Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Décomposition de Dunford
Bonjour,
Q1) Pouvez vous me dire ce que la décomposition de Dunford (décomposer une matrice comme la somme d'une matrice diagonalisable et nilpotente) nous apporte de particulier ?? Je n'en vois pas trop son utilité !!
Q2) Dans un exercice j'ai du triangulariser un matrice, et la décomposer comme somme d'une matrice diagonale et nilpotente !!
Donc par exemple:
Or il se trouve que j'avais directement que le produit de la matrice triangulaire et nilpotente commutaient, c'est à dire que ... Mais dans le cas où le hazard ne ferait pas aussi bien les choses, comment trouver une matrice diagonale et nilpotente à partir d'une matrice triangulaire donc le produit commute ??
Merci 
Bonjour,
Plein de choses ! En particulier, cela simplifie le calcul des puissances de l'endomorphisme/matrice ( par le binome de Newton ) et donc cela permet de calculer simplement l'exponentielle de ton endomorphisme/matrice.
On a plusieurs moyens de trouver une décomposition : via la décomposition de Jordan par exemple ou via un algorithme de recherche de coefficients de Bezout.
Fais une recherche sur internet, c'est très bien expliqué. Voici l'idée de base : tu images avoir le polynôme minimal de ta matrice A : .
On pose , ces polynomes sont premiers entre eux, donc par Bezout il existe
tel que
.
La matrice diagonale sera alors
Bon c'est dit rapidement, mais si tu fais une recherche sur internet, tu trouveras des pdf très bien écrit la dessus.
Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Narhm. La décomposition de Dunford, en elle-même, ne sert strictement à rien pour calculer les puissances ou l'exponentielle. Je dis bien en elle-même c.-à-d. juste la connaissance d'une matrice diagonalisable D et d'une matrice nilpotente N commutant avec D telles que M=D+N.
Par ailleurs, les méthodes indiquées par Narhm pour calculer la décomposition de Dunford supposent de connaître les valeurs propres. Or on peut calculer de manière effective la décomposition de Dunford sans aucune connaissance des valeurs propres (c.-à-d. en ne faisant aucun scindage du polynôme caractéristique).
Je ne comprends pas ta question Q2. Pourrais-tu la reformuler ?
Juste un exemple classique du piège dans lequel il ne faut pas tomber. Quelle est la décomposition de Dunford de la matrice ?
Le piège est que on aurait que la décomposition de Dunford est:
Mais il se trouve que le produit de la matrice nilpotente et diagonale ne commute pas, donc ça ne peut pas être ça 
Et en fait c'est exactement ma question, comment trouver la décomposition de Dunford de cette matrice ??
merci
Effectivement, en fait, je pensais surtout à la preuve effective de Dunford (ce qui semble plus intéressé ferenc) plutôt qu'à la théorie d'existence et unicité en elle-même.
Par exemple, dans le cas de ta matrice, elle est clairement diagonalisable donc sa décomposition de Dunford est "triviale".
GaBuZoMeu: Tu fais allusion à la méthode de "Newton" pour trouver la décomposition de Dunford sans connaitre les valeurs propres ?
Pour obtenir les en question, tu peux simplement décomposer en élément simple
et poursuivre.
(Je t'insite vivement à aller voir sur le net des documents très bien écrit avec plein d'exemple.)
Attention la décomposition de Dunford de ta matrice A c'est A + 0 .
Ta matrice D est diagonalisable et pas diagonale ! (enfin pas toujours)
Mon exemple est mauvais...
Je ne trouve pas d'exemple, mais il existe forcément des matrices triangulaires
qui ne soit pas diagonalisable et dont la décomposition:
ne soit pas de Dunford (puisque le produit de la matrice nilpotente et diagonale ne serait-pas commutative). Et donc, comment trouver la décomposition de Dunford de ce type de matrice ??
merci
Ferenc
La décomposition de Dunford existe pour toute matrice à polynôme caractéristique scindé. Tu peux trouver des démonstrations simples avec Google. L'erreur qui revient sans cesse est de confondre matrice diagonalisable et matrice diagonale. Voici un petit exemple:
On a la composante diagonalisable (pas diagonale !) et la composante nilpotente
maintenant pour trouver D il y a une méthode sans les valeurs propres expliquée je sais plus où (il me semble que c'est sur le site de l'agrégation de Rennes mais je sais plus si c'est là que je l'ai vue il y a longtemps...)
On veut une matrice diagonalisable + nilpotente qui commutent, pas de "diagonale".
De plus, je t'ai déjà indiqué comment faire dans mon premier message ( + l'indication dans mon deuxième message) ...
Pourquoi ne pas en prendre compte ? As-tu vraiment cherché dans des livres ou sur internet une méthode ? la preuve de la décomposition de Dunford ?
Si tu reprends mes messages en question, tu vas voir que :
¤ est le polynome minimal de A
¤ Une décomposition en éléments simples de 1/P te donne .
¤ On calcul alors la matrice D diagonalisable : et tu en déduis N.
Alors certes, ça ne fait pas parti du programme mais c'est clairement des outils de math Spé.
@lolo271 : oui, on trouve une méthode sans les valeurs propres sur le site de la prépa agreg de Rennes.
oui c'est hors programme, avec le programme tu fais comme indiqué par Narhm ...et moralement cette décomposition sert...à faire des exos bateau.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac