doit y avoir 231 plaquettes différentes

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 21:28

gagnéBonjour Godefroy.
Il y a 351 (trois cent cinquante et une) plaquettes différentes.
On remarque tout d'abord que chaque chiffre garde la même orientation quand le domino est tourné de 180 degrés.
Les plaques se répartissent comme suit :
carré : 6
brelan : 6*5 = 30
deux paires : 6*5/2 * 3 = 45 (deux chiffres identiques peuvent être accolés, opposés ou ni l'un ni l'autre )
une paire : 6*5*4/2 * 3 = 180(les deux chiffres identiques peuvent être accolés, opposés ou ni l'un ni l'autre)
quatre chiffres différents : 6*5*4*3/24 * 6 (trois choix pour le chiffre accolé au plus grand et pour chacun, deux choix pour le chiffre opposé au plus grand).

Posté par
brubru777
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 21:28

perduBonjour,

Je trouve 501 dominos différents.

Posté par
caylus
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 24-03-12 à 21:32

perduBonsoir Godefroy

350
Merci pour la joute

Posté par
Skep
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 25-03-12 à 00:10

gagnéBonjour je dirai 351
merci

Posté par
Chatof
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 25-03-12 à 01:28

gagné351
soit 360/4 dominos avec 4 chiffres différents, 720/4 avec une paire (un doublé), 90/2 avec 2 paires, 120/4 avec un triplé,  et 6 quadruplé
351 =90+180+45+30+6
Merci pour cet énigme

Posté par
geo3
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 25-03-12 à 13:42

perduBonjour
Sans doute  350
A+

Posté par
Kidam
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 26-03-12 à 09:20

perduBien le bonjour,

On remarque en fait que toutes les permutations sont possibles. EX :

La plaquette 1.2.3.4 sera identique à 3.4.1.2, à 4.3.2.1 et à 2.1.4.3.

Il y a donc 64/4 plaquettes différentes, soit 324

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 26-03-12 à 23:17

perduBonjour tout le monde
- Je propose: 126 plaquettes

Posté par
kotaryu
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 27-03-12 à 00:54

gagné351 plaquettes différentes

Posté par
ksad
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 28-03-12 à 17:56

gagnére-bonjour,
je me lance... j'en trouve 351.
merci et à bientôt!

Posté par
Surb
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 28-03-12 à 18:32

perduBonjour,

Sans convictions, je propose 324 plaquettes.

Posté par
gloubi
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 30-03-12 à 13:35

gagnéBonjour,

Il y a 351 dominos différents.

Merci pour la joute !  

Pas si évidente que ça. Merci Sœur Silice.  

Posté par
Eric1
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 30-03-12 à 21:29

gagnéBonjour,
a l'aide d'un tableur, et étant donné qu'il n'y a pas de problèmes de rotation, je trouve 351 plaquettes différentes

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 01-04-12 à 05:02

gagnéSalut! Ma reponse est: 351 plaquettes differentes!

Je voudrais savoir si le probleme vient du site ou de ma machine. Il est mentionne* que cette joute a ete postee... le 24/03. Pourtant, je me suis connecte* pas mal de fois (avant et apres le 24), et je n'ai vu ni ladite joute, ni l'annonce d'une joute pour le 24. Pareil pour l'enigmo qui est juste a cote*! Pour une fois que j'etais capable de traiter les deux en moins d'une heure (encore faut il, certes, que je les ai smileys)...Maintenant encore, je n'arrive pas a voir l'annonce de la prochaine enigme (on me parle du 26/03, comme si je savais voyager dans le temps...). Encore heureux que la joute ne soit pas cloture*e, je me dis ca en consolation. Merci!

Posté par
Benwat
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 03-04-12 à 01:34

gagné351

Pas certain...

Posté par
franz
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 03-04-12 à 13:32

gagné351
Merci pour l'énigme

Posté par
LeDino
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 04-04-12 à 14:41

gagnéBonjour,

Il y a sauf erreur 351 plaquettes vraiment différentes.

Calcul :

[aaaa]  Valeurs: 6,  Positions: 1,  distinctes: 1, soit: 6/6
[aaab]  Valeurs: 30, Positions: 4,  distinctes: 1, soit: 30/120
[aabb]  Valeurs: 15, Positions: 6,  distinctes: 3, soit: 45/90
[aabc]  Valeurs: 60, Positions: 12, distinctes: 3, soit: 180/720
[abcd]  Valeurs: 15, Positions: 24, distinctes: 6, soit: 90/360

Et donc : (90+180+45+30+6)/(360+720+90+120+6) = 351/1296
391 plaquettes distinctes, sur 1296 pièces.

Merci pour cette récréation ...

Posté par
Tolokoban
Ma proposition 05-04-12 à 16:27

gagnéJe pense qu'il y a 351 plaquettes réellement différentes.

Je crois qu'il faut utiliser le Lemme de Burnside en utilisant les demi-tours autour des 3 axes orthogonaux de l'espace.
On y ajoute l'identité pour obtenir un groupe et ensuite on compte les dominos inchangés pour chacune de ses opérations.

Id -> 1296
Rx -> 36
Ry -> 36
Rz -> 36

La moyenne vaut (1296 + 36 + 36 + 36)/4 = 351

Posté par
salmoth
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 06-04-12 à 02:23

perdureponse: il y a 1116 plaquettes differentes

= (nb plaquettes possibles) - (nb de plaquettes non uniques)

les plaquettes peuvent être decrites avec la notation: a-b-c-d où a;b;c;d sont des entiers de [1;6]
nb de plaquettes possibles =6^4 = 1296

plaquettes avec des representations equivalentes:
1) les plaquettes à 3 chiffres identiques: a-a-a-b ; a-a-b-a; a-b-a-a; b-a-a-a
ces 4 configurations {C(1;4)} sont equivalentes; 3 configs sont donc a retirer des plaquettes possibles
il y a 6x5 = 30 possibilités de choisir a et b
=> 30x3=90 plaquettes a retirer

2) plaquettes a 2x2 chiffres identiques : a-a-b-b & b-b-a-a; a-b-a-b & b-a-b-a; a-b-b-a & b-a-a-b
ces 6 configurations {C(2;4} sont equivalentes 2 à 2 ; 3 configs sont donc a retirer des plaquettes possibles
il y a 6x5 = 30 possibilités de choisir a et b
=> 30x3=90 plaquettes a retirer

3) toutes les autres plaquettes sont uniques

=> 1296-90-90= 1116 !!

Posté par
Bam
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 10-04-12 à 16:43

gagnéJ'en compte 351 !

Merci pour l'énigme

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 14-04-12 à 10:09

Clôture de l'énigme :

Une méthode remarquable pour ce genre de dénombrement utilise le lemme de Burnside.
Si, au lieu de 6, il y avait eu k points (répartis de façon adéquate), on aurait eu \dfrac{k^4 + 3k^2}{4} plaquettes différentes.

Posté par
caylus
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 14-04-12 à 16:02

perduBonjour Godefroy,

Il y avait en effet une erreur dans mon programme:
la limite supérieur de recherche (1297 et non 1296) dans une recherche dichotomique.
Désolé.(de ne pas connaître le "Lemme de Burnside")

Posté par
Benwat
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 15-04-12 à 12:09

gagnéC'est en effet un poil plus simple avec Burnside.  ^^

Posté par
Chatof
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 21-04-12 à 00:19

gagnébonjour RickyDadj

Avez-vous vérifié les options de mise à jour des pages internet de votre navigateur ?
Êtes-vous en mode hors connexion ?
Que se passe t-il si vous forcé la mise à jour (avec F5  ou clic droit "actualiser"  avec firefox par exemple) ?

Il n'y a pas d'adresse mail dans votre profil ... Quand pourrez-vous lire ma réponse ?

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 09-05-12 à 10:22

gagnéJe viens de la lire, Chatof.
Je pense pouvoir repondre "non" a vos deux premieres questions, et "je ne sais pas" a la troisieme. Rien d'etonnant a celle-ci, parce que j'ai toujours pense* que l'absence de nouvelle date voulait dire qu'il n'y a pas encore de nouvelle enigme prevue. Par contre, je vous le concede, je devrais verifier mes options de mise a* jour... Merci de m'avoir fait y penser. Et surtout, merci de m'avoir accorde* une si courtoise attention! Les matheux de l'ile sont donc... des gentlemaths!
J'ai bon espoir que ce probleme n'en sera bientot plus un; et, en cas de persistance, je reviendrai vous consulter.

Posté par
Chatof
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 09-05-12 à 11:04

gagnéBonjour RickyDadj

Nouvelle énigme ce matin 10h21:
Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique

Citation :
Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique
#msg4178320 Posté le 09-05-12 à 10:21
Posté par Profil godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°67 : Les dominos bi-faces 13-05-12 à 14:38

gagnéJ'ai essaye* de vous repondre hier, mais je n'ai pas pu. En tout cas, je disais:
Oh! Comme c'est gentil de votre part!
Voila qui confirme bien votre statut de gentlemath! Mais je n'en serais pas un si je ne vous demandais pas de ne pas vous inquieter pour ce probleme qui semble en voie de disparition. En effet, j'ai verifie* mes parametres de connexion et les options de mon navigateur, et j'ai repere* un truc louche (que j'ai deja arrange*). J'ai bon espoir qu'il etait la cause de tout.
Pour ce qui est de la joute 72, j'ai eu la chance de me connecter juste avant (ou juste apres?) qu'elle ne soit postee, et je l'ai vu dans les temps!
Maintenant, rendez-vous sur le champ de bataille pour la prochaine enigme... et merci!

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 90:53:55.


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