Bonjour à tous,
C'est aujourd'hui le grand jour : la Scalénie élit son président !
5 candidats se sont présentés au suffrage des scaléniens. Nous les appellerons A, B, C, D et E.
Pour qu'un candidat puisse accéder au 2ème tour, il faut qu'il ait obtenu au moins 1/8ème des voix exprimées au 1er tour.
Comme les scaléniens ont un grand sens civique, 100% des 3000 électeurs du pays sont allés voter au 1er tour à l'issue duquel les candidats A et B restent seuls en lice pour le second tour.
Aucun vote blanc ou nul n'est constaté, pas plus au premier tour qu'au second.
Les sondages en Scalénie étant beaucoup plus fiables qu'ailleurs, on peut établir une grille extrêmement précise des reports de voix au second tour.
Les cases du tableau ci-dessous contiennent les pourcentages de report de voix sur A et B au second tour. Les pourcentages donnés sont exacts et non arrondis.
Par exemple, parmi les gens qui ont voté pour E au premier tour, 47% d'entre eux ont voté pour A au second tour et 32% d'entre eux ont voté pour B. Les 21% restants se sont abstenus.
Finalement, au terme d'un second tour particulièrement serré, A l'emporte avec 34 voix d'avance sur B.
Le dépouillement montre que le gain en nombre de voix du candidat A entre les deux tours a été supérieur de 102 voix par rapport au gain en nombre de voix du candidat B.
En d'autres termes, si A obtient voix au 1er tour et voix au second tour, et que B obtient voix au 1er tour et voix au second tour, alors .
Question : Combien de voix les candidats A et B ont-ils obtenu au premier tour ?
S'il existe plusieurs possibilités, donnez-les toutes.
La différence de voix entre A et B obtenues au premier tour est de 68 en faveur de b.
Soit a et b ces valeurs .
Elles vont de a=375, b=443 à a=991, b=1059, soit 617 possibilités.
Je pense que j'ai fait une boulette, parce que bon... j'ai écrit ue système d'équations linéaire avec une inconnue de plus que d'équations, du coup, j'ai pas de solution unique, mais un espace de solution à 1 dimension. Or, dans cette espace, parmi le nomvre de votant pour C, D, ou E au premier tour, il y a toujours au moins une valeur négative ou non entière...
Voici donc ma réponse : Il n'existe pas de solutions. :/
Bonjour Godefroy, toujours inspiré par l'actualité,
Je ne trouve qu'une solution : 991 voix pour A , 1059 voix pour B
Bonjour Godefroy,
Le candidat A a obtenu 991 voix au premier tour.
Le candidat B a obtenu 1059 voix au premier tour
Merci pour la joute.
Bonjour
Nous avons eu la même inspiration,j'aurais
du m'en douter et m'abstenir
J'ai l'avantage de répondre à l'officielle.
A avait 991 voix et B 1059 au premier tour
(une autre solution aurait permin à c d'être au
deuxième tour ce qui aurait un peu perturbé...)
Bonjour,
Au premier tour, les candidats ont obtenu (solution unique) :
A : 991 voix
B: 1059 voix
Merci pour cette énigme !
Tof
Bonjour Godefroy.
Au premier tour, A a obtenu 991 voix et B 1059 voix.
Bonus de report en faveur de A : 102.
Ce bonus se décompose comme suit :
-2 par 100 électeurs de C
9 par 50 électeurs de D
15 par 100 électeurs de E
Pour arriver à un bonus divisible par 3, le nombre de groupes d'électeurs de C doit être divisible par 3; il y a un bonus de -6 par 300 électeurs de C.
Il y a c groupes de 300 électeurs de C; d groupes de 50 électeurs de D; e groupes de 100 électeurs de E.
-6c+9d+15e = 102
-2c+3c+5e = 24
en modulo 5, c+d = 3; en modulo 3, c+2 = e; en modulo 2, d = e
Comme il y a des résultats précis de sondage, ni c, ni d, ni e ne sont nuls.
c <= 1; d <= 7; e <= 3
La seule solution est : c = 1; e = 3; d = 7.
