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Joute n°70 : Elections en Scalénie

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
22-04-12 à 13:04

Bonjour à tous,

C'est aujourd'hui le grand jour : la Scalénie élit son président !

5 candidats se sont présentés au suffrage des scaléniens. Nous les appellerons A, B, C, D et E.
Pour qu'un candidat puisse accéder au 2ème tour, il faut qu'il ait obtenu au moins 1/8ème des voix exprimées au 1er tour.

Comme les scaléniens ont un grand sens civique, 100% des 3000 électeurs du pays sont allés voter au 1er tour à l'issue duquel les candidats A et B restent seuls en lice pour le second tour.
Aucun vote blanc ou nul n'est constaté, pas plus au premier tour qu'au second.

Les sondages en Scalénie étant beaucoup plus fiables qu'ailleurs, on peut établir une grille extrêmement précise des reports de voix au second tour.
Les cases du tableau ci-dessous contiennent les pourcentages de report de voix sur A et B au second tour. Les pourcentages donnés sont exacts et non arrondis.

Joute n°70 : Elections en Scalénie

Par exemple, parmi les gens qui ont voté pour E au premier tour, 47% d'entre eux ont voté pour A au second tour et 32% d'entre eux ont voté pour B. Les 21% restants se sont abstenus.

Finalement, au terme d'un second tour particulièrement serré, A l'emporte avec 34 voix d'avance sur B.
Le dépouillement montre que le gain en nombre de voix du candidat A entre les deux tours a été supérieur de 102 voix par rapport au gain en nombre de voix du candidat B.
En d'autres termes, si A obtient a_1 voix au 1er tour et a_2 voix au second tour, et que B obtient b_1 voix au 1er tour et b_2 voix au second tour, alors (a_2 - a_1) - (b_2 - b_1) = 102.

Question : Combien de voix les candidats A et B ont-ils obtenu au premier tour ?

S'il existe plusieurs possibilités, donnez-les toutes.

Posté par
masab
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 14:28

gagnéIl y a une seule solution
a1=991   b1=1059  

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 14:35

perduLa différence de voix entre A et B obtenues au premier tour est de 68 en faveur de b.
Soit a et b ces valeurs .
Elles vont de a=375, b=443 à a=991, b=1059, soit 617 possibilités.

Posté par
totti1000
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 14:57

gagnéSalut godefroy,

Je propose 991 voix pour A et 1059 voix pour B.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Benwat
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 15:17

perduJe pense que j'ai fait une boulette, parce que bon... j'ai écrit ue système d'équations linéaire avec une inconnue de plus que d'équations, du coup, j'ai pas de solution unique, mais un espace de solution à 1 dimension. Or, dans cette espace, parmi le nomvre de votant pour C, D, ou E au premier tour, il y a toujours au moins une valeur négative ou non entière...

Voici donc ma réponse : Il n'existe pas de solutions.  :/

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 16:06

gagnéBonjour Godefroy, toujours inspiré par l'actualité,

Je ne trouve qu'une solution :  991 voix pour A ,  1059 voix pour B

Posté par
caylus
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 17:01

gagnéBonjour Godefroy,

Le candidat A a obtenu 991 voix au premier tour.
Le candidat B a obtenu 1059 voix au premier tour
Merci pour la joute.

Posté par
dpi
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 17:16

gagnéBonjour

Nous avons eu la même inspiration,j'aurais
du m'en douter et m'abstenir

J'ai l'avantage de répondre  à l'officielle.

A avait  991 voix et B 1059 au premier tour
(une autre solution aurait permin à c d'être au
deuxième tour ce qui aurait un peu perturbé...)

Posté par
rschoon
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 18:33

gagnéBonjour à tous.

Ma solution : A a obtenu 991 voix, B a obtenu 1059 voix.

Cordialement.

Posté par
Tof
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 18:51

gagnéBonjour,

Au premier tour, les candidats ont obtenu (solution unique) :
A : 991 voix
B: 1059 voix

Merci pour cette énigme !

Tof

Posté par
geo3
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 19:12

gagnéBonjour

A a obtenu au 1er tour  \Large  991  voix  et   B   \Large  1059  voix
A+

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 19:32

gagnéBonjour Godefroy.
Au premier tour, A a obtenu 991 voix et B 1059 voix.

