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DM calcul d'aires second degré


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premièreDM calcul d'aires second degré

#msg4144329#msg4144329 Posté le 20-04-12 à 13:54
Posté par Profilmalia malia

Bonjour,

J'ai un DM à faire que je ne comprend absolument pas donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Voici l'énoncé:

f et g sont les fonctions définies sur R par:
f(x)= x² - 2ax +1  et g(x)= 2b(a-x) où a et b sont des nombres réels.

Dans un repère orthonormé, on note D l'ensemble des points M(a;b) pour lesquels les courbes représentatives des fonctions f et g ne se coupent pas. Calculer l'aire D.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4144402#msg4144402 Posté le 20-04-12 à 14:33
Posté par ProfilPriam Priam

Cherche à déterminer les points d'intersection des deux courbes, puis la condition sur  a  et  b  pour qu'il n'y ait pas de points d'intersection.
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re : DM calcul d'aires second degré#msg4144728#msg4144728 Posté le 20-04-12 à 16:11
Posté par Profilmalia malia

Merci pour votre réponse mais le problème c'est que je ne sais pas comment trouver les points d'intersection et les conditions pour qu'il y en ait pas...
re : DM calcul d'aires second degré#msg4144750#msg4144750 Posté le 20-04-12 à 16:17
Posté par ProfilPriam Priam

Les points d'intersection ayant évidemment la même ordonnée sur une courbe et sur l'autre, leurs abscisses sont solutions de l'équation  f(x) = g(x).
Explicite cette équation et détermine la condition pour qu'elle n'ait pas de solution.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4145166#msg4145166 Posté le 20-04-12 à 18:08
Posté par Profilmalia malia

Je suis désolée mais je comprend vraiment pas, je suis incapable d'expliquer cette équation !
re : DM calcul d'aires second degré#msg4145690#msg4145690 Posté le 20-04-12 à 22:31
Posté par ProfilPriam Priam

L'équation d'une courbe  y = f(x) définit la condition que doivent satisfaire les coordonnées (x; y)d'un point pour qu'il appartienne à la courbe.
Si par exemple pour  x = 2 on obtient  y = f(2) = 3, le point (2; 3) appartient à la courbe représentative de la fonction f(x). Par contre, le point de coordonnées (2; 1), par exemple, n'appartient pas à la courbe. A chaque valeur de  x  correspond une valeur de  y  par la fonction f(x).
De même pour une autre courbe définie par une fonction g(x).
En un point d'intersection des deux courbes, d'abscisse  a , les deux fonctions fournissent, pour cette valeur  a , une même valeur  b  de  y : c'est l'ordonnée du point d'intersection. On a donc  f(a) = g(a) = b .
C'est pourquoi l'équation  f(x) = g(x) a pour solutions les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4145954#msg4145954 Posté le 21-04-12 à 09:44
Posté par Profilmalia malia

Ok je comprend un peu mieux cette démarche mais en quoi elle va me permettre de calculer l'aire de D ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4145974#msg4145974 Posté le 21-04-12 à 10:10
Posté par ProfilPriam Priam

La condition que doivent respecter  a  et  b  se traduira par une relation entre ces deux grandeurs constituant l'équation du contour du domaine D. Tu comprendras quand tu auras fait le calcul.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146277#msg4146277 Posté le 21-04-12 à 13:24
Posté par Profilmalia malia

Alors j'ai essayé de résoudre l'équation f(x)=g(x) qui revient donc à x²-2ax+1 = 2b(a-x).
Je trouve (x-a)²-a+1 = 2ba - 2bx  je suis vraiment pas sûr de mon résultat.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146320#msg4146320 Posté le 21-04-12 à 13:54
Posté par ProfilPriam Priam

Regroupe tous les termes à gauche, ordonne-les suivant les puissances de  x  et écris la condition pour que l'équation n'ait pas de solution.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146516#msg4146516 Posté le 21-04-12 à 15:15
Posté par Profilmalia malia

(x-a)²-2ba+2bx-a+1=0 c'est ça ? et la condition pour que l'équation n'ait pas de solution c'est ce résultat non ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146548#msg4146548 Posté le 21-04-12 à 15:22
Posté par ProfilPriam Priam

Il reste à développer le carré, puis à regrouper et à ordonner les puissance de  x  afin de mettre l'expression sous la forme  mx² + px + q .
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146858#msg4146858 Posté le 21-04-12 à 17:15
Posté par Profilmalia malia

si je développe le carré ça me donne x²-2ax+a²-2ba+2bx-a+1 et si après j'ordonne ça donne x²+a²-2ax-2ba+bx-a+1 mais à partir de là je suis bloquée pour mettre sous la forme mx²+ px + q
re : DM calcul d'aires second degré#msg4146869#msg4146869 Posté le 21-04-12 à 17:18
Posté par ProfilPriam Priam

Réunis les termes en  x  et place-les immédiatement après le terme en x² . Puis calcule le discriminant du trinôme.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4147255#msg4147255 Posté le 21-04-12 à 20:00
Posté par Profilmalia malia

Si je fais ça, ça donne x²-2ax+2bx alors comment je calcule le discriminant parce que à quoi corresponde -2ax et 2bx dans le trinôme et qu'est ce que je fais de a², -2ba, -a et 1 ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4147450#msg4147450 Posté le 21-04-12 à 22:22
Posté par ProfilPriam Priam

Non, écris tous les termes, y compris les termes constants.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4147706#msg4147706 Posté le 22-04-12 à 10:32
Posté par Profilmalia malia

D'accord donc cette fois-ci ça donnerait x²-2ax+2bx+a²-ba-a+1 ? Mais là encore je vois pas quels termes correspond à quelles lettres dans le formule du discriminant
re : DM calcul d'aires second degré#msg4147973#msg4147973 Posté le 22-04-12 à 12:59
Posté par ProfilPriam Priam

Tu peux encore grouper les termes en  x  en un seul terme.
Tu noteras alors le coefficient de x², celui de  x  et le terme constant afin de calculer le discriminant.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4148085#msg4148085 Posté le 22-04-12 à 13:43
Posté par ProfilPriam Priam

Je m'aperçois que ton équation est inexacte.
Reprends l'équation que tu avais écrite à 13h24, 1ère ligne (celle de la 2ème ligne est fausse) et ordonne tout de suite ses termes suivant les puissances de  x .
re : DM calcul d'aires second degré#msg4148097#msg4148097 Posté le 22-04-12 à 13:49
Posté par Profilmalia malia

Si je regroupe tout ça va faire : x²+2x(b-a)+(a²-ba-a+1)=0 et le discriminant est alors égal à
[2(b-a)]²-4*1(a²-ba-a+1)
= 4(b²-2ab+a²)-4a²+4ba+4a-4
=4b²-8ab+4a²-4a²+4ba+4a-4
=4b²-4ab+4a-4
=4(b²-ab+a-1)

Voilà j'espère y être enfin arrivé! Maintenant je comprend toujours pas pourquoi il fallait faire ça et je sais pas du tout où ça me mène
re : DM calcul d'aires second degré#msg4148109#msg4148109 Posté le 22-04-12 à 13:52
Posté par Profilmalia malia

Mince! je viens seulement de voir que vous vous êtes aperçu de mon erreur ! J'imagine donc que mon dernier calcul est faux
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149201#msg4149201 Posté le 22-04-12 à 18:19
Posté par Profilmalia malia

En reprenant l'équation de départ et si je comprend bien ce que vous me dites je trouve x²-2ax+1-2b(a-x)=0 donc je ne développe pas ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149249#msg4149249 Posté le 22-04-12 à 18:29
Posté par ProfilPriam Priam

Tu développes les parenthèses, tu ordonnes les puissances de  x  et tu calcules le discriminant.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149280#msg4149280 Posté le 22-04-12 à 18:38
Posté par Profilmalia malia

D'accord donc cette fois-ci ça me donne
x²-2ax+1-2ba+bx
= x²+2x(b-a)-(2ba+1)

le discriminant est alors égal à:
[2(b-a)]²-4*1(-2ba+1)
= 4(b²-2ab+a²)+8ba-4
= 4b²-8ab+4a²+8ba-4
=4b²+4a²-4

Voilà j'espère que je n'ai pas fait d'erreur cette fois-ci
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149337#msg4149337 Posté le 22-04-12 à 18:52
Posté par ProfilPriam Priam

Pas d'erreur, c'est exact.
Maintenant, relis l'énoncé et mon premier message pour voir ce qu'il faut faire de ce discriminant.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149432#msg4149432 Posté le 22-04-12 à 19:18
Posté par Profilmalia malia

Je suis vraiment pas sûre de ce que je vais dire mais je pense que si le discriminant est négatif alors se sera la condition pour que les courbes ne se coupent pas et si il est positif les solutions permettront de trouver les point auxquels les courbes se coupent ?  
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149526#msg4149526 Posté le 22-04-12 à 19:39
Posté par ProfilPriam Priam

C'est bien cela. Selon les valeurs de  a  et  b, on se trouvera dans l'un ou l'autre des deux cas.  L'énoncé demande de s'intéresser au premier cas.
Détermine la ligne de démarcation entre les deux cas.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149643#msg4149643 Posté le 22-04-12 à 20:31
Posté par Profilmalia malia

Alors je sais pas trop à quoi correspond "la ligne de démarcation entre les 2 cas" mais j'ai calculé pour delta positif x1= -2x(b-a)+racine 4b²+4a²-4 /2 et j'arrive à x1= -x(b-a)+racine b²+a²-1 puis x2= -x(b-a)-racine b²+a²-1 est ce bien cela ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4149867#msg4149867 Posté le 22-04-12 à 22:41
Posté par ProfilPriam Priam