Premier tour :
A = 991; B = 1059; C = 300; D = 350; E = 300
Deuxième tour :
A = 991 + 300x41% + 350x52% + 300x47% = 1991+123+182+141 = 1437 (il a gagné 446 voix)
B = 1059 + 300x43% + 350x34% + 300x32% + 1059+129+119+96 = 1403 (il a gagné 344 voix)
RE
Vive le poisson car j'ai trouvé une 2ème solution
A1 = 1141 et B1 = 1460
Merci pour ces enigmes
A+
Sauf erreur, je propose 991 voix pour A et 1059 pour B. Au premier tour, bien sur!
Thanks for this one, Mr. lehardi.
Heureusement que les pourcentages ne sont pas arrondis, sinon, ça faisait un sacré paquet de réponse !
Comme les reports des voix de C et E sont des nombres premiers, ces deux candidats ne peuvent avoir obtenu qu'un nombre entier de centaines de voix (100, 200 ou 300 pour rester en dessous de 375 voix et ne pas dépasser 1/8 des voix des habitants de l'île, sinon ils seraient au 2ème tour).
Le report de D n'autorise lui que des nombres entiers de cinquantaines de voix (50, 100, 150, 200,250, 300 et 350).
Du fait de l'énoncé, nous avons :
équivalent à :
équivalent à :
De ce fait :
(E1)
Après vérification dans un tableur, seul le trio permet de résoudre cette équation.
Enfin :
donc en remplaçant dans (E1)
Cela nous donne :
Le candidat A avait donc 991 voix au premier tour alors que le candidat B en avait 1059.
A noter que le candidat arrivé en tête au premier tour a finalement perdu les élections... Une prédiction ?
Re
Heureusement que le 2ème post ne compte pas car ma 2ème réponse est fausse en espérant que la 1ère soit bonne
Sorry
A+
Bonjour
Je fais l'hypothèse raisonnable que les pourcentages de report des voix des candidats C, D et E résultent chacun en un nombre entier de voix bénéficiant aux candidats A et B.
Dès lors, et doivent être multiples de 100, tandis que doit être multiple de 50, pour que les reports donnent des nombres entiers. De plus, puisque C, D et E ont été éliminés dès le premier tour, cela signifie qu'aucun n'a atteint le seuil de 375 voix.
En reformulant en termes de reports, il vient , avec les conditions précitées.
La seule combinaison possible est alors: .
Restent donc 2050 voix à partager entre et . Avec la condition terminale exprimée (34 voix d'avance pour A) on trouve comme seule solution possible :
= 991
= 1059
Merci pour la joute, et à bientôt !
Bonjour,
Je propose : a1=991 et b1=1059.
Explication :
Il existe une méthode très simple et très directe :
A termine en avance de 34 votes.
Le report sur A dépasse le report sur B de 102 votes.
Donc A était au départ en retard de 68 votes.
Les taux de report étant exprimés en pourcentage, les voix acquises au premier tour par C, D et E, sont des multiples de 100 (ou de 50 pour D), à défaut de quoi les nombres de voix (entiers) ne coïncideraient pas avec ces pourcentages.
Comme en outre, C, D et E ont atteint moins de 375 voix (moins de 1/8), il en découle que D et E valent au plus 350 et 300.
Or, le bénéfice de report pour A atteint grace à D et E s'élève dans ce cas à 108 voix : c'est à la fois le maximum de report gagnés grace à D et E, mais c'est aussi le minimum, car toute valeur inférieure de D ou E (multiple de 50 et 100) conduirait à un report insuffisant, compte tenu du report de C qui est au bénéfice de B.
Conclusion : D=350 et E=300
(créant un bénéfice de report pour A de 108).
Dans ce cas, il faut faire perdre 6 voix à A grâce à C qui vaut donc 300.
Connaissant C=300, D=350 et E=300 et sachant que B1=A1+68 et que le cumul vaut 3000 :
on trouve A1=991 et B1=1059.
Merci pour cette énigme dans l'air du temps ...
Bonsoir;
avec un peu de calcul je trouve que c d et e sont inférieurs à 375, que c et e sont multiples de 100 et que d est multiple de 50; ce qui me donne une seule solution de c=300; d=350 et e=300. On en déduit que les valeurs demandées sont:
a1=991 et b1=1059 (en reprenant les notations proposées)
Je trouve a = 991 et b = 1059.