Bonus de report en faveur de A : 102.
Ce bonus se décompose comme suit :
-2 par 100 électeurs de C
9 par 50 électeurs de D
15 par 100 électeurs de E
Pour arriver à un bonus divisible par 3, le nombre de groupes d'électeurs de C doit être divisible par 3; il y a un bonus de -6 par 300 électeurs de C.
Il y a c groupes de 300 électeurs de C; d groupes de 50 électeurs de D; e groupes de 100 électeurs de E.
-6c+9d+15e = 102
-2c+3c+5e = 24
en modulo 5, c+d = 3; en modulo 3, c+2 = e; en modulo 2, d = e
Comme il y a des résultats précis de sondage, ni c, ni d, ni e ne sont nuls.
c <= 1; d <= 7; e <= 3
La seule solution est : c = 1; e = 3; d = 7.
Premier tour :
A = 991; B = 1059; C = 300; D = 350; E = 300
Deuxième tour :
A = 991 + 300x41% + 350x52% + 300x47% = 1991+123+182+141 = 1437 (il a gagné 446 voix)
B = 1059 + 300x43% + 350x34% + 300x32% + 1059+129+119+96 = 1403 (il a gagné 344 voix)

Posté par
geo3
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 22-04-12 à 22:26

gagnéRE
Vive le poisson car j'ai trouvé une 2ème solution
A1 = 1141 et B1 = 1460
Merci pour ces enigmes
A+

Posté par
Chatof
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 03:04

gagnéBonjour,
A=991  B=1059

(C=300 D=350 E=300) Une solution.
Merci,

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 07:38

gagnéSauf erreur, je propose 991 voix pour A et 1059 pour B. Au premier tour, bien sur!
Thanks for this one, Mr. lehardi.

Posté par
Kidam
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 10:44

gagnéHeureusement que les pourcentages ne sont pas arrondis, sinon, ça faisait un sacré paquet de réponse !

Comme les reports des voix de C et E sont des nombres premiers, ces deux candidats ne peuvent avoir obtenu qu'un nombre entier de centaines de voix (100, 200 ou 300 pour rester en dessous de 375 voix et ne pas dépasser 1/8 des voix des habitants de l'île, sinon ils seraient au 2ème tour).
Le report de D n'autorise lui que des nombres entiers de cinquantaines de voix (50, 100, 150, 200,250, 300 et 350).

Du fait de l'énoncé, nous avons :

a_2=a_1+0.41c_1+0.52d_1+0.47e_1
équivalent à :  a_2-a_1=0.41c_1+0.52d_1+0.47e_1

b_2=b_1+0.43c_1+0.34d_1+0.32e_1
équivalent à : b_2-b_1=0.43c_1+0.34d_1+0.32e_1

De ce fait :
 (a_2-a_1)-(b_2-b_1)=102 (E1)
0.41c_1+0.52d_1+0.47e_1-0.43c_1+0.34d_1+0.32e_1=102
 \\ -0.02c_1+0.18d_1+0.15e_1=102

Après vérification dans un tableur, seul le trio  (c_1=300;d_1=350;e_1=300) permet de résoudre cette équation.

Enfin :
a_1+b_1+c_1+d_1+e_1=3000
a_2-b_2=34 donc b_1-a_1=68 en remplaçant dans (E1)

Cela nous donne :
a_1=\frac{2932-(c_1+d_1+e_1)}{2}=991
 \\ b_1=\frac{3068-(c_1+d_1+e_1)}{2}=1059

Le candidat A avait donc 991 voix au premier tour alors que le candidat B en avait 1059.

A noter que le candidat arrivé en tête au premier tour a finalement perdu les élections... Une prédiction ?

Posté par
ninis21
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 13:32

perdu...

Posté par
geo3
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 13:48

gagnéRe
Heureusement que le 2ème post ne compte pas car ma 2ème réponse est fausse en espérant que la 1ère soit  bonne
Sorry
A+

Posté par
ksad
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 14:16

gagnéBonjour

Je fais l'hypothèse raisonnable que les pourcentages de report des voix des candidats C, D et E résultent chacun en un nombre entier de voix bénéficiant aux candidats A et B.
Dès lors, c_1 et e_1 doivent être multiples de 100, tandis que d_1 doit être multiple de 50, pour que les reports donnent des nombres entiers. De plus, puisque C, D et E ont été éliminés dès le premier tour, cela signifie qu'aucun n'a atteint le seuil de 375 voix.

En reformulant (a_2-a_1) - (b_2-b_1) = 102 en termes de reports, il vient -0.02 c_1 + 0.18 d_1 + 0.15 e_2 = 102, avec les conditions précitées.

La seule combinaison possible est alors: c_1 = 300, d_1 = 350, e_1 = 300.

Restent donc 2050 voix à partager entre a_1 et b_1. Avec la condition terminale exprimée (34 voix d'avance pour A) on trouve comme seule solution possible :

a_1 = 991
b_1 = 1059

Merci pour la joute, et à bientôt !

Posté par
LeDino
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 14:17

gagnéBonjour,

Je propose : a1=991 et b1=1059.

Explication :
Il existe une méthode très simple et très directe :

A termine en avance de 34 votes.
Le report sur A dépasse le report sur B de 102 votes.
Donc A était au départ en retard de 68 votes.

Les taux de report étant exprimés en pourcentage, les voix acquises au premier tour par C, D et E, sont des multiples de 100 (ou de 50 pour D), à défaut de quoi les nombres de voix (entiers) ne coïncideraient pas avec ces pourcentages.

Comme en outre, C, D et E ont atteint moins de 375 voix (moins de 1/8), il en découle que D et E valent au plus 350 et 300.

Or, le bénéfice de report pour A atteint grace à D et E s'élève dans ce cas à 108 voix : c'est à la fois le maximum de report gagnés grace à D et E, mais c'est aussi le minimum, car toute valeur inférieure de D ou E (multiple de 50 et 100) conduirait à un report insuffisant, compte tenu du report de C qui est au bénéfice de B.

Conclusion : D=350 et E=300
(créant un bénéfice de report pour A de 108).

Dans ce cas, il faut faire perdre 6 voix à A grâce à C qui vaut donc 300.

Connaissant C=300, D=350 et E=300 et sachant que B1=A1+68 et que le cumul vaut 3000 :
on trouve A1=991 et B1=1059.

Merci pour cette énigme dans l'air du temps ...

Posté par
evariste
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 18:53

gagnéAu premier tour, A

Posté par
evariste
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 23-04-12 à 18:54

gagnéAu premier tour, A a obtenu 991 voix et B 1059 voix

Posté par
torio
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 24-04-12 à 08:49

gagnéA a obtenu 991 voix
B a obtenu 1059 voix


A+
Torio

Joute n°70 : Elections en Scalénie

Posté par
o-k
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 24-04-12 à 15:40

gagnéBonjour !

Je trouve A: 991 voix et B: 1059 voix au premier tour.

Merci pour l'énigme.

Posté par
dakane
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 24-04-12 à 20:16

gagné991  voix pour A
1059 voix pour B

Posté par
sbarre
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 27-04-12 à 22:39

gagnéBonsoir;
avec un peu de calcul je trouve que c d et e sont inférieurs à 375, que c et e sont multiples de 100 et que d est multiple de 50; ce qui me donne une seule solution de c=300; d=350 et e=300. On en déduit que les valeurs demandées sont:
a1=991 et b1=1059   (en reprenant les notations proposées)

Posté par
deuus3
Elections en Scalénie 28-04-12 à 15:14

gagnéA a obtenu 991 voies et B a obtenu 1059 voies au premier tour

Posté par
brubru777
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 28-04-12 à 20:39

gagnéJe trouve a = 991 et b = 1059.

Démonstration :

On appelle a, b, c, d et e le nombre de voix obtenues par les candidats au 1er tour. Puisque le taux de participation est de 100%, on a
a + b + c + d + e = 3000 (1)

Seuls A et B sont passés au second tour donc
a et b >= 375 (= 1/8 de 3000)
c, d et e <= 374 (2)

A a eu 34 voix de plus que B, donc
a + 0,41c + 0,52d + 0,47e = b + 0,43c + 0,34d + 0,32e + 34
=> b - a + 34 = -0,02c + 0,18d + 0,15e (3)

A a eu une augmentation du nombre de voix supérieure de 102 par rapport à celle de B
0,41c + 0,52d + 0,47e = 0,43c + 0,34d + 0,32e + 102
=> 102 = -0,02c + 0,18d + 0,15e (4)

On suppose que c, d et e sont > 0 sinon, les pourcentages au 2ème tour n'auraient pas de sens. Puisque les nombres de votants sont entiers, on a

- 41c / 100 et 43c / 100 entiers, donc c est divisible par 100 => c = 100 200 300
- 52d / 100 = 13d / 25 et 34d / 100 = 17d / 50 entiers, donc d est divisible par 50 => d = 50 100 150 200 250 300 350
- 47e / 100 et 32e / 100 = 8e / 25 entiers, donc e est divisible par 100 => e = 100 200 300

c = 100, e = 100
=> 102 = -2 + 15 + 0,18d => d = 89 / 0,18   pas entier

c = 100, e = 200
=> 102 = -2 + 30 + 0,18d => d = 74 / 0,18   pas entier

c = 100, e = 300
=> 102 = -2 + 45 + 0,18d => d = 59 / 0,18   pas entier

c = 200, e = 100
=> 102 = -4 + 15 + 0,18d => d = 91 / 0,18   pas entier

c = 200, e = 200
=> 102 = -4 + 30 + 0,18d => d = 76 / 0,18   pas entier

c = 200, e = 300
=> 102 = -4 + 45 + 0,18d => d = 61 / 0,18   pas entier

c = 300, e = 100
=> 102 = -6 + 15 + 0,18d => d = 93 / 0,18   pas entier

c = 300, e = 200
=> 102 = -6 + 30 + 0,18d => d = 78 / 0,18   pas entier

c = 300, e = 300
=> 102 = -6 + 45 + 0,18d => d = 63 / 0,18 => d = 350

On a donc c = 300, d = 350 et e = 300. D'après (1), on a donc a + b = 3000 - 950 = 2050
En combinant (3) et (4), on trouve b - a = 68.

On additionne ces deux relations
2b = 2118 => b = 1059 => a = 991. CQFD

Posté par
salmoth
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 30-04-12 à 10:29

gagnébonjour,

voila ma reponse: au premier tour, A a obtenu 991 voix et B 1059 voix (C'est la seule possibilité)

on commence par ecrire l'equation des 102 voix supplementaires gagnées par A par rapport a B entre les 2 tours:
102 = -2*C1/100 + 18*D1/100 + 15*E1/100

en utilisant le fait que les pourcentages ne soient pas arrondis et que les candidats C;D;E ont eu moins de 375 voix (sinon ils seraient au 2eme tour) on a necessairement:
C1 (100;200;300) & D1 (50;100;150;200;250;300;350) & E1 (100;200;300)

dans cet espace (63 possibilités = 32*7), l'equation precedente a une solution unique:
C1=300; D1=350; E1=300

ensuite, on utilise que A a 34 voix de plus B au 2nd tour =>  B a 68 voix (102-34) de plus que A au premier tour!

enfin comme les 3000 electeurs scaleniens se sont exprimés au 1er tour, on a:
3000 = A1+(A1+68)+300+350+300
=> A1 = 991 (& B1 = 1059)

merci pour l'enigme

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 30-04-12 à 15:56

gagnéBonjour tout le monde
- Je propose ceci:
- Au premier tour "A" a obtenu 991 voix et "B" a obtenu 1059 voix

Posté par
edlecoch
Re : Joute n° 70 : Elections en Scalénie 03-05-12 à 18:28

gagnéBonjour.

Le problème n'admet qu'une seule solution.

Au 1er tour, le candidat A a obtenu 991 voix.
Au 1er tour, le candidat B a obtenu 1059 voix.

Posté par
Tonm
bonjour 06-05-12 à 10:51

gagnéapres un long calcul je trouve puisque les pourcentange ne sont pas arrondis on peux avoir electeur C 300 person D 350 E 300 donc une solution A:991 B:1059 SYSTEME VERIFIE JE NE TROUVE PAS AUTRE

Posté par
jonjon71
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 08-05-12 à 16:36

perduBonjour,

Sauf si quelque chose m'échappe dans l'énonce je trouve 12 possibilités au total.

Les voicis :

Joute n°70 : Elections en Scalénie

Pour être complet voici les 12 possibilités avec les voix pour tous les candidats :

Joute n°70 : Elections en Scalénie

Voilà!

Merci.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 14-05-12 à 08:32

Clôture de l'énigme :

Finalement, il y a eu une assez bonne participation. Je craignais que vous fussiez déjà saturés par le sujet.

Citation :
A noter que le candidat arrivé en tête au premier tour a finalement perdu les élections... Une prédiction ?

Une joute prémonitoire ? Que nenni !

Posté par
Benwat
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 14-05-12 à 13:33

perduJ'avais donc bien fait une boulette.  

Posté par
Kidam
re : Joute n°70 : Elections en Scalénie 14-05-12 à 15:09

gagné

Citation :
Citation :
A noter que le candidat arrivé en tête au premier tour a finalement perdu les élections... Une prédiction ?


Une joute prémonitoire ? Que nenni !

Effectivement, il ne s'agissait pas d'une prophétie

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 74:14:27.


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