Bonjour tout le monde,
observons les deux multiplication posées ci-dessous. On y trouve 9 cases rouges dans lesquelles il faut placer les chiffres de 1 à 9, une seule fois chacun.
En plaçant bien les 9 chiffres, il est possible d'obtenir le même produit pour les deux multiplications, comme le montre l'exemple ci-dessous, où le produit est égal à 3634.
Question : placer les chiffres de 1 à 9, une seule fois chacun, dans les 9 cases rouges de telle sorte à obtenir le même produit pour chaque multiplication, et que ce produit soit le plus grand possible.
Si vous pensez qu'il n'existe pas d'autres solutions, alors vous répondrez "problème impossible", et si plusieurs configurations donnent le même produit maximal, vous ne donnerez qu'une seule solution.
Bonne recherche !
532*14=76*98=7448
C'est la solution qui donne le produit maximum..... sauf "nouvelle" erreur de ma part !!
Bonjour,
La solution est unique (à une permutation évidente près ) :
532 x 14 = 98 x 76 = 7448
Le produit proposé par jamo est minimal.
Il existe 11 produits en tout (22 avec la permutation évidente) :
Merci pour l'énigme .
532 x 14 = 76 x 98 = 7448
584 x 12 = 73 x 96 = 7008
174 x 32 = 58 x 96 = 5568
158 x 32 = 64 x 79 = 5056
186 x 27 = 54 x 93 = 5022
259 x 18 = 63 x 74 = 4662
146 x 29 = 73 x 58 = 4234
174 x 23 = 58 x 69 = 4002
134 x 29 = 67 x 58 = 3886
138 x 27 = 54 x 69 = 3726
158 x 23 = 46 x 79 = 3634
Bonjour,
Je trouve que le produit est maximal pour les opérations suivantes :
532*14
98*76
La valeur de ce produit est alors de 7448
Merci Excel.. et Jamo
Bonjour Jamo,
Merci pour l'énigmo.
134 * 29 = 3886 58 * 67 = 3886
134 * 29 = 3886 67 * 58 = 3886
174 * 23 = 4002 58 * 69 = 4002
174 * 23 = 4002 69 * 58 = 4002
146 * 29 = 4234 73 * 58 = 4234
186 * 27 = 5022 93 * 54 = 5022
186 * 27 = 5022 54 * 93 = 5022
174 * 32 = 5568 58 * 96 = 5568
174 * 32 = 5568 96 * 58 = 5568
532 * 14 = 7448 76 * 98 = 7448
532 * 14 = 7448 98 * 76 = 7448
Bonjour,
J'adore ces énigmes ...
Je propose 532×14=76×98(=7448)
Encore une fois, merci à QBasic
Et bien sûr à Jamo.
Pour la petite histoire, j'ai trouvé 11 valeurs de produits qui répondent à la spécification:
3634, 3726, 3886, 4002, 4234, 4662, 5022, 5056, 5568, 7008 et le désormais fameux 7448.
Sauf faute de frappe ici ou dans le programme basic...
Pour l'honneur
Je me suis pressé en donnant le maxi et
en oubliant un petit détail que tous les chiffres
étaient différents
Donc 58 x 96 = 174 x 32 =5568 sera plus adapté
Bonjour,
532 * 14 = 76 * 98 (=98*76) = 7448 est la solution donnant le produit maximal.
La solution donnée en exemple fournissant le produit minimal.
Merci pour l'énigme.
bonjour
je propose la solution suivante:
le plus grand produit que l'on peut atteindre vaut 7448.
on peut l'obtenir avec (voir dessin ci-dessous)
merci pour l'énigmo et à bientôt !
Je place mes chiffres de facon a obtenir pour le premiere multiplication 5 3 2 * 1 4 et pour la deuxieme 7 6 * 9 8.
Autrement dit, je les met dans cet ordre: 5, 3, 2, 1, 4, 7, 6, 9 et 8.
Le produit donne 7448.
Desole* de pas illustrer en images. Que la fureur du poisson m'epargne... Merci!
bonjour,
voila ma reponse:
532
x 14
-----
7448
et
98
x 76
----
7448
c'est la seule solution !
(il y a 43 valeurs > 7448 obtenues par la multiplication de 2 nombres de 2 chiffres et dont les 4 chiffres sont differents mais aucun de ces 43 produits n'offrent de solution au problème)
Bonjour jamo et merci pour l'énigme
Après 100 simulations à l'aide d'un programme, je trouve que le produit le plus grand possible suivant les conditions est 7448, obtenu avec les multiplications en bas du message
Explications
J'ai réalisé un programme en Python qui choisi de manière aléatoire les chiffres de 1 à 9. Je leur fait subir les opérations demandés et si jamais les deux produits sont les même, le programme m'affiche les chiffres dans l'ordre. Je refais ceci, avec une subtilité : si la deuxième configuration est inférieure à la première, je ne l'affiche pas, ainsi je peux obtenir des configurations de plus en plus grande ou égale. Et ainsi de suite 100 fois. Sur les 100, j'ai obtenu 97 fois 7448, donc je suis sûr à 97% de ma réponse
Voici le programme en question :
compteur=generateur=0
while compteur<100:
nbr1=nbr2=nbr3=nbr4=nbr5=nbr6=nbr7=nbr8=nbr9=0
import random
a = list(range(1, 10))
random.shuffle(a)
nbr1 = a[0]*100
nbr2 = a[1]*10
nbr3 = a[2]
nbr4 = a[3]*10
nbr5 = a[4]
nbr6 = a[5]*10
nbr7 = a[6]
nbr8 = a[7]*10
nbr9 = a[8]
number1 = nbr1+nbr2+nbr3
number2 = nbr4+nbr5
resultat1 = number1*number2
number3 = nbr6+nbr7
number4 = nbr8+nbr9
resultat2 = number3*number4
if resultat1==resultat2:
if resultat1>=generateur:
generateur=resultat1
print(a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8])
print(resultat1)
compteur+=1
Il existe 22 solutions au problème dont la plus grande est 7448
532*14 et 98*76 (où l'on peut permuter 98 et 76).
Bonsoir,
La solution donnée peut être facilement améliorée:
au lieu de 158 x 23 = 79 x 46 = 3634
** 158x32 = 79x64 = 5056 **
Les produits sont de la forme A x B = (A/n) x (nB )
n entier , A ={1 . .}
Alain
Clôture de l'énigme
Le produit maximal était 7448 obtenu par : 532*14 et 98*76.
Le gagnant du mois de mars est donc totti1000
@ totti1000 : bravo champion !
Aucune erreur...
Un chrono au top (selon la référence speedy-nofuturienne...).
Toujours aussi difficile à aller chercher.
Vivement le prochain "faux pas" ...
@ Gryfo :
"J'ai réalisé un programme en Python qui choisi de manière aléatoire les chiffres de 1 à 9. Je leur fait subir les opérations demandés et si jamais les deux produits sont les même, le programme m'affiche les chiffres dans l'ordre. Je refais ceci, avec une subtilité : si la deuxième configuration est inférieure à la première, je ne l'affiche pas, ainsi je peux obtenir des configurations de plus en plus grande ou égale. Et ainsi de suite 100 fois. Sur les 100, j'ai obtenu 97 fois 7448, donc je suis sûr à 97% de ma réponse..."
Gryfo, je trouve ta démarche très intéressante.
En termes d'efficacité, il aurait été bien plus direct
(en nombre de tentatives et en niveau de certitude de l'obtention de l'optimum)
d'appliquer ton test sur les 9! = 362,880 combinaisons d'opérations envisageables
(l'exaustivité étant ici calculable)...
Mais ton procédé t'évite la programmation des cas exaustifs.
Qui plus est, ce type de procédé peut s'appliquer
pour proposer des conditions d'arrêt dans des algorithmes
de recherche d'optimums sur des problèmes à combinatoire explosive.
En revanche, ta "déduction" sur le "niveau de confiance"
de ton résultat (à supposer qu'elle soit "sérieuse")
semble très nettement sous-estimée.
Explication :
Tes itérations 1 à 3 te fournissent des solutions inférieures au MAX.
Tu trouves ensuite ton MAX à la quatrième itération.