Démonstration :
On appelle a, b, c, d et e le nombre de voix obtenues par les candidats au 1er tour. Puisque le taux de participation est de 100%, on a
a + b + c + d + e = 3000 (1)
Seuls A et B sont passés au second tour donc
a et b >= 375 (= 1/8 de 3000)
c, d et e <= 374 (2)
A a eu 34 voix de plus que B, donc
a + 0,41c + 0,52d + 0,47e = b + 0,43c + 0,34d + 0,32e + 34
=> b - a + 34 = -0,02c + 0,18d + 0,15e (3)
A a eu une augmentation du nombre de voix supérieure de 102 par rapport à celle de B
0,41c + 0,52d + 0,47e = 0,43c + 0,34d + 0,32e + 102
=> 102 = -0,02c + 0,18d + 0,15e (4)
On suppose que c, d et e sont > 0 sinon, les pourcentages au 2ème tour n'auraient pas de sens. Puisque les nombres de votants sont entiers, on a
- 41c / 100 et 43c / 100 entiers, donc c est divisible par 100 => c = 100 200 300
- 52d / 100 = 13d / 25 et 34d / 100 = 17d / 50 entiers, donc d est divisible par 50 => d = 50 100 150 200 250 300 350
- 47e / 100 et 32e / 100 = 8e / 25 entiers, donc e est divisible par 100 => e = 100 200 300
c = 100, e = 100
=> 102 = -2 + 15 + 0,18d => d = 89 / 0,18 pas entier
c = 100, e = 200
=> 102 = -2 + 30 + 0,18d => d = 74 / 0,18 pas entier
c = 100, e = 300
=> 102 = -2 + 45 + 0,18d => d = 59 / 0,18 pas entier
c = 200, e = 100
=> 102 = -4 + 15 + 0,18d => d = 91 / 0,18 pas entier
c = 200, e = 200
=> 102 = -4 + 30 + 0,18d => d = 76 / 0,18 pas entier
c = 200, e = 300
=> 102 = -4 + 45 + 0,18d => d = 61 / 0,18 pas entier
c = 300, e = 100
=> 102 = -6 + 15 + 0,18d => d = 93 / 0,18 pas entier
c = 300, e = 200
=> 102 = -6 + 30 + 0,18d => d = 78 / 0,18 pas entier
c = 300, e = 300
=> 102 = -6 + 45 + 0,18d => d = 63 / 0,18 => d = 350
On a donc c = 300, d = 350 et e = 300. D'après (1), on a donc a + b = 3000 - 950 = 2050
En combinant (3) et (4), on trouve b - a = 68.
On additionne ces deux relations
2b = 2118 => b = 1059 => a = 991. CQFD
bonjour,
voila ma reponse: au premier tour, A a obtenu 991 voix et B 1059 voix (C'est la seule possibilité)
on commence par ecrire l'equation des 102 voix supplementaires gagnées par A par rapport a B entre les 2 tours:
102 = -2*C1/100 + 18*D1/100 + 15*E1/100
en utilisant le fait que les pourcentages ne soient pas arrondis et que les candidats C;D;E ont eu moins de 375 voix (sinon ils seraient au 2eme tour) on a necessairement:
C1 (100;200;300) & D1 (50;100;150;200;250;300;350) & E1 (100;200;300)
dans cet espace (63 possibilités = 32*7), l'equation precedente a une solution unique:
C1=300; D1=350; E1=300
ensuite, on utilise que A a 34 voix de plus B au 2nd tour => B a 68 voix (102-34) de plus que A au premier tour!
enfin comme les 3000 electeurs scaleniens se sont exprimés au 1er tour, on a:
3000 = A1+(A1+68)+300+350+300
=> A1 = 991 (& B1 = 1059)
merci pour l'enigme
Bonjour tout le monde
- Je propose ceci:
- Au premier tour "A" a obtenu 991 voix et "B" a obtenu 1059 voix
Bonjour.
Le problème n'admet qu'une seule solution.
Au 1er tour, le candidat A a obtenu 991 voix.
Au 1er tour, le candidat B a obtenu 1059 voix.
apres un long calcul je trouve puisque les pourcentange ne sont pas arrondis on peux avoir electeur C 300 person D 350 E 300 donc une solution A:991 B:1059 SYSTEME VERIFIE JE NE TROUVE PAS AUTRE
Bonjour,
Sauf si quelque chose m'échappe dans l'énonce je trouve 12 possibilités au total.
Les voicis :
Pour être complet voici les 12 possibilités avec les voix pour tous les candidats :
Voilà!
Merci.
Clôture de l'énigme :
Finalement, il y a eu une assez bonne participation. Je craignais que vous fussiez déjà saturés par le sujet.
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