Je ne comprends pas bien. La ligne de démarcation correspond à  Delta = 0 . Peux-tu dire quelle est sa nature ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150049#msg4150049 Posté le 23-04-12 à 10:16
Posté par Profilmalia malia

la nature de delta j'en ai aucune idée ... si ça nature c'est quelle calcul il faut faire pour obtenir delta=0 je sais simplement que c'est -b/2a
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150064#msg4150064 Posté le 23-04-12 à 10:23
Posté par ProfilPriam Priam

Ecris  Delta = 0  et explicite Delta. Que trouves-tu ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150125#msg4150125 Posté le 23-04-12 à 11:41
Posté par Profilmalia malia

Je trouve 4(b²+a²-1)=0
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150193#msg4150193 Posté le 23-04-12 à 12:40
Posté par ProfilPriam Priam

Tu peux simplifier par 4.
Maintenant, quel est le lieu du point M(a; b) dont les coordonnées vérifient cette équation ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150216#msg4150216 Posté le 23-04-12 à 12:54
Posté par Profilmalia malia

Donc je trouve a²+b²=1 ne serait-ce pas une équation de cercle ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150286#msg4150286 Posté le 23-04-12 à 13:44
Posté par ProfilPriam Priam

Mais oui !
Vois-tu où se situe l'ensemble D ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150319#msg4150319 Posté le 23-04-12 à 14:08
Posté par Profilmalia malia

L'ensemble D se situerait tout autour du cercle de rayon 1 ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150322#msg4150322 Posté le 23-04-12 à 14:09
Posté par ProfilPriam Priam

Pour quelle raison ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4150761#msg4150761 Posté le 23-04-12 à 17:16
Posté par Profilmalia malia

Ben je sais pas ça me semblait logique ... C'est pas ça ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151171#msg4151171 Posté le 23-04-12 à 19:39
Posté par ProfilPriam Priam

Le cercle est la frontière entre deux zones : celle qui est à l'intérieur et celle qui est à l'extérieur.
Pour savoir quelle est la bonne pour répondre à la question de l'énoncé, prends un point quelconque à l'intérieur du cercle. Un point particulièrement commode est son centre. Pour ce point, quelle est la valeur de Delta ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151221#msg4151221 Posté le 23-04-12 à 20:03
Posté par Profilmalia malia

En prenant le centre comme point, je remplace a et b par 0 et je trouve delta = -1. Je voulais juste revenir un petit coup en arrière car je ne suis pas sûre d'avoir bien compris pourquoi après avoir calculer le discriminant on a fait delta= 0 ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151227#msg4151227 Posté le 23-04-12 à 20:09
Posté par ProfilPriam Priam

On cherche à distinguer les cas où Delta est positif et ceux où Delta est négatif.
La frontière correspond à Delta = 0.
En conclusion, comment se définit l'ensemble D ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151238#msg4151238 Posté le 23-04-12 à 20:15
Posté par Profilmalia malia

ce sont tous les points qui sont en dehors du cercle non ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151309#msg4151309 Posté le 23-04-12 à 20:55
Posté par ProfilPriam Priam

A quel signe de Delta s'intéresse-t-on selon l'énoncé pour définir l'ensemble D ?
Quel signe as-tu trouvé pour le centre du cercle ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151358#msg4151358 Posté le 23-04-12 à 21:30
Posté par Profilmalia malia

Pour le centre du cercle le signe était négatif mais là tout est embrouillé dans ma tête je comprend plus grand chose !!
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151401#msg4151401 Posté le 23-04-12 à 22:04
Posté par ProfilPriam Priam

Relis ton message de 19h18.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151653#msg4151653 Posté le 24-04-12 à 10:18
Posté par Profilmalia malia

D'accord. Donc si l'on reprend là où l'on était avec le centre du cercle, comme delta est négatif et bien les courbes ne se coupent pas. Mais qu'est ce que ça montre ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151658#msg4151658 Posté le 24-04-12 à 10:25
Posté par ProfilPriam Priam

Cela montre que la surface entourant le centre du cercle et limité par la circonférance de celui-ci définit l'ensemble D.
Pour tout couple (a; b) tel que le point M(a; b) soit situé à l'intérieur de ce cercle, les courbes représentatives des fonctions  f(x) = x² - 2ax + 1  et  g(x) = 2b(a - x)  ne se coupent pas.
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151660#msg4151660 Posté le 24-04-12 à 10:28
Posté par Profilmalia malia

Oui effectivement ça me parait plus clair cette fois-ci ! Ensuite pour calculer l'aire de D faut il calculer l'aire du cercle de rayon 1 ?
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151661#msg4151661 Posté le 24-04-12 à 10:29
Posté par ProfilPriam Priam

Oui. Ce n'est pas trop difficile !
re : DM calcul d'aires second degré#msg4151663#msg4151663 Posté le 24-04-12 à 10:31
Posté par Profilmalia malia

Non le calcul n'est pas compliqué mais on va se retrouver avec une valeur approchée

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