Puis, sur les 96 itérations suivantes,
dans la mesure où ton algorithme ignore toute solution inférieure au MAX,
tu devrais tomber aléatoirement sur une des solutions restantes.
Si ton MAX est l'optimum, il est logique que tu retombes toujours sur lui.
Si ton MAX n'est pas l'optimum,
alors il reste au moins k autres solutions supérieures à MAX (k>0).
Et donc la probabilité de tomber 96 fois sur ton MAX,
plutot que sur une des k solutions supérieures à MAX,
vaudra Pk(96) = [1/(k+1)]^96.
En évaluant P1 (qui est la plus grande des Pk),
... on trouve P1(96) = 2^-96 ~ 10^-29
La probabilité qu'il existe ne serait-ce qu'une autre solution supérieure à ton MAX,
est donc inférieure au milliardième de milliardième de milliardième de pourcent,
c'est à dire "pas bézef", comme on dit dans le jargon probabiliste ...
Conclusion : ton intuition était parfaite et tes choix pertinents.
Tu n'as juste pas osé la traduire en chiffres à la mesure de leur véritable vraisemblance.
Merci pour ton post et pour ton programme,
c'est toujours intéressant pour capter des démarches "alternatives" ...
Bonne idée mais le "J'ai réalisé un programme en Python qui choisi de manière aléatoire les chiffres de 1 à 9" me dérange un peu
En informatique l'aléatoire n'existe pas, c'est plutôt pseudo-aléatoire. Ainsi tu n'as pas tout à fait 97% de chance d'avoir raison
Enfin en tout cas bonne idée mais si une brute force était adéquate ici aussi
Scilab :
tic()
a=0
c=0
for A=1:9
for B=1:9
if B<>A then
for C=1:9
if C<>B & C<>A then
for D=1:9
if D<>C & D<>B & D<>A then
for E=1:9
if E<>D & E<>C & E<>B & E<>A then
for F=1:9
if F<>E & F<>D & F<>C & F<>B & F<>A then
for G=1:9
if G<>F & G<>E & G<>D & G<>C & G<>B & G<>A then
for H=1:9
if H<>G & H<>F & H<>E & H<>D &H<>C & H<>B & H<>A then
for I=1:9
if I<>H & I<>G & I<>F & I<>E & I<>D & I<>C & I<>B & I<>A then
if (A*10^2+B*10+C)*(D*10+E)==(F*10+G)*(H*10+I)
a=(F*10+G)*(H*10+I)
if a>c then
c=a
disp(c)
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
disp(toc())
A mon avis, Ben, on ne trouvera pas avec certitude, a moins d'effectuer soi-meme les 9! multiplications. Tu peux commencer par chercher les produits de nombres de deux chiffres chacun les plus grands, sachant que tu ne dois pas avoir de multiple de 5. Pour chacun de ces produits, tu cherches si et comment on peut configurer les 5 chiffres qui manquent pour obtenir ce meme produit de l'autre cote*. Tu tomberas tres vite sur 7448. C'est d'ailleurs ce que j'ai fait. Le probleme, c'est que tu ne pourras pas etre vraiment certain que c'est le meilleur choix, raison pour laquelle j'ai du verifier par le programme apres...
En bon joueur, je felicite totti pour sa nouvelle victoire. Le mois de Mars etant mon prefere*, je suis fier qu'il ait un champion si talentueux... A bientot!
Skep, ton commentaire sur le pseudo aléatoire qui serait supposé modifier la probabilité d'avoir trouvé l'optimum me semble erroné à deux titres :
1. Tu donnes une image dénaturée de la démarche proposée par Gryfo, qui n'est certe pas "parfaite" et "exhaustive", mais qui est originale et qui finalement s'avère tout à fait efficace pour le but recherché. La probabilité que le MAX trouvé par Gryfo soit l'optimum était de fait si élevée (bien plus que 97%*) que le résultat en devient une quasi certitude voir mon post juste avant le tien...).
2. Tu suggères que les générateurs pseudo aléatoire ne peuvent pas être utilisés dans des algorithmes nécessitant du "hasard". S'il est vrai que des précautions doivent être prises, ces générateurs sont de plus en plus performants, et ils sont copieusement testés et évalués, notamment sur le seul point qui poserait problème ici : une défaillance qui ferait "boucler" le générateur sur une série répétée ou qui n'atteindrait jamais certaines séries de valeurs (ou en fréquence totalement déséquilibrée). Dans le cas du langage utilisé (Python) je doute vraiment que de telles défauts puissent être imputables au générateur.
(*) NB : A propos du 97% mentionné par Gryfo, je crois deviner qu'il a évoqué ce chiffre sans vraiment y penser, mais juste pour traduire l'idée intuitive qu'il avait d'être parvenu au bon résultat. Idée encore bien plus juste en réalité, que ce qu'il imaginait.
LeDino, je ne voulais rabaissé personne. L'idée de Gryfo etait vraiment bonne puisque en generant du pseudo - aleatoire on arrive plus rapidement à un resultat. ( demontre scientifiquement et utilisé dans toutes modelisations scientifiques ) Certes il n'y a pas de certitude de la veracité du resultat mais on a de bonne chance de trouver le bon resultat avec un temps d'execution plus rapide. Je pense par exemple au test de primalité de Rabbin-Miller
Non mon intervention etait juste pour rappeler que l'aleatoire pur n'existait pas. L'informatique ne peut pas être aléatoire.
C'est tout desolé si j'ai offensé quelqu'un
Bonjour Skep,
Personne ne s'est senti offensé par ton intervention .
Ici c'est un forum mathématique ou nous partageons en amis une passion commune .
Chacun s'exprime librement et ton intervention n'était pas irrespectueuse.
J'ai juste rectifiée ton affirmation "Ainsi tu n'as pas tout à fait 97% de chance d'avoir raison...", parce qu'elle était fausse sur plusieurs points :
D'abord parce que la probabilité n'est pas d'environ 97% mais qu'elle est considérablement plus grande et que ça t'avait échappé.
Ensuite parce que le débat sur l'incidence éventuelle du caractère "pseudo" aléatoire du générateur sur l'estimation du seuil de confiance du résultat, serait d'une complexité extrême, très au-dessus du niveau de l'énigme.
Enfin parce que ce débat ne ferait probablement qu'accoucher (difficilement) d'une souris, tant le niveau de certitude sur le résultat est ici élevé.
Par ailleurs, je rectifie maintenant une autre erreur, dans ta dernière intervention : "Certes il n'y a pas de certitude de la veracité du resultat mais on a de bonne chance de trouver le bon resultat avec un temps d'execution plus rapide...".
En affet, l'algorithme de Gryfo n'est certainement pas "plus rapide en temps d'exécution" comme tu sembles le penser.
Là où un algorithme exhaustif évalue systématiquement les 9! cas possibles, donc en 362.880 itérations, l'algorithme de Gryfo requiert probablement plusieurs dizaines de millions d'itérations (100 exécutions d'une boucle qui doit elle-même tester à chaque fois des centaines de milliers de cas aléatoires pour couvrir correctement les 9! cas possibles et avoir une chance de trouver la solution MAX).
Tout au plus, si Gryfo a économisé du temps, il s'agit de son temps humain à lui : l'algorithme qu'il a programmé lui convenant mieux, pour des raisons qui lui appartiennent.
Et si tu veux réagir à ces arguments, ne t'en prives pas, le forum est fait aussi pour ça ...
Amicalement.
Tout à fait d'accord avec toi LeDino, et c'est vrai que ta phrase "est donc inférieure au milliardième de milliardième de milliardième de pourcent" m'avait echappé
En revanche, la où je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi, c'est pour les itérations : je pense que le temps d'execution d'un programme ne dépend pas que du nombre d'itération mais de la complexité des conditions qu'on applique (en gros il est plus rapide de faire 1million d'iteration pour quelque chose banal(une simple addition par exemple) que 300.000 pour voir si un nombre est pandigital à 9chiffres par exemple.Je vais reprendre le test de Rabbin-Miller, ce test fais plus d'iteration qu'un test de primalité normal ou que le crible et pourtant il est bien plus efficace car il genere un grand nombre de nombres pseudo-premiers
Reprend moi si je me trompe